квадратичные формы и квадрики. реферат. Основная часть. 4 I. Квадратичные формы.

• Название: Основная часть. 4 I. Квадратичные формы.
• Дата: 31.03.2023
• Размер: 0.64 Mb.
• Имя файла: квадратичные формы и квадрики. реферат.doc
• Тип: Документы; #1028730
• страница: 1 из 2

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ. 3

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ. 4

I. Квадратичные формы. 4

1.Определения. Примеры. 4

2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. 5

3.Положительно определённые квадратичные формы. 9

4. Квадратичные формы в евклидовом пространстве. 10

II. Квадрики. 13

1. Определения. Примеры. 13

2. Приведение уравнения квадрики к нормальному виду. 14

3. Центр квадрики. 16

4. Аффинная классификация квадрик. 17

5. Квадрики в Евклидовом пространстве. 19

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 22

ЛИТЕРАТУРА. 23

ВВЕДЕНИЕ.

Теория евклидовых пространств зиждется на положительно определенной квадратичном форме, с помощью которой они и задаются. Но в математических, так же как и в механи­ческих и физических джунглях, мы встречаемся со многими другими квадратичными формами. Как сказал Дьедонне, нет ни одной математической теории, в которой не участвовала бы какая-нибудь билинейная форма. Упомянем здесь хотя бы следующие примеры:

гильбертовы пространства и соболевские пространства в анализе; квадратичная или альтернированная форма, определяющая u-произведение на когомологиях средней размерности компакт­ного многообразия; в теории чисел: разложение чисел в суммы квадратов; в дифференциальной геометрии: риманова геометрия или гео­метрия лоренцевых многообразий, используемых в теории отно сительности;

в механике: форма Лиувилля и вся симплектическая геометрия, а также теория торсоров.

В данной работе мы затронем несколько вопросов теории квадратичных форм и квадрик, имея в виду прежде всего геометрические приложения: определения и приведение к каноническому и нормальному виду квадратичных форм и квадрик, классификация квадрик в двумерном и трёхмерном аффинном и евклидовом пространствах и др.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.

I. Квадратичные формы.

1.Определения. Примеры.

Рассматриваем квадратичные формы только над полем дей­ствительных чисел R.

Определение. Квадратичной формой f(x₁,…,x_n) над R от неизвестных x₁, ..., x_n называется однородный многочлен

(1)

степени 2, где и не все коэффициенты нулевые.

Таким образом, каждый член квадратичной формы содержит или квадрат одной из переменных, или произведение двух разных пере­менных.

Переменные можно рассматривать как аффинные координаты точки пространства или как координаты вектора пространства . Будем обозна­чать квадратичную форму от переменных через или просто через .

Пример 1.  квадратичная форма от переменных .

Пример 2.  квадратичная форма от переменных .
Матрица



называется матрицей квадратичной формы (1). Так как , то эта матрица симметрическая: её элементы симметричные относительно главной диагонали равны между собой.

Линейным преобразованием переменных называется такой переход от системы n переменных к системе n переменных , при котором старые переменные выражаются через новые при помощи линейных формул



или,

(2)

где коэффициенты образуют невырожденную матрицу.

Если переменные рассматривать как координаты вектора пространства относительно некоторого базиса , то это преобразование можно истолковать как переход в к новому базису , относительно которого этот вектор имеет координаты .

В дальнейшем мы будем рассматривать квадратичные формы и линейные преобразования только с действительными коэффициентами. Будем считать, что и переменные принимают лишь действительные значения.

Если в квадратичной форме (1) переменные подвергнуть линейному преобразованию (2), то получится квадратичная форма от переменных с новыми коэффициентами.

Любую квадратичную форму 2 можно привести к виду, содержащему только квадраты новых переменных



Такой вид квадратичной формы называется каноническим; матрица формы в этом случае является диагональной



Если, в частности, коэффициенты равны или 0, то этот вид квадратичной формы называется ее нормальным видом.

Пример 3. Известно, что уравнение центральной кривой 2-го порядка



с помощью перехода к новой системе координат по формулам



можно привести к виду

.

Квадратичная форма при этом принимает канонический вид.

2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Лемма 1. Если квадратичная форма

(3)

не содержит квадратов переменных, то с помощью линейного преобразования ее можно привести в форму, содержащую квадрат хотя бы оной переменной.

Доказательство. По условию квадратичная форма содержит только члены с произведениями переменных. Пусть при каких-нибудь различных значениях и , т.е. – один из этих членов. Если выполнить линейное преобразование



(его определитель не равен 0), то в квадратичной форме появятся даже два члена с квадратами переменных

.

Эти слагаемые не могут исчезнуть после приведения подобных членов, т.к. любое из остальных слагаемых содержит хотя бы одну переменную, отличную от y_iиy_j.

