Основы работоспособности технических систем
 Скачать 0.68 Mb.
|
|
плотность вероятности. В ряде случаев достаточно характеризовать распределение случайной величины некоторыми числовыми величинами: математическим ожидани- ем (средним значением), модой и медианой, характеризующими положение центров группирования случайных величин по числовой оси, дисперсией, средним квадратическим отклонением, коэффициентом вариации, характе- ризующими рассеяние случайной величины. Математическое ожидание (среднее значение) m x – основная и про- стейшая характеристика случайной величины Х. Значение математического ожидания, определяемое по результатам наблюдений как для дискретных, так и для непрерывных величин, называют оценкой математического ожи- дания, или оценкой среднего значения x : N i i N х х 1 , или , * 1 i N i i x N q x (1.6) где N – общее число наблюдений; x i - значение случайной величины; q i – число одинаковых значений x i Черта над обозначением случайной величины означает, что она имеет среднее значение. При достаточно большом числе наблюдений (испытаний) полагают, что m x = x . В вероятностных задачах математическое ожидание определяют в за- висимости от плотности распределения f(x) (для непрерывных величин) или вероятности p i появления значения x i (для дискретных величин): 24 ; ) ( dx x f x m x 1 i N i i x x p m (1.7) Дисперсия случайной величины – математическое ожидание квадра- та отклонения этой величины от ее математического ожидания. Оценка дисперсии случайной величины – среднее значение квадра- та разности между значениями случайной величины и ее средним значением: N i i x x x N D 1 2 ) ( 1 1 , или 1 1 2 1 x x q N D i N i i x (1.8) Термин “дисперсия” означает рассеяние и характеризует в нашем случае разброс случайной величины. Для непрерывных случайных величин ) ( ) ( 2 dx x f m x D x x (1.9) Для дискретных случайных величин ) ( 1 2 i N i x i x p m x D (1.10) Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Так как удобнее пользоваться характеристикой рассеяния, имеющей ту же размер- ность, что и случайная величина, вводится понятие другой характеристики – среднего квадратического отклонения: x x D (1.11) Для оценки рассеяния с помощью безразмерной (относительной) вели- чины используют коэффициент вариации, равный / x x x m v (1.12) Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются репрезента- тивными характеристиками рассеяния. 25 Квантилью называют значение случайной величины, соответствую- щее заданной вероятности. Квантиль, соответствующая вероятности 0,5, называется медианой. Медиана характеризует расположение центра группирования случайной ве- личины. Площадь под графиком функции плотности распределения делится медианой пополам. Для характеристики рассеяния случайной величины используют также вероятное отклонение, равное половине разности квантилей х 0,75 и х 0,25 , т.е. значений случайной величины, соответствующих вероятностям 0,75 и 0,25. Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значе- ние или, иначе, то ее значение, при котором плотность вероятности макси- мальна. Параметры надежности в статистической трактовке используются для оценки технического состояния систем, а в вероятностной трактовке – для прогнозирования поведения технических систем на последующих этапах эксплуатации. Первые выражаются обычно в дискретных числах и их в тео- рии надежности называют оценками. При достаточно большом количестве наблюдений (испытаний) они принимаются за истинные характеристики надежности. Если в эксплуатации находится значительное число N элементов тех- нических систем в течение времени t (или наработки в других единицах) и к концу срока эксплуатации останется N p работоспособных (неотказавших) элементов и n отказавших, то вероятность отказа , / N n t F а вероят- ность безотказной работы оценивается относительным количеством работо- способных элементов 1 N n N N t P p (1.13) 26 Так как безотказная работа и отказ – взаимно противоположные (несовместные) события, то сумма их вероятностей равна 1 1 t F t P (1.14) Это же следует из приведенных зависимостей, т.е. при t=0 n=0, F(t)=0 и P(t)=1, а при t= n=N, F(t)=1 и P(t)=0. Распределение отказов элементов технических систем по времени ха- рактеризуется функцией плотности распределения f(t) наработки до отказа. В статистической трактовке , t t F t N n t f (1.15) где n и F(t) – приращение числа отказавших элементов и, соответствен- но, вероятности отказов за время t В вероятностной трактовке dt t dF t f (1.16) Вероятности отказов и безотказной работы в функции плотности рас- пределения f(t) выражаются зависимостями: ; 0 dt t f t F t при t= 1 0 dt t f t F (1.17) 1 1 0 dt t f dt t f t F t P t t (1.18) Интенсивность отказов (t) в отличие от плотности распределения относится к числу элементов N p , оставшихся работоспособными, а не к об- щему числу элементов. 27 Соответственно в статистической трактовке , t N n t p (1.19) а в вероятностной, учитывая, что N p /N=P(t), t P t f t (1.20) Если в предыдущее выражение подставить , ) ( ) ( dt t dP t f разделить переменные и произвести интегрирование ; ) ( ) ( ) ( dt t t P t dP t dt t t P 0 , ) ( ) ( ln то получим t dt t e t P 0 ) ( ) ( (1.21) Соотношение (1.21), устанавливающее связь между вероятностью без- отказной работы и интенсивностью отказов, называется основной формулой теории надежности. К числу важнейших общих зависимостей теории надежности относят- ся зависимости надежности технических систем от надежности их элемен- тов. Наиболее характерной для технических систем простейшей моделью, состоящей из последовательно соединенных элементов, является схема на рис.1.2. Отказ каждого элемента вызывает отказ всей системы, а отказы эле- ментов принимаются независимыми. Надежность таких систем оценивается исходя из следующих положений: Р 1 (t) P 2 (t) P 3 (t) P 4 (t) 28 Рис.1.2. Структурная модель последовательной технической системы Используя известную теорему умножения вероятностей, согласно ко- торой вероятность произведения, т.