квадратичные формы и квадрики. реферат. Основная часть. 4 I. Квадратичные формы.

• Название: Основная часть. 4 I. Квадратичные формы.
• Дата: 31.03.2023
• Размер: 0.64 Mb.
• Имя файла: квадратичные формы и квадрики. реферат.doc
• Тип: Документы; #1028730
• страница: 2 из 2

II. Квадрики.

1. Определения. Примеры.

Квадрикой(гиперповерхностью второго порядка) в аффинном пространстве A_n называется множество точек, координаты которых в некоторой аффинной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени.

В общем виде уравнение квадрики может быть записано следующим образом (20)
где - сумма членов второй степени, т.е. некоторая квадратичная форма , - сумма членов первой степени (так называемая линейная форма): , а – свободный член.

Пример 1. В A₂ квадрика имеет уравнение вида



И является кривой 2-го порядка.

Пример 2. В A₃ квадрика – поверхность 2-го порядка:


Понятие квадрики не зависит от выбора системы координат.

Может случиться, что над полем действительных чисел R для некоторого уравнения (20) нет ни одной удовлетворяющей ему точки. Всё-таки про такое уравнение говорят, что оно есть уравнение квадрики. Иногда при этом гиперповерхность называют мнимой(или нулевой).

Например, говорят, что уравнение задаёт мнимую сферу(в евклидовом пространстве с системой декартовых прямоугольных координат ).

Теорема. Если множество точек в некоторой аффинной системе координат определяется уравнением второй степени, то оно будет определяться уравнением второй степени и в любой другой аффинной системе координат.

Доказательство. Если множество точек задано в старой системе координат уравнением (20), то для получения уравнения данного множества в новой системе достаточно подставить в это уравнение выражения старых координат через новые координаты . При этом не могут получиться члены степени выше второй, т.е. степень уравнения не может повыситься.

Степень уравнения не может и понизиться. Действительно, если бы степень нового уравнения оказалась ниже второй, то при обратном переходе от этого уравнения к уравнению (20) степень уравнения стала бы равной двум, т.е. повысилась; но выше уже было доказано, что это невозможно.

2. Приведение уравнения квадрики к нормальному виду.

Пусть квадрика задана в некоторой аффинной системе координат уравнением (20). Поставим себе цель – упростить это уравнение путем надлежащего выбора новой аффинной системы координат.

Теорема. При соответствующем выборе аффинной системы координат уравнение любой квадрики может быть приведено к одному из следующих видов

(21)

где ,

(22)

где , и

(23)

где , коэффициенты всюду равны +1 или 1.

Доказательство. Вначале произведем линейное преобразование

, приводящее к каноническому виду квадратичную форму .

С геометрической точки зрения это означает переход к новой аффинной системе координат с прежним началом. При соответствующей нумерации новых координат уравнение (20) квадрики примет вид

, где и коэффициенты р₁,…, р_m не равны нулю.

Выделяя полные квадраты, будем иметь
Подвергнем систему координат параллельному переносу



Если ввести обозначение



то относительно полученной системы координат квадрика будет иметь уравнение (24)
Заметим, что при m=n формулы параллельного переноса принимают вид

,

а уравнение (24) – вид

Продолжим упрощение уравнения квадрики.

Возможны следующие случаи:

1) Если в уравнении (24) и , то оно имеет вид



Перейдя к новой системе координат по формулам



Приведем уравнение квадрики к виду

,

где при и при ;

2) если и , то уравнение (24) имеет вид



После преобразования координат по формулам



будем иметь

,

где при и при ;

3) пусть теперь m<n и хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, например, . Выполнив преобразование координат по формулам



приведем уравнение (24) к виду

.

После преобразования координат по формулам



получим уравнение



где при и при .

Теорема доказана полностью.

Уравнения (21), (22), (23) называются нормальными видами уравнения квадрики.

3. Центр квадрики.

Определение. Точка S называется центром симметрии или просто центром квадрики, если точка, симметричная любой точке квадрики относительно S, также принадлежит квадрике.

