векторная алг. Определение. Вектором
 Скачать 1.89 Mb.
|
1 2 Пусть векторы заданы своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат: . тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид:, т.е. , т.е. Доказательство. 1). По определению, -координата вектора есть проекция вектора на ось : по свойству проекций: . 2). Аналогично, определению, -координаты вектора: и по свойству проекций: Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. = cos Свойства скалярного произведения: = 2. Доказательство. Обозначим угол между векторами и через . Тогда Коммутативность скалярного произведения: = ; Доказательство. По определению скалярного произведения векторов: переставим в произведении числа и : Вычисление угла между векторами: . Доказательство. По определению скалярного произведения: , откуда . Вычисление проекции вектора на вектор: . Доказательство. По определению проекции , в соответствии с рисунком, имеем: . Из треугольника : . По свойству 3) . Итак: . Критерий перпендикулярности векторов: если , то = 0 . Доказательство. Поскольку , то , по условию утверждения, , значит, Линейность скалярного произведения: дистрибутивность относительно сложения: (+) = + ; вынесение постоянного множителя: = ( α ) = α (); α =const Доказательство. i) По свойству 4: . Тогда по свойству проекций: . ii) Поскольку и по свойству проекций, постоянный множитель можно выносить за знак проекции, то Вычисление скалярного произведения в координатах: если , , то . Доказательство. По определению координат вектора: . Тогда: по свойству линейности скалярного произведения поскольку в силу взаимной перпендикулярности векторов скалярные произведения разноименных векторов равны нулю: . Работа силы на перемещении . Определение. Работой силы по перемещению материальной точки из точки в точку называется скалярное произведение силы на перемещение : Пример. Найти скалярное произведение (3-2)(5-6), если , , . Решение. По свойству линейности скалярного произведения: (3-2)(5-6)= =15- 18- 10+ 12 = 15 + 1236 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336. Пример. Найти (5 + 3)(2 - ), если Решение. 10- 5+ 6- 3 = 10, т.к. . Пример. Найти угол между векторами и , если . Решение. По условию задачи: = (1, 2, 3), = (6, 4, -2), и тогда = 6 + 8 – 6 = 8: . cos = Пример. Найти угол между векторами и , если . Решение. Поскольку = (3, 4, 5), = (4, 5, -3), то = 12 + 20 - 15 =17; . cos = Пример. При каком m векторы и перпендикулярны? Решение. Так как: = (m, 1, 0); = (3, -3, -4), то . Пример. Найти скалярное произведение векторов и , если Решение. По свойству линейности скалярного произведения: ()() = = 10 + + 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547. Векторное произведение векторов. Определение. Говорят, что векторы , и образуют правую тройку векторов, если переход от вектора к вектору и от него к вектору видится происходящим против часовой стрелки из конца любого вектора. Пример. На рисунке 7 векторы , и образуют правую тройку векторов, а на рисунке 8 - левую:  Рис.7 Рис.8. Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям: 1) , где - угол между векторами и , 2) вектор перпендикулярен векторам и 3) векторы , и образуют правую тройку векторов. Обозначается: или.  Пример. Найти векторные произведения: ;;; ; ; . Решение. Согласно определения, вектор имеет длину . Этот вектор перпендикулярен плоскости векторов и , т.е. это либо вектор либо вектор . Векторы ; и должны образовывать правую тройку, значит, это вектор :  Итак, . Рассуждая аналогично, получаем:       Свойства векторного произведения векторов: Свойства векторного произведения: . Доказательство. По определению векторного произведения Линейность векторного произведения: i) дистрибутивность относительно сложения (без доказательства): (+) = + ; ii) вынесение постоянного множителя: , α =const Доказательство. ii) Требуется установить равенство двух векторов: . Пусть . Тогда векторы и направлены одинаково:  Длины векторов равны: Вектор перпендикулярен плоскости векторов и  Вектор перпендикулярен той же плоскости:  Векторы образуют правую тройку векторов:  Векторы образуют правую тройку векторов:  Таким образом, длина и направление векторов одинаковы, значит, векторы равны: . Пусть . Тогда:  Длины векторов равны: Вектор перпендикулярен плоскости векторов и  Вектор перпендикулярен той же плоскости:  Векторы образуют правую тройку векторов:  Векторы образуют правую тройку векторов:  Таким образом, длина и направление векторов одинаковы, значит, векторы равны: . Вычисление векторного произведения в координатах: если , , то . Доказательство. По определению координат вектора: . Тогда: по свойству линейности векторного произведения поскольку в силу свойства 1) векторного произведения векторов векторные произведения одноименных векторов равны нулю, то векторные произведения координатных векторов были вычислены выше: , , , , , ; произведем соответствующие замены: Антикоммутативность векторного произведения: . Доказательство. По свойству 3 векторного произведения векторов: Критерий коллинеарности. Ненулевые векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю: . Доказательство. По следствию из утверждения 3, два вектора линейно зависимы, т.е. , тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Таким образом, при коллинеарности векторов их координаты пропорциональны: Тогда определитель , содержит две пропорциональные строки, и потому равен нулю. Обратно, если , то , но поскольку , то , т.е. или , т.е. . Вычисление площади параллелограмма, натянутого на векторы и : Доказательство. По определению векторного произведения: , По формуле вычисления площади параллелограмма .  Из треугольника : . . Момент силы. Определение. Моментом силы , приложенной к точке , относительно точки называется векторное произведение вектора на вектор : .  Пример. Вычислить (3-2)(5-6), если , , . Решение. По свойству линейности векторного произведения: Пример. Найти векторное произведение векторов и . Решение. Поскольку = (2, 5, 1); = (1, 2, -3), то . Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3), С(0, 1, 0). Решение. Найдем координаты векторов: Тогда (ед2). Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если Решение. По свойству линейности векторного произведения: . Тогда (ед2). Смешанное произведение векторов. Определение. Смешанным произведением (обозначение или ) векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор векторного произведения векторов и : . Свойства смешанного произведения: Вычисление смешанного произведения. Если , , то . Доказательство. По определению . Вычислим векторное произведение : = Найдем скалярное произведение вектора на вектор : . Справедливо равенство:. Доказательство. Поскольку и , то Верно следующее: . Доказательство. Поскольку , то Второе равенство доказывается аналогично. Верно следующее: . Доказательство. Поскольку , то . Второе равенство доказывается аналогично. Геометрический смысл смешанного произведения. Объем параллелепипеда, натянутого на векторы , и , равен модулю смешанного произведения этих векторов.  Доказательство. Поскольку и , то . Очевидно, :  Тогда , поскольку в силу свойств скалярного произведения и Таким образом, . Векторы компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю: Объем треугольной призмы, образованной векторами , равен . Доказательство. Объем треугольной призмы, образованной векторами , равен половине объема соответствующего параллелепипеда:  Объем четырехугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен . Доказательство. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на ее высоту. В основании четырехугольной пирамиды и соответствующего параллелепипеда лежит один и тот же параллелограмм, высоты их также одинаковы:  Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен Доказательство. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на ее высоту:  Основание треугольной пирамиды – треугольник, площадь которого равна половине площади соответствующего параллелограмма: . Тогда . Векторы образуют правую тройку векторов тогда и только тогда, когда их смешанное произведение положительно: . Доказательство. Пусть векторы образуют правую тройку векторов:  Тогда вектор направлен в одну сторону с вектором , т.е. . Имеем: . Поскольку , то , что и требовалось доказать. Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости. Решение. Найдем координаты векторов: Вычислим смешанное произведение векторов: , Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости. Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2). Решение. Найдем координаты векторов: Объем пирамиды: Для отыскания длины высоты пирамиды найдем сначала площадь ее основания: Sосн = (ед2) Т.к. V = , то (ед). Пример. Проверить компланарность векторов , и . Решение. Вычислим смешанное произведение векторов: , значит, векторы не компланарны. Вопросы с доказательством Определение и свойства линейно зависимой системы векторов Теорема о базисе на плоскости Лемма о линейной зависимости трех векторов Теорема о базисе в пространстве Определение базиса и теорема о единственности разложения вектора по базису Проекция и ее свойства Вычисление координат, длины вектора и его направляющих косинусов Вывод формул деления отрезка в отношении Линейные операции над векторами в координатной форме Скалярное произведение и его свойства Векторное произведение и его свойства Смешанное произведение и его свойства 1 2 |