Сессия по аналитической геометрии
 Скачать 4.57 Mb.
|
1 2 Сессия по аналитической геометрии Оглавление 1 Геометрические векторы. Свободные векторы. Определение коллинеарных и компланарных векторов. Линейные операции над векторами и их свойства. ............................................................ 4 2 Определение линейной зависимости и линейной независимости векторов. Доказательства условий линейной зависимости 2-х и 3-х векторов. ........................................................................... 6 3 Определение базиса в пространствах векторов V1, V2, V3. Доказательство теоремы о существовании и единственности разложения вектора по базису. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами в базисе. .................................................................... 8 4 Определение скалярного произведения векторов, его связь с ортогональной проекцией вектора на ось. Свойства скалярного произведения, их доказательство. Вывод формулы вычисления скалярного произведения векторов в ортонормированном базисе. .................................................. 9 5 Определение ортонормированного базиса. Связь координат вектора в ортонормированном базисе и его ортогональных проекций на векторы этого базиса. Вывод формул вычисления длины вектора, его направляющих косинусов, угла между двумя векторами в ортонормированном базисе. ................................................................................................................................................. 11 6 Правые и левые тройки векторов. Определение векторного произведения векторов, его механический и геометрический смысл. Свойства векторного произведения (без док-ва).Вывод формулы вычисления векторного произведения в ортонормированном базисе. ........................... 12 7 Определение смешанного произведения векторов. Объем параллелепипеда и объем пирамиды, построенных на некомпланарных векторах. Условие компланарности трех векторов. Свойства смешанного произведения. Вывод формулы вычисления смешанного произведения в ортонормированном базисе............................................................................................................... 13 8-9-10 Определение прямоугольной декартовой системы координат. Решение простейших задач ............................................................................................................................................................. 14 аналитической геометрии. Различные виды уравнения прямой на плоскости: векторное, параметрические, каноническое. Направляющий вектор прямой. . Вывод уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. ............................................................................................ 14 11 Доказательство теоремы о том, что в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости уравнение первой степени задает прямую. Общее уравнение прямой. Определение нормального вектора прямой. Вывод нормального уравнения прямой, геометрический смысл входящих в него параметров. Приведение общего уравненияпрямой к нормальному виду.......... 17 12 Уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой “в отрезках”. Геометрический смысл входящих в уравнения параметров. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных своими общими или каноническими уравнениями 18 13 Вывод формулы расстояния от точки до прямой на плоскости. ................................................... 19 14 Доказательство теоремы о том, что в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве уравнение первой степени задает плоскость. Общее уравнение плоскости. Определение нормального вектора плоскости. Вывод нормального уравнения плоскости, геометрический смысл входящих в него параметров. Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду. Вывод уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки. Уравнение плоскости “в отрезках”. .................................................................................................... 20 15 Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. .. 23 16 – 17 Вывод формулы расстояния от точки до плоскости. Общие уравнения прямой в пространстве. Вывод векторного, канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве. ...................................................................................................................................... 24 18 Угол между двумя прямыми в пространстве, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Условия принадлежности двух прямых одной плоскости. ......................................... 26 19 Угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Условие принадлежности прямой заданной плоскости. ................................................. 27 20 Задача о нахождении расстояния между скрещивающимися или параллельными прямыми. .. 