Теорема. Если уравнение квадрики имеет вид (21) или (22), то точка , для которой , является центром квадрики.

Доказательство. Если точки и симметричны относительно точки S, то

,

откуда



Т.к. s₁= s₂=…= s_m=0, то



Уравнения (21) и (22) содержат координаты точки только во второй степени; следовательно, если координаты точки M' удовлетворяют какому-либо из этих уравнений, то этому же уравнению удовлетворяют координаты точки M''. Т.к. точка M'' симметрична точке M' относительно S, то S – центр квадрики.

Из теоремы следует, что все точки (nm)-мерной плоскости, имеющей уравнения

(25)

являются центрами квадрики (21) и (22); можно доказать, что других центров квадрика не имеет.

В частности, при m=n эта плоскость является нуль-мерной: уравнениям (15) удовлетворяют координаты единственной точки – начала координат. В этом случае квадрика имеет единственный центр.

Можно доказать, что квадрика (23) не имеет ни одного центра.

Т.к. уравнение квадрики всегда может быть приведено к виду (21), (22) или (23), то для любой квадрики имеет место один и только один из следующих трех случаев:

1) квадрика не имеет центра;

2) квадрика имеет единственный центр (тогда она называется центральной);

3) квадрика имеет бесконечное множество центров, являющееся некоторой плоскостью.

4. Аффинная классификация квадрик.

1. Эллипсоиды и гиперболоиды. При m=n уравнение (21) имеет вид

(26)

где равны +1 или 1.

В зависимости от знаков получаем квадрики различных видов:

1) при квадрика называется эллипсоидом и имеет уравнение



Внешне это уравнение напоминает уравнение сферы евклидова пространства в прямоугольной декартовой системе координат, однако следует помнить, что мы пользуемся единой системой координат, а понятие сферы в аффинной геометрии отсутствует.

2) при уравнение (26) принимает вид



Т.к. мы рассматриваем действительное аффинное пространство, то точек с координатами, удовлетворяющими этому уравнению, не существует. Однако по аналогии с предыдущим случаем это уравнение называют уравнением мнимого эллипсоида.

3) если не все одинаковы, то квадрика называется гиперболоидом.

Таким образом, эллипсоид и гиперболоид являются центральными квадриками.

2. 
   Конусы. При m=n уравнение (22) имеет вид
   

(27)

где равны +1 или 1.

1) Если знаки не все одинаковы, то квадрика называется конусом. Конус – центральная квадрика, центр конуса называется его вершиной. Центром конуса (27) является начало координат.

Если координаты точки А(а₁, а₂,…,а_n), отличной от вершины конуса, удовлетворяют уравнению (27), то этому уравнению удовлетворяют и координаты любой точки вида (tа₁, tа₂,…,tа_n). Множество всех таких точек является прямой, проходящей через А и вершину конуса – начало координат. Эта прямая целиком принадлежит конусу и называется его прямолинейной образующей.

2) Если , то квадрика (27) состоит из единственной точки (начала координат) и называется мнимым конусом с вершиной в этой точке.

3. Параболоиды. При m=n1 уравнение (23) принимает вид

(28)

где равны +1 или 1.

Квадрика в этом случае называется параболоидом. Параболоид не имеет центра.

4. Цилиндрические квадрики. Если в уравнениях (21) и (22) m<n, а в уравнении (23) m<n1, то, полагая в (21) и (22) m=r, а в (23) m=r1, получим соответственно

, (29)

, (30)

, (31)

где r<n и равны +1 или 1.

Квадрика, для которой (29), (30) или (31) является нормальным уравнением, называется цилиндрической.

Можно показать, что цилиндрическая квадрика состоит из параллельных друг другу (nr)-мерных плоскостей (образующих), пересекающих некоторую квадрику (направляющую), лежащую в r-мерной плоскости. Квадрики (29) и (30) имеют в общем случае бесконечное множество центров, являющееся (nr)-мерной плоскостью. Квадрика (31) центров не имеет.

