Математика. Определение. Векторомназывается направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой

• Название: Определение. Векторомназывается направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой
• Анкор: Математика
• Дата: 15.11.2022
• Размер: 0.69 Mb.
• Имя файла: 3_Аналитическая геометрия.pdf
• Тип: Документы; #790309

Аналитическая геометрия

1.
Векторы. Действия над векторами.
2.
Разложение вектора по базису. Направляющие косинусы.
3.
Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов и их свойства
Аналитическая геометрия

Определение.
Вектором
называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.
Определение.
Длиной (модулем)
вектора называется расстояние между началом и концом вектора.
Определение. Векторы называются
коллинеарными
, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Определение. Векторы называются
компланарными
,
если существует плоскость, которой они параллельны.
Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.
Определение. Векторы называются
равными
,
если они коллинеарны,
одинаково направлены и имеют одинаковые модули.
Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы,
соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов,
равных ему.
Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.
1. Векторы. Действия над векторами.
а
АВ
=

Суммой векторов является вектор -
Произведение -
, при этом коллинеарен
Вектор сонаправлен с вектором (  ), если  > 0.
Вектор противоположно направлен с вектором (  ), если  < 0.
Свойства векторов.
1)
- коммутативность.
2)
3)
4)
5) () = ( ) – ассоциативность
6) (+) =  +  - дистрибутивность
7)
8) 1 =
1. Векторы. Действия над векторами.
b
a
c



+
=
a
b
a
b


=
=
;


a

b

a
b
b
a
+
=
+


( )
( )
c
b
a
c
b
a
+
+
=
+
+


a
a
=
+ 0

( )
0 1
=

−
+
a
a

a

a

a

a

a

( )
b
a
b
a



+
=
+
a

a


Базисом_в_пространстве_называются_любые_3_некомпланарных_вектора,взятые_в_определенном_порядке.2)Базисом'>Определения.
1)
Базисом
в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора,
взятые в определенном порядке.
2)
Базисом
на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.
3)
Базисом
на прямой называется любой ненулевой вектор.
Определение. Если
- базис в пространстве и
, то числа ,  и  - называются
компонентами или координатами
вектора в этом базисе.
В связи с этим можно записать следующие свойства:
- равные векторы имеют одинаковые координаты,
- при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,
=
- при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.
;
;
2.
Разложение вектора по базису. Направляющие
косинусы.
3 2
1
,
,
e
e
e
3 2
1
e
e
e
a



+
+
=
)
(
3 2
1
e
e
e
a





+
+
=
3 2
1
)
(
)
(
)
(
e
e
e



+
+
3 3
2 2
1 1
e
e
e
a



+
+
=
3 3
2 2
1 1
e
e
e
b



+
+
=
3 3
3 2
2 2
1 1
1
)
(
)
(
)
(
e
e
e
b
a






+
+
+
+
+
=
+

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора.
Если заданы две точки в пространстве А(х
1
, y
1
, z
1
),
B(x
2
, y
2
, z
2
), то
2.
Разложение вектора по базису. Направляющие
косинусы.
2 1
2 2
1 2
2 1
2
)
(
)
(
)
(
z
z
y
y
x
x
AB
−
+
−
+
−
=

2.
Разложение вектора по базису. Направляющие
косинусы.

3.
Скалярное, векторное и смешанное
произведения векторов и их свойства.

3.
Скалярное, векторное и смешанное
произведения векторов и их свойства.

3.
Скалярное, векторное и смешанное
произведения векторов и их свойства.

3.
Скалярное, векторное и смешанное
произведения векторов и их свойства.

3.
Скалярное, векторное и смешанное
произведения векторов и их свойства.

ПРИМЕРЫ
.
→
→

ПРИМЕРЫ
.
→

ПРИМЕРЫ
.

ПРИМЕРЫ
.