ЛЕКЦИЯ 8. Определение предела функции в точке Предел функции на бесконечности. Односторонние пределы функции
![]()
|
ЛЕКЦИЯ 8. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ План: Определение предела функции в точке Предел функции на бесконечности. Односторонние пределы функции Бесконечно большие функции 1. Определение предела функции в точке. Опр.4.4.1. Пусть а - предельная точка области определения Х функции f(x). Число b называется пределом функции при х, стремящемся к а, если для любого числа >0 существует такое число (вообще говоря, положительное и зависящее от ), что если хХ принадлежит также проколотой -окрестности ![]() Обозначения: ![]() ![]() ![]() ![]() Неравенство ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рассмотрим два простых примера. Докажем, что 1. ![]() ![]() Возьмём >0. Требуется найти такое 0, что 0<| x-2 |<| x2-4 |<, т.е. | (x-2)(x+2) |<. Договоримся сразу брать <1, тогда из | x-2 |<2-<x<2+x<3x+2<5. Неравенство | (x-2)(x+2) |< будет обеспечено, если ![]() ![]() ![]() Возьмём >0. Требуется найти такое 0, что 0<| x-/6 |<| sin x-1/2 |< | sin x- sin(/6)|< ![]() ![]() ![]() ![]() Более сложный пример-функция Дирихле ![]() В любой окрестности любого вещественного числа а имеются и рациональные, и иррациональные точки, обеспечить одновременное выполнение неравенств | b-1 |< и | b-0 |< при <1/2 невозможно ни при каком значении b, следовательно, функция Дирихле не имеет предела ни при каком стремлении аргумента. Рассмотрим ещё одно определение предела, эквивалентное предыдущему. Опр.4.4.2. Пусть {xn | xnX, xn a} - последовательность точек области определения функции f(x), сходящаяся к точке а. Если для любой такой последовательности {xn} последовательность значений функции {f(xn)} сходится к числу b, то b называется пределом f(x) при xа. (В МГТУ опр.3.4.1 принято называть определением Коши, опр.3.4.2 - определением Гейне). Докажем эквивалентность определений 4.4.1 и 4.4.2. Утв.1. Если ![]() Док-во. Пусть {xn} сходится к а, требуется доказать, что {f(xn)} сходится к b, т.е. что для >0 N: n>N | f(xn)-b |< (в предположении, что выполняются условия опр. 4.4.1). Возьмём >0. : 0<| x-a |< | f(x)-b |<. Так как xnа при n , то N: n>N | xn-a |< |f(xn)-b |<. Нужное N найдено. Утв.2. Если ![]() Док-во от противного. Мы предположим, что требования опр. 4.4.1 не выполняются, и построим последовательность {xn}, сходящуюся к а, для которой {f(xn)} не сходится к b. Если требования опр. 4.4.1 не выполняются, то >0, для которого в любой проколотой -окрестности точки а найдётся точка x, в которой | f(x)-b |>. Возьмём 1=1. x1а: 0<| x1-a |<1, но | f(x1)-b |>. Возьмём 2 |xn-1-a |}. xn: 0<| xn-a |<n, но |f(xn)-b |>, и т.д. Мы получили, что xnа при n (так как | xn-a |<1/n), но | f(xn)-b|>, т.е. {f(xn)} не сходится к b. Противоречие получено. Рассмотрим ещё два примера. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5. Функция Римана ![]() Как следует из графика, приведённого на стр.17, в любой -окрестности точки ![]() ![]() ![]() ![]() 4.4.1.2. Предел функции на бесконечности. Опр.4.4.3. Пусть область определения Х функции f(x) неограничена. Число b называется пределом функции при х, стремящемся к , если для любого числа >0 существует такое число K, что если хХ удовлетворяет условию | x |>K, то значение функции f(x) принадлежит -окрестности числа b. Обозначения: ![]() ![]() ![]() ![]() Пример: докажем, что ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задание. 1. Самостоятельно сформулировать определение ![]() ![]() 4.4.2. Односторонние пределы функции. Опр.4.4.4. Число b называется пределом функции f(x) при ха справа (или правым, правосторонним пределом), если для любого числа >0 существует такое число , что если хХ удовлетворяет неравенству a < x<а +, то | f(x)-b |<. Обозначения: ![]() ![]() Опр.4.4.5. Число b называется пределом функции f(x) при ха слева (или левым, левосторонним пределом), если для любого числа >0 существует такое число , что если хХ удовлетворяет неравенству a- < x<а, то | f(x)-b |<. Обозначения: ![]() ![]() Односторонние пределы на бесконечности: Опр.4.4.6. Число b называется пределом функции f(x) при х+, если для любого числа >0 существует такое число K, что если хХ удовлетворяет неравенству x>K, то | f(x)-b |<. Обозначения: ![]() Опр.4.4.7. Число b называется пределом функции f(x) при х-, если для любого числа >0 существует такое число K, что если хХ удовлетворяет неравенству x<K, то | f(x)-b |<. Обозначения: ![]() . Для примера рассмотрим функцию
![]() Связь между пределом функции и односторонними пределами устанавливает Теор. 4.4.1. Для того, чтобы существовал ![]() ![]() Док-во. Необходимость. Пусть ![]() ![]() ![]() Достаточность. Пусть ![]() ![]() ![]() Задание 3. Самостоятельно сформулировать определение односторонних пределов на языке последовательностей. 4.Сформулировать условие отсутствия односторонних пределов. 4.4.3. Бесконечно большие функции. Опр.4.4.8. Функцияf(x) называется бесконечно большой при ха, если ![]() Обозначение: ![]() Опр.4.4.9. Функцияf(x) называется положительной бесконечно большой при ха, если ![]() Опр.4.4.9. Функцияf(x) называется отрицательной бесконечно большой при ха, если ![]() Такие же определения даются для случаев ха+0, ха-0, х+, х-. Пример: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если функция бесконечно большая, то она очевидно не ограничена. Но не всякая неограниченная функция - бесконечно большая. На графике справа изображена функция ![]() ![]() Задание. 6. Самостоятельно перебрать все возможные варианты определений ББ (положительных ББ, отрицательных ББ) при ха+0, ха-0, х+ и т.д. Сформулировать эти определения на языке последовательностей. |