Аффинная классификация квадрик в пространстве А₂. Уравнение любой квадрики может быть приведено к одному из следующих нормальных видов:

а) неконические центральные кривые:

1)  эллипс;

2)  гипербола;

3)  мнимый эллипс;

б) конические центральные кривые:

4)  пара пересекающихся мнимых прямых;

5)  пара пересекающихся действительных прямых;

в) нецентральные нецилиндрические кривые:

6)  парабола;

г) цилиндрические кривые, имеющие центры:

7)  пара параллельных прямых;

8)  пара мнимых параллельных прямых;

9)  пара слившихся прямых.

Любые две квадрики, принадлежащие к одному и тому же классу, аффинно эквивалентны. Это связано с тем, что формулы перехода от одной аффинной системы координат к другой и формулы аффинных преобразований с алгебраической точки зрения имеют один и тот же вид.

Заметим, что квадрики с различными нормальными уравнениями могут оказаться одинаковыми точечными множествами. Так, например, мнимый эллипс и пара мнимых параллельных прямых – пустое точечное множество. Поэтому квадрики, принадлежащие различным классам, иногда могут оказаться аффинно эквивалентными; с геометрической точки зрения эти классы тогда не различаются между собой.

5. Квадрики в Евклидовом пространстве.

Упрощение уравнения квадрики производится вначале по тому же плану, что и в п. II.2, с той лишь разницей, что квадратичная форма, содержащаяся в левой части уравнения (20), приво­дится к каноническому виду с помощью ортогонального преобразо­вания (а не произвольного линейного, как раньше). С геометри­ческой точки зрения это означает переход к новой прямоугольной декартовой системе координат, получаемой из исходной прямоуголь­ной декартовой системы координат с помощью вращения вокруг на­чала координат. Подвергая затем полученную систему координат параллельному переносу, приведем уравнение квадрики к

, (32)
где mn и коэффициенты не равны нулю.
При дальнейшем упрощении уравнения квадрики обычно уже не удается добиться того, чтобы все коэффициенты при квадратах координат были равны +1 или 1. Это связано с тем, что при по­мощи ортогонального преобразования квадратичная форма не всегда приводится к нормальному виду. Поэтому в пространстве Е_n уравнение квадрики в общем случае уже не удается привести к такому же простому виду, как в пространстве А_n.
Так как конгруэнтные фигуры являются также и аффинно экви­валентными, то аффинная классификация квадрик, установленная в п. II.4, остается в силе и для пространства Е_n. Однако не всякие аффинно эквивалентные фигуры конгруэнтны; поэтому каждый из классов аффинной классификации может быть разбит на бесконечное множество классов так, что любые две квадрики из одного класса конгруэнтны, а любые две квадрики из разных классов не конгру­энтны. В связи с этим появляется возможность выделения новых видов квадрик, не рассматривавшихся в А_n.
6. Классификация квадрик в трёхмерном евклидовом пространстве.

Классификация квадрик в пространстве Е₂ совпадает с приведённой ранее классификацией в пространстве А₂.

Чтобы дать полную классификацию квадрик при п = 3, рас­смотрим все частные случаи, которые могут представиться при упрощении уравнения (32).

Случай 1. . Уравнение (32) принимает вид

или .

В зависимости от знаков и p это уравнение можно записать в различных видах:

1)  эллипсоид;

2)  мнимый эллипсоид;

3)  однополостный гиперболоид;

4)  двуполостный гиперболоид.

Все эллипсоиды аффинно эквивалентны и, следовательно, с точки зрения аффинной геометрии не отличаются друг от друга по своим свойствам. Однако не всякие два эллипсоида конгруэнтны и даже подобны; в связи с этим в евклидовой геометрии появляется возможность классификации эллипсоидов.