28 21 Определение эллипса как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения эллипса.+++ ......................................................................................................................................... 29 22 Определение гиперболы как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения гиперболы.+++..................................................................................................................................... 31 23 Определение параболы как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения параболы.+++ ...................................................................................................................................... 32 24 Определение цилиндрической поверхности. Канонические уравнения цилиндрических поверхностей 2-го порядка.+++ .......................................................................................................... 33 25 Понятие поверхности вращения. Канонические уравнения поверхностей, образованных вращением эллипса, гиперболы и параболы.+++ .............................................................................. 34 26 Канонические уравнения эллипсоида и конуса. Исследование формы этих поверхностей методом сечений.+++ ......................................................................................................................... 35 27 Канонические уравнения гиперболоидов. Исследование формы гиперболоидов методом сечений.+++ ......................................................................................................................................... 36 28 Канонические уравнения параболоидов. Исследование формы параболоидов методом сечений.+++ ......................................................................................................................................... 37 29 Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами и их свойства. Транспонирование матриц.+++ .......................................................................................... 38 30 Умножение матриц. Свойства операции умножения матриц.+++ ................................................ 40 31 Определение обратной матрицы. Доказательство единственности обратной матрицы. Доказательство теоремы об обратной матрице произведения двух обратимых матриц.+++ ......... 41 32 Критерий существования обратной матрицы. Понятие присоединенной матрицы, ее связь с обратной матрицей.+++ ...................................................................................................................... 42 33 Вывод формул Крамера для решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.+++................................................................................................................... 43 34 Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) Доказательство критерия линейной зависимости строк (столбцов).+++ ..................................................................................... 44 35 Определение минора матрицы. Базисный минор. Теорема о базисном миноре (без доказательства). Доказательство ее следствия для квадратных матриц.+++ ................................... 45 36 Метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы.+++ .......................................... 46 37 Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы. Нахождение обратной матрицы методом элементарных преобразований.+++ ................................................................................... 47 38 Теорема об инвариантности ранга матрицы относительно преобразований. Нахождение ранга матрицы методом элементарных преобразований.+++ .................................................................... 48 39 Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Различные формы записи СЛАУ. Совместные и несовместные СЛАУ. Доказательство критерия Кронекера—Капели совместности СЛАУ.+++ .............................................................................................................................................. 49 40 Однородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Свойства их решений.+++ 51 41 Определение фундаментальной системы решений (ФСР) однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ. Построение ФСР.+++ ........................................................................................................................... 52 42 Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Доказательство теоремы о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.+++ ..................................................................... 54 Алгоритмы решения задач ................................................................................................................. 