е. совместного проявления независимых событий, равна произведению вероятностей этих событий, можно сделать вывод о том, что вероятность безотказной работы технической системы рав- на произведению вероятностей безотказной работы отдельных ее элементов: ). ( ) ( ) ( ) ( 2 1 t P t P t P t Р n ст (1.22) Если ), ( ) ( ) ( 2 1 t P t P t P n то ). ( 1 t P P n cm Поэтому надежность сложных технических систем получается низкой. Например, ес- ли система состоит из 10 элементов с вероятностью безотказной работы, равной 0,9, то общая вероятность безотказной работы системы может быть получена таким образом: 35 , 0 9 , 0 10 Обычно вероятность безотказной работы элементов таких систем до- статочно высокая. Поэтому, выразив ) ( ),..., ( ), ( 2 1 t P t P t P n через вероятно- сти отказов и используя теорию приближенных вычислений, получим ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 1 2 1 t F t F t F t F t F t F t P n n cm (1.23) При ) ( ) ( ) ( 2 1 t F t F t F n получаем ). ( 1 ) ( 1 t F n t P cm (1.24) Вероятность безотказной работы нужно уметь определять для любого промежутка времени эксплуатации технической системы. По теореме умножения вероятностей ) ( ) ( ) ( t P T P t T P или ), ( / ) ( ) ( T P t T P t P (1.25) где Р(Т) и Р(Т+t) вероятности безотказной работы за время Т и Т+t соот- ветственно; P(t)– условная вероятность безотказной работы за время t (тер- мин «условная» использован здесь потому, что вероятность определяется в 29 предположении отсутствия отказов у элементов до начала рассматриваемого интервала времени или наработки). В технической системе с параллельным соединением элементов (см. рис.1.3) представляет интерес определение вероятности безотказной работы всей системы, т.е. всех ее элементов (или подсистем). Кроме того, интересу- ет величина этого показателя системы без одного, двух, трех и т.д. элементов (в пределах сохранения системой работоспособности), хотя и с сильно по- ниженными показателями эффективности функционирования. Сохранение работоспособности технической системы, состоящей из одинаковых элементов, определяется с помощью биноминального распреде- ления. Рассматривают бином , ) ( ) ( m t F t P (1.26) где показатель степени m равняется общему числу параллельно работающих элементов; P(t) и F(t) вероятности безотказной работы и соответственно от- каза каждого из элементов. Записывают результаты разложения биномов с показателями степени 2, 3 и 4 соответственно для систем с двумя, тремя и четырьмя параллельно работающими элементами: 1 2 ) ( 2 2 2 F F P P F P 1 3 3 ) ( 3 2 2 3 3 F F P F P P F P 1 4 6 4 ) ( 4 3 2 2 3 4 4 F F P F P F P P F P ) ( 1 t F F 1 (t) 30 ) ( 2 t F ) ( 3 t F ) ( 4 t F Рис. 1.3. Структурная модель параллельной технической системы Первые члены этих выражений отражают вероятность безотказной ра- боты всех элементов, вторые – вероятность отказа одного элемента и безот- казной работы остальных. Первые два члена – вероятность отказа не более одного элемента (отсутствие отказа или отказ одного элемента) и т.д. По- следний член выражает вероятность отказа всех элементов. Для сложных технических систем одним повышением надежности элементов не удается достигнуть требуемой высокой надежности системы. В таких случаях используют структурное резервирование, осуществляемое введением в систему резервных составляющих, избыточных по отношению к минимально необходимой структуре системы и выполняющих те же функ- ции, что и основные. Резервирование позволяет уменьшить вероятности отказов сложных технических систем на несколько порядков. При постоянном резервировании резервные элементы или цепи под- ключают параллельно основным (схема получается аналогичной параллель- ной, рис. 1.3). Вероятность отказа всех элементов (основного и резервных) по теореме умножения вероятностей ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 1 t F t F t F t F t F n i i n cm , (1.27) F 2 (t) F 3 (t) F 4 (t) 31 где ) (t F i - вероятность отказа элемента i; n- общее число элементов в си- стеме (основной + резервные). Вероятность безотказной работы системы ). ( 1 ) ( t F t P cm cm (1.28) Если элементы одинаковые, то ) ( ) ( 1 t F t F n cm и ). ( 1 ) ( 1 t F t P n cm (1.29) Таким образом, в сложных технических системах с последовательным соединением элементов вероятность безотказной работы определяется про- изведением вероятностей безотказной работы элементов. В системах с па- раллельным соединением определяется вероятность отказа произведением вероятностей отказа элементов. Для других способов резервирования элементов технических систем методы определения показателей надежности будут рассмотрены ниже. Более 80 % отказов технических систем происходит вследствие износа их элементов, поэтому при исследовании изменения работоспособности этих систем особое внимание уделяется трению и изнашиванию. Внешним трением (трением) называют явление сопротивления отно- сительному перемещению, возникающее между двумя телами в зонах со- прикосновения поверхностей по касательным к ним, сопровождаемое дисси- пацией энергии. Диссипация энергии – переход части энергии движущегося тела в теплоту. По наличию относительного движения различают трение покоя и трение движения. По характеру относительного движения деталей – трение скольжения и трение качения. По наличию смазочного материала – трение без смазочного материала и трение со смазочным материалом. 32 Трение покоя – трение двух тел при микроперемещениях до перехода к относительному движению. Трение движения – трение двух тел, находящихся в относительном движении. Трение скольжения – трение движения, при котором скорости тел в точке касания различны по величине и направлению или только по вели- чине, или только по направлению. Этот вид трения характерен для опор (подшипников) скольжения, направляющих и др. |