Лемма 2. Если квадратичная форма (3) содержит член с квадратом переменной, например член , и еще хотя бы один член с этой переменной , то с помощью линейного преобразования данную квадратичную форму можно перевести в форму от переменных , имеющую вид

(4)

где g – квадратичная форма, не содержащая переменной y_i.

Доказательство. Выделим в квадратичной форме (3) сумму членов, содержащих переменную x_i:

(5)

где через g₁ обозначена сумма всех остальных членов (не содержащих переменную x_i). Введем также обозначение



Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов, сложенной с удвоенными произведениями каждого члена на каждый из последующих. Следовательно, если в выражении для y_i² выделить сумму членов, содержащих переменную x_i, то эта сумма будет содержать квадрат члена a_iix_i и удвоенное произведение этого члена a_iix_i на остальные члены многочлена

(6)

где g₂ – сумма членов, не содержащих переменную x_i.

Разделим обе части выражения (6) на a_ii и вычтем полученное равенство из выражения (5). После приведения подобных членов будем иметь



Выражение в правой части не содержит переменной x_i и является квадратичной формой от переменных x₁, x₂,…,x_i-1,x_i+1,…,x_n. Обозначим его через g, а коэффициент  через d_ii. Тогда



Если произвести линейное преобразование

(определитель которого не равен 0), то g будет квадратичной формой от переменных и квадратичная форма f окажется приведенной к виду (4).

Теорема. Всякая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью линейного преобразования переменных.

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. Квадратичная форма от одной переменной x_i имеет вид c₁₁x₁², уже являющийся каноническим. Предположим, что эта теорема верна для квадратичных форм от переменных, и докажем, что она будет верна тогда и для квадратичных форм от n переменных.

Если квадратичная форма (3) не содержит квадратов переменных, то по лемме 1 ее можно с помощью линейного преобразования перевести и в квадратичную форму, содержащую квадрат хотя бы одной переменной. По лемме 2 полученную квадратичную форму можно представить в виде (4). Т.к. квадратичная форма g в равенстве (4) зависит от переменных , то по сделанному предположению она может быть приведена к каноническому виду линейным преобразованием этих переменных. От переменных мы перейдем при этом к новым переменным . Если к формулам этого перехода добавить еще и формулу , то получатся формулы линейного преобразования, которое приводит к каноническому виду квадратичную форму , содержащуюся в равенстве (4).

Композиция всех рассмотренных преобразований переменных является искомым линейным преобразованием, приводящим к каноническому виду данную квадратичную форму (3).

Если квадратичная форма (3) содержит квадрат какой-нибудь переменной, то лемму 1 применять не нужно. Теорема доказана.

Способы приведения квадратичной формы к каноническому и нормальному виду.

1) Если данная квадратичная форма от n переменных не содержит квадратов переменных, то с помощью линейного преобразования, примененного при доказательстве леммы 1, переходим к квадратичной форме, содержащей квадраты переменных. Затем с помощью линейного преобразования, рассмотренного при доказательстве леммы 2, представляем квадратичную форму в виде суммы члена с квадратом какой-нибудь переменной и квадратичной формы от остальных переменных. Применив снова этот же прием к полученной квадратичной форме, получаем еще один член с квадратом другой переменной и квадратичную форму от остальных переменных. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не получится квадратичная форма, содержащая только члены с квадратами переменных.

От канонического вида квадратичной формы

,

где и отличны от нуля, можно перейти к нормальному виду



(где при с_i>0 и при с_i<0) с помощью линейного преобразования



Этот способ приведения квадратичной формы к нормальному виду называют методом Лагранжа.

2) Иногда трудно следовать алгоритму Лагранжа, например, ес­ли число неизвестных достаточно велико. Тогда можно восполь­зоваться методом Якоби.

Рассмотрим матрицу A квадратичной формы f

.

Вычислим так называемые главные определители

.

Метод Якоби применим, если

При выполнении этого условия квадратичную форму f можно привести к одному из следующих видов:

или .

От первого вида ко второму можно перейти заменой неизвестных



Закон инерции: Если данная квадратичная форма приведена к каноническому виду с помощью двух различных линейных преобразований, то число положительных коэффициентов при квадратах новых переменных, так же как и число отрицательных коэффициентов, будет в обоих случаях одно и то же (примем без доказательства).

3.Положительно определённые квадратичные формы.

Из закона инерции следует, что число р положительных, число q отрицательных, а значит, и число р+q всех ненулевых членов в каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа приведения этой формы к каноническому виду.

Число всех ненулевых членов в каноническом виде квадратичной формы называется рангом этой формы, а число положительных членов – ее положительным индексом.

Можно доказать, что, к каким бы переменным ни была отнесена квадратичная форма, ранг этой формы и ранг ее матрицы одинаковы.

Квадратичная форма называется положительно определенной, если при любых одновременно не равных нулю значениях переменных ее значения положительны.

Теорема. Для того, чтобы квадратичная форма от n переменных была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее положительный индекс был равен n.