55 1. Вычислить объём пирамиды, построенной на векторах a̅ = {a 1 ; a 2 ; a 3 }, b̅={b 1 ; b 2 ; b 3 }, c̅={c 1 ; c 2 ; c 3 }. ......................................................................................................................................................... 55 2. Написать разложение вектора x̅ = {x 1 ; x 2 ; x 3 } по векторам a̅ = {a 1 ; a 2 ; a 3 }, b̅={b 1 ; b 2 ; b 3 }, c̅={c 1 ; c 2 ; c 3 }. .................................................................................................................................................... 56 3. Найти площадь треугольника, построенного на векторах a̅ = {a 1 ; a 2 ; a 3 }, b̅={b 1 ; b 2 ; b 3 } .............. 57 4. Найти скалярное произведение векторов a̅=αp̅+βq̅, b̅=αp̅-βq̅, если |p̅|=l, |q̅|=s, ∠𝑝, 𝑞 = 𝜑 ..... 58 5. Найти площадь треугольника с вершинами в точках A (α 1 , α 2 , α 3 ) B (β 1 , β 2 , β 3 ) C (γ 1 , γ 2 , γ 3 ) ....... 59 6. Даны векторы a̅ = {a 1 ; a 2 ; a 3 }, b̅={b 1 ; b 2 ; b 3 }. Найти пр a̅-b̅ (a̅+b̅) ....................................................... 60 7. Найти расстояние от точки A (α 1 , α 2 , α 3 ) до плоскости, проходящей через точки M 1 (β 1 , β 2 , β 3 ) M 2 (γ 1 , γ 2 , γ 3 ) M 3 (θ 1 , θ 2 , θ 3 ) ............................................................................................................... 61 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A (α 1 , α 2 , α 3 ), перпендикулярно плоскостям A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 и A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 .......................................................................... 62 9. Найти координаты точки, симметричной точке A (α 1 , α 2 , α 3 ) относительно плоскости A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0. ............................................................................................................................ 63 10. Написать канонические и параметрические уравнения прямой, заданной через два уравнения плоскости, как их пересечение (A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 и A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0). ..................... 64 11. Найти координаты точки симметричной A (α 1 , α 2 , α 3 ) относительно прямой, заданной каноническим уравнением. ............................................................................................................ 65 12. Решить матричное уравнение AXB=C ........................................................................................ 66 13. Путём элементарных преобразований найти обратную матрицу к матрице 3*3. Сделать проверку. ......................................................................................................................................... 67 14. Уравнение кривой второго порядка Ax 2 +Cy 2 +Dx+Ey+F=0 привести к каноническому виду. Определить тип кривой. Сделать чертёж в исходной системе координат. ................................... 68 15. Решить СЛАУ. Найти нормальную ФСР соответствующей однородной системы, частное решение неоднородной системы; записать через них общее решение неоднородной системы.? ......................................................................................................................................................... 70 1 Геометрические векторы. Свободные векторы. Определение коллинеарных и компланарных векторов. Линейные операции над векторами и их свойства. 2 Определение линейной зависимости и линейной независимости векторов. Доказательства условий линейной зависимости 2-х и 3-х векторов. 3 Определение базиса в пространствах векторов V1, V2, V3. Доказательство теоремы о существовании и единственности разложения вектора по базису. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами в базисе. 4 Определение скалярного произведения векторов, его связь с ортогональной проекцией вектора на ось. Свойства скалярного произведения, их доказательство. Вывод формулы вычисления скалярного произведения векторов в ортонормированном базисе. 5 Определение ортонормированного базиса. Связь координат вектора в ортонормированном базисе и его ортогональных проекций на векторы этого базиса. Вывод формул вычисления длины вектора, его направляющих косинусов, угла между двумя векторами в ортонормированном базисе. 6 Правые и левые тройки векторов. Определение векторного произведения векторов, его механический и геометрический смысл. Свойства векторного произведения (без док-ва).Вывод формулы вычисления векторного произведения в ортонормированном базисе. 7 Определение смешанного произведения векторов. Объем параллелепипеда и объем пирамиды, построенных на некомпланарных векторах. Условие компланарности трех векторов. Свойства смешанного произведения. Вывод формулы вычисления смешанного произведения в ортонормированном базисе. 