Если а₁, а₂, а₃ различны, то эллипсоид называется трехосным. Если равны какие-нибудь два из чисел а₁, а₂, а₃, то эллипсоид на­зывается эллипсоидом вращения. Если а₁ = а₂ = а₃, то эллипсоид является сферой. Эта классификация инвариантна относительно движений; например, любое движение может отобразить сферу также только на сферу. Поэтому указанные виды эллипсоидов являются объектами, изучаемыми в евклидовой геометрии.

Аналогичные замечания можно сделать и относительно других ви­дов квадрик(например, можно выделить гиперболоиды вращения, конус вращения и т. п.).

Случай 2. . Уравнение (32) принимает вид

. Получаем случаи:

5)  конус (при  конус вращения);

6)  мнимый конус с вершиной в действительной точке;

Случай 3. . Уравнение (32) принимает вид

.

С помощью параллельного переноса координат по формулам



можно освободиться от свободного члена. Получим частные случаи:

7)  эллиптический параболоид (при  параболоид вращения);

8)  гиперболический параболоид.

Случай 4. Цилиндрические квадрики.

1. .

9)  эллиптический цилиндр (при  цилиндр вращения);

10)  мнимый эллиптический цилиндр;

11)  гиперболический цилиндр.

2. .

12)  пара пересекающихся плоскостей;

13)  пара мнимых плоскостей, пересекающихся по действительной прямой .

3. .

14)  пара различных параллельных плоскостей;

15)  пара мнимых параллельных плоскостей;

16)  пара совпавших плоскостей.

4. , где .

Разделив обе части этого уравнения на и освободившись, как в случае 3, от свободного члена, приходим к уравнению вида

.

С помощью ортогонального преобразования



где , переходим к новой прямоугольной декарто­вой системе координат, относительно которой квадрика  пара­болический цилиндр  будет иметь уравнение

17) .

Те виды, к которым было приведено уравнение квадрики во всех рассмотренных выше случаях, называютсяканоническимивидами уравнения квадрики.

Имеет место теорема о классификации квадрик в Е₃: Существует семнадцать и только семнадцать поверхностей второго порядка (рассмотренных выше).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Теории симметричных и квадратичных форм векторных пространств и квадрик (или геометрических образов второго порядка) проективных пространств над полем развивались взаимосвязано и достаточно хорошо разработаны. Изучение произвольных рефлексивных форм над полем сведено к изучению невырожденных рефлексивных форм, а последние классифицированы вместе с симметричными и кососимметричными формами. Наряду с развитием этой теории, в исследованиях проективных пространств возрастал интерес к переходу от полей к более общим кольцам коэффициентов.

Естественно, что квадрики исследуются взаимосвязано с квадратичными формами и их матрицами.

В данной работе были рассмотрены квадратичные формы, их основные представления – нормальный и канонический вид. Доказана возможность приведения квадратичной формы к основным видам и указаны способы преобразования квадратичных форм.

Также рассмотрено понятие квадрики, центра квадрики и приведение уравнения квадрики к нормальному виду. В работу приведена классификация квадрики, в частности классификация в двумерном аффинном и трёхмерном евклидовом пространствах.

Объекты, которые мы рассмотрели, в частности аффинные квадрики, очень важны с практической точки зрения, ибо это самые простые, после прямых и плоскостей, поверхности и кривые в трёхмерном пространстве и на плоскости, которые встречаются всюду – в математике и механике, физике и астрономии. Верхушка Эйфелевой башни и верхние этажи Монпарнасской башни в ветреную погоду описывают эллипсы, у которых максимальная ось должна быть разумной величины, чтобы это не казалось опасным. А при помощи парабол проще всего выполнить сопряжение двух прямых. Поэтому теория квадратичных форм и квадрик всегда будет актуальна.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Атанасян Л.С., «Геометрия», часть 1. М.:»ПРОСВЕЩЕНИЕ», 1973 г.;

2. М.Берже, «Геометрия», том 2. М.: «Мир», 1984;

3. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р., «Линейная алгебра и многомерная геометрия». – М. 1970 г.;

4. Парнасский И.В., Парнасская О.Е., «Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики». – М.: «ПРОСВЕЩЕНИЕ», 1978 г..