Доказательство. Пусть квадратичная форма приведена к каноническому виду



с помощью линейных преобразований

(7)

Т.к. преобразование, обратное линейному, является линейным, то, решая систему уравнений (7) v_i, получим

(8)

Если  какие-нибудь значения старых переменных, не все равные нулю, то и соответствующие им значения новых переменных не все равны нулю. Действительно, если предположить, что , то, подставляя эти значения в формулу (7), получим, что . Аналогично, если не все равны нулю, то согласно формуле (8) также и не все равны нулю. Для этих значений

(9)

Докажем теперь необходимость условия. Пусть квадратичная форма положительно определенная. Если положить



То из (9) следует, что . Так как квадратичная форма положительно определенная, то , а следовательно, и c₁>0. Аналогично получим, что c₂ >0, … , c_n >ни0, но это и означает, что положительный индекс данной квадратичной формы равен n.

Докажем то, что условие является также и достаточным. Пусть положительный индекс квадратичной формы равен n, т.е. c₁>0, c₂>0, … , c_n>0. Для любых значений , одновременно не равных нулю, соответствующие значения также не все равны нулю, но тогда из 20 следует, что , т.е. что квадратичная форма положительно определенная. Теорема доказана.

4. Квадратичные формы в евклидовом пространстве.

Определение. Линейное преобразование переменных с ортогональной матрицей называется ортогональным.

Квадратичную форму можно привести к каноническому виду, ограничиваясь только ортогональными преобразованиями переменных. Однако приведение квадратичной формы к нормальному виду с помощью ортогонального преобразования уже не всегда выполнимо.

Лемма. Если квадратичная форма и линейный оператор имеют одну и ту же матрицу относительно какого-нибудь ортонормированного базиса, то они будут иметь одинаковые матрицы и относительно любого другого ортонормированного базиса.

Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму:

(10)

И линейный оператор, матрица которого относительно какого-либо ортонормированного базиса совпадает с матрицей этой квадратичной формы: .

Этот оператор отображает произвольный вектор на вектор по формулам:

(11)

Тогда квадратичную форму (10) можно записать в виде

(12)

Перейдем к новому ортонормированному базису. Пусть векторы и имеют относительно этого базиса соответственно координаты и , а формулы, связывающие эти координаты, имеют вид

(13)

Выражая скалярное произведение векторов и через их координаты относительно нового базиса, получим с помощью (13)

Отсюда в следствие (12) получаем

(14)

Сравнивая (13) и (14), видим, что данные квадратичная форма и линейный оператор имеют и относительно нового базиса одну и ту же матрицу с элементами .

Теорема. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования переменных.

Доказательство. Пусть (10)  данная квадратичная форма. Рассмотрим линейный оператор, имеющий относительно некоторого ортонормированного базиса ту же симметрическую матрицу, что и эта квадратичная форма. Характеристическое уравнение этого оператора:

(15)

Так как матрица линейного оператора всегда может быть приведена к диагональному виду с помощью соответствующего выбора базиса, то существует ортонормированный базис , относительно которого матрица данного линейного оператора имеет диагональный вид; при этом диагональными элементами будут служить корни характеристического уравнения (15). По лемме квадратичная форма (10) будет иметь в новом базисе ту же матрицу, что и этот линейный оператор, т.е. окажется приведенной к каноническому виду

(16)

здесь каждый корень характеристического уравнения взят столько раз, какова его кратность.

Векторы нового базиса выражаются через векторы старого базиса формулами вида

, (17)

при этом матрица перехода является ортогональной. Таким образом, матрица преобразования

, (18)

приводящего квадратичную форму к каноническому виду, получается при транспонировании этой ортогональной матрицы и, следовательно, также является ортогональной. Теорема доказана.
Способ приведения квадратичной формы к каноническому. Для нахождения коэффициентов в каноническом виде (16) квадратичной формы (10) достаточно решить характеристическое уравнение (17).

Укажем теперь способ нахождения соответствующего ортонормированного базиса и ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду.

1) Пусть - корень характеристического уравнения, имеющий кратность 1. подставив этот корень в систему (11), принимающую при вид (19)

Найдем из нее координаты собственного вектора , соответствующего этому собственному значению . Разделив найденный вектор на его длину, получим вектор искомого ортонормированного базиса.

2) Пусть теперь - корень характеристического уравнения, имеющий кратность m>1. после его подстановки в (19) найдем m независимых решений полученной системы, выбрав их так, чтобы они определяли координаты m попарно ортогональных единичных векторов. Эти векторы образуют ортонормированный базис m-мерного подпространства, состоящего из собственных векторов, соответствующих данному собственному значению . Примем найденные векторы за векторы искомого базиса пространства V_n.

Матрицу ортогонального преобразования (18), приводящего квадратичную форму к каноническому виду, можно получить транспонированием матрицы перехода от базиса к базису .