8-9-10 Определение прямоугольной декартовой системы координат. Решение простейших задач аналитической геометрии. Различные виды уравнения прямой на плоскости: векторное, параметрические, каноническое. Направляющий вектор прямой. . Вывод уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. 11 Доказательство теоремы о том, что в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости уравнение первой степени задает прямую. Общее уравнение прямой. Определение нормального вектора прямой. Вывод нормального уравнения прямой, геометрический смысл входящих в него параметров. Приведение общего уравненияпрямой к нормальному виду. 12 Уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой “в отрезках”. Геометрический смысл входящих в уравнения параметров. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных своими общими или каноническими уравнениями 13 Вывод формулы расстояния от точки до прямой на плоскости. 14 Доказательство теоремы о том, что в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве уравнение первой степени задает плоскость. Общее уравнение плоскости. Определение нормального вектора плоскости. Вывод нормального уравнения плоскости, геометрический смысл входящих в него параметров. Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду. Вывод уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки. Уравнение плоскости “в отрезках”. 15 Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. 16 – 17 Вывод формулы расстояния от точки до плоскости. Общие уравнения прямой в пространстве. Вывод векторного, канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве. 18 Угол между двумя прямыми в пространстве, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Условия принадлежности двух прямых одной плоскости. 19 Угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Условие принадлежности прямой заданной плоскости. 20 Задача о нахождении расстояния между скрещивающимися или параллельными прямыми. 21 Определение эллипса как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения эллипса.+++ Эллипс – геометрическое место точек (ГМТ) на плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a, где a – длина большой полуоси эллипса. ||𝐹 1 𝑀 ̅̅̅̅̅̅| + |𝐹 2 𝑀 ̅̅̅̅̅̅| = 2𝑎 |𝐹 1 𝐹 2 ̅̅̅̅̅̅| = 2𝑐 √(𝑥 + 𝑐) 2 + 𝑦 2 + √(𝑥 − 𝑐) 2 + 𝑦 2 = 2𝑎 (√(𝑥 + 𝑐) 2 + 𝑦 2 ) 2 = (2𝑎 − √(𝑥 − 𝑐) 2 + 𝑦 2 ) 2 𝑥 2 + 2𝑥𝑐 + 𝑐 2 + 𝑦 2 = 4𝑎 2 − 4𝑎√(𝑥 − 𝑐) 2 + 𝑦 2 + 𝑥 2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐 2 + 𝑦 2 … 22 Определение гиперболы как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения гиперболы.+++ Гипербола – ГМТ на плоскости, модуль разности расстояний которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. 23 Определение параболы как геометрического места точек. Вывод канонического уравнения параболы.+++ Парабола – ГМТ, одинаково удалённых от фиксированной точки, называемой фокусом, и прямой, называемой директрисой параболы. Сократив, получим: 2𝑝𝑥 = 𝑦 2 Или в более привычном виде; 𝑦 2 = 2𝜌𝑥 24 Определение цилиндрической поверхности. Канонические уравнения цилиндрических поверхностей 2-го порядка.+++ Цилиндрическими поверхностями называется геометрическое место параллельных прямых (образующих), пересекающих данную линию, называемую направляющими. Запишем канонические уравнения цилиндрических поверхностей: 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 = 1 – эллиптический цилиндр ∀ z ∈ ℝ 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 = 1 – гиперболический цилиндр ∀ z ∈ ℝ 𝑥 2 = 2𝜌𝑦– параболический цилиндр ∀ z ∈ ℝ 25 Понятие поверхности вращения. Канонические уравнения поверхностей, образованных вращением эллипса, гиперболы и параболы.+++ Поверхности вращения – поверхности, образованные вращением плоской кривой, вокруг прямой, называемой осью вращения, расположенной в её плоскости. Эллипсоид вращения 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 + 𝑧 2 𝑐 2 = 1, 𝑎 = 𝑏 или 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 + 𝑧 2 𝑐 2 = 1, 𝑏 = 𝑐 Гиперболоид вращения 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 − 𝑧 2 𝑐 2 = 1, 𝑎 = 𝑏 – однополостный гиперболоид вращения 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 + 𝑧 2 𝑐 2 = −1, 𝑎 = 𝑏 – двуполостный гиперболоид вращения 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 + 𝑧 2 𝑐 2 = 0, 𝑎 = 𝑏 – конус Параболоид вращения 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 = 2𝑧, 𝑎 = 𝑏 26 Канонические уравнения эллипсоида и конуса. Исследование формы этих поверхностей методом сечений.+++ Канонические уравнения эллипсоидов 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 + 𝑧 2 𝑐 2 = 1 -трёхосный эллипсоид 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 + 𝑧 2 𝑐 2 = 0 -вырожденный эллипсоид (точка) 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 + 𝑧 2 𝑐 2 = −1 -мнимый эллипсоид Каноническое уравнение конуса 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 − 𝑧 2 𝑐 2 = 0 - конус Метод сечений Подставим некоторое значение в переменные x, y, z, чтобы получить каноническое уравнение прямой второго порядка. По совпадению двух уравнений кривых по типу делаем вывод о том, что это …-оид, а третье совпадение позволит определить тип прямой. В данном случае два выражения должны определять эллипс, чтобы можно было сделать вывод, что перед нами эллипсоид, то есть должны получить два выражения следующего вида: 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 = 1 (пара переменных любая, оставшаяся после определения значения одной из переменных изначального уравнения). 27 Канонические уравнения гиперболоидов. Исследование формы гиперболоидов методом сечений.+++ Канонические уравнения гиперболоидов 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 − 𝑧 2 𝑐 2 = 1 – однополостный гиперболоид 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 − 𝑧 2 𝑐 2 = −1 – двуполостный гиперболоид Метод сечений Подставим некоторое значение в переменные x, y, z, чтобы получить каноническое уравнение прямой второго порядка. По совпадению двух уравнений кривых по типу делаем вывод о том, что это …-оид, а третье совпадение позволит определить тип прямой. В данном случае два выражения должны определять гиперболу, чтобы можно было сделать вывод, что перед нами гиперболоид, то есть должны получить два выражения следующего вида: 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 = 1 (пара переменных любая, оставшаяся после определения значения одной из переменных изначального уравнения). 28 Канонические уравнения параболоидов. Исследование формы параболоидов методом сечений.+++ 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 = 2𝑧 – эллиптический параболоид 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 = 2𝑧 – гиперболический параболоид (седло) Метод сечений Подставим некоторое значение в переменные x, y, z, чтобы получить каноническое уравнение прямой второго порядка. По совпадению двух уравнений кривых по типу делаем вывод о том, что это …-оид, а третье совпадение позволит определить тип прямой. В данном случае два выражения должны определять параболу, чтобы можно было сделать вывод, что перед нами параболоид, то есть должны получить два выражения следующего вида: 𝑦 2 = 2𝑝𝑥 (пара переменных любая, оставшаяся после определения значения одной из переменных изначального уравнения). 29 Понятие матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции над матрицами и их свойства. Транспонирование матриц.+++ Матрица – размера m*n прямоугольная числовая таблица, состоящая из m*n элементов, которые расположены в m строках и n столбцах. Матрицы можно разделить на квадратные и прямоугольные, матрицы строки и матрицы столбцы. Ещё выделяют единичные, треугольные и ступенчатые матрицы. 𝐸 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) – единичная матрица А = ( 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 0 𝑎 22 𝑎 23 0 0 𝑎 33 ) – верхняя треугольная матрица А = ( 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 0 𝑎 22 𝑎 23 0 0 0 𝑎 14 𝑎 24 𝑎 34 𝑎 15 𝑎 25 𝑎 35 ) – ступенчатая матрица Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц. К линейным операциям над матрицами относятся: 1) Сложение (вычитание) матриц. 2) Умножение на число. Свойства линейных операций (A, B, C – матрицы) 1) A+B=B+A – переместительное (коммуникативное) свойство 2) (А+В)+С=А+(В+С) – сочетательность (ассоциативность) относительно суммы матриц 3) α(А+В)=αА+αВ – распределительность (дистрибутивность) относительно суммы матриц 4) (β+α)А=βА+αА - распределительность (дистрибутивность) относительно суммы чисел 5) (αβ)А=α(βА)– сочетательность (ассоциативность) относительно произведения чисел 6) Свойство ∃, ∃ такая матрица О, что ∀ А выполняется равенство А+О=А, где А m*n О – нулевая матрица 7) ∀ А m*n ∃ единственная В m*n , для которой: А+В=О ⇒ В – противоположная матрица к А, В=-А 8) 1*А=А Транспонирование матриц – замена строк столбцами или столбов строками без изменения их нумерации. А = ( 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33 ) – исходная матрица А 𝑇 = ( 𝑎 11 𝑎 21 𝑎 31 𝑎 12 𝑎 22 𝑎 32 𝑎 13 𝑎 23 𝑎 33 ) – транспонированная матрица (А 𝑇 ) 𝑇 = А – свойство транспонирования 30 Умножение матриц. Свойства операции умножения матриц.+++ A m*n *B n*p =C m*p (a 1 , a 2 , … , a n )( 𝑏 1 𝑏 2 … 𝑏 𝑛 )=(a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+a n b n ) 𝑐 𝑖𝑗 ∑ 𝑎 𝑖𝑘 𝑏 𝑘𝑗 𝑛 𝑘=1 – формула элемента матицы произведения Свойства 1) AB≠BA 2) (AB)C=A(BC) -сочетательное 3) (A+B)C=AC+BC -дистрибутивное 4) (AB) T =B T A T 31 Определение обратной матрицы. Доказательство единственности обратной матрицы. Доказательство теоремы об обратной матрице произведения двух обратимых матриц.+++ Матрица В порядка n называется обратной к матрице A, если выполняется равенство BA=AB=E ⇒ B=A -1 1 2 |