методичка по ТВ1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей
 Скачать 0.76 Mb.
|
|
Теорема 1.11 (Интегральная теорема Муавра-Лапласа). Если веро- ятностьp наступления события A в каждом испытании постоянна и от- лична от нуля и единицы, то вероятность 1 2 ( ) n P k k k может быть най- дена по приближенной формуле: 2 2 1 2 1 2 1 ( ) , 2 x t n x P k k k e dt где 1 2 1 2 , k np k np x x npq npq (1.29) Используя функцию Гаусса (1.28), равенство (1.29) можно записать в виде: 2 1 1 2 ( ; ) ( ) . x n x P k k t dt Однако для упрощения вычислений, при использовании формулы (1.29) вводят специальную функцию 2 2 0 0 1 ( ) , 2 x t x e dt (1.30) называемую нормированной функцией Лапласа. Выразим правую часть равенства (1.29) через функцию Лапласа (1.30): 40 2 2 2 2 2 1 1 0 2 2 2 2 1 0 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 x x t t t x x e dt e dt e dt x x Равенство (1.29) принимает вид: 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) n P k k k x x , (1.31) где 1 2 1 2 , k np k np x x npq npq Эту формулу обычно используют на практике. Свойства функции ( ) x : 1. Функция Лапласа (1.30) нечетная, то есть ( ) ( ) x x . Доказательство. 2 2 2 2 0 0 1 1 ( ) ( ). 2 2 x x t z t z x e dt e dz x dt dz 2. Функция ( ) x монотонно возрастает, причем ( ) 0,5 x при x . Практически можно считать что ( ) 0,5 x при 5 x Доказательство. Так как 2 / 2 1 ( ) 2 x x e и / ( ) 0 x при ( , ) x , то ( ) x монотонно возрастает на всей числовой прямой, 2 2 2 2 0 0 1 1 lim ( ) lim , 2 2 2 2 x t t x x t x e dt e dt z dt dz 2 2 2 0 0 1 1 1 2 2 2 z z z e dz e dz e dz Здесь использовали свойство интеграла от четной функции: 2 2 0 2 z z e dz e dz Учитывая, что 2 z e dz (интеграл Эйлера-Пуассона), получим 1 lim ( ) 0,5 2 x x 41 График функции ( ) x приведен на рис 1.9. Рис. 1.9 Пример 1.48. Проверкой установлено, что цех в среднем выпускает 96% продукции высшего сорта. На базе приемщик проверяет 200 изделий этого цеха. Если среди них окажется более 10 изделий не высшего сорта, то вся партия бракуется, то есть возвращается в цех. Какова вероятность, что партия будет принята? Решение. Здесь 200, 0,04 n p (вероятность бракованного изделия), 0,96 q . Вероятность принятия всей партии, т.е. 200 (0 10) P m , можно най- ти по формуле (1.31). Здесь 1 2 0, 10 k k Находим, что 1 10 0 200 0,04 10 200 0,04 2,89, 0,72 200 0,04 0,96 200 0,04 0,96 x x 200 (0 10) (0,72) ( 2,89) 0,26424 0,49807 0,7623. P m 1.6.4. Следствие интегральной теоремы Муавра-Лапласа Следствие 1.4. Если вероятность p наступления события А в каж- дом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то при достаточ- но большом числе n независимых испытаний вероятность того, что: а) отклонение относительной частоты k n от вероятности p в n независимых испытаниях не превосходит числа 0 равна: 2 n k n P p n pq (1.32) - 0,5 x 0,5 y 0 ( ) y x 42 б) число k наступления события А отличается от произведения np не более, чем на величину 0 по абсолютной величине равна 2 ; n P k np npq (1.33) в) относительная частота k n события А заключена в пределах от до , равна 2 1 ( ) ( ), n k P z z n (1.34) где 1 2 , p p z z pq n pq n (1.35) Доказательство. а). Из неравенства k p n следует: , k p np n nk np n n . По формуле (1.29) получаем: 2 2 2 2 0 1 2 2 2 2 n n pq pq t t n n pq n P np n k np n e dt e dt pq , то есть 2 n k n P p n pq б) Неравенство k np равносильно двойному неравенству np k np Поэтому по интегральной формуле (1.31). ( ) 2 n n np np np np P k np P np k np npq npq npq npq npq npq npq 43 б) Неравенство k n равносильно неравенству 1 2 k k k при 1 k n и 2 k n . Заменяя в формуле (1.31) величины 1 k и 2 k полученными выражениями, получим доказываемые формулы (1.33) и (1.34) Пример 1.49. Вероятность брака при изготовлении некоторого изде- лия равна 0,02. Найти вероятность того, что при 98 n произведенных изде- лий отклонение относительной частоты от вероятности по модулю не пре- вышает 0,05 Решение. 98 98 0,02 0,05 2 0,05 2 (3,54) 0,9996. 0,02 0,98 k P n Пример 1.50. В некотором городе из каждых 100 семей 80 имеют ав- томобиль. Вычислить вероятность того, что среди 400 выбранных семей от 280 до 360 имеют автомобиль. Решение. Вычислить вероятность 400 (280 360) P k можно по основ- ной формуле (1.31). Но проще это сделать, если заметить, что границы ин- тервала 280 и 360 симметричны относительно величины 320 np . Тогда по формуле (1.33): 400 400 400 (280 360) ( 40 320 40) ( 320 40) 40 2 2 (5,0) 1. 400 0,8 0, 2 P k P k P k Пример 1.51. По статистическим данным в среднем 87% новорож- денных доживают до 50 лет. 1. Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля (относи- тельная частота) доживших до 50 лет будет: а) заключена в пределах от 0,9 до 0,95; б) отличаться от вероятности этого события не более чем на 0,04 (по абсолютной величине). 2. При каком числе новорожденных с надежностью 0,95 доля дожив- ших до 50 лет будет заключена в границах от 0,86 до 0,88? 44 Решение. 1. а) Вероятность p того, что новорожденный доживет до 50 лет, равна 0,87. Так как 1000 n велико (условие 1000 0,87 0,13 113,1 20 npq выполнено), то используем следствие инте- гральной теоремы Муавра-Лапласа. Вначале определим по (1.35) 1 2 0,9 0,87 0,95 0,87 2,82, 7,52. 0,87 0,13/1000 0,87 0,13/1000 z z Теперь по формуле (1.34) 1000 0,9 0,95 (7,52) (2,82) 0,5 0, 4976 0,0024 k P n б) По формуле (1.32) 1000 0,04 1000 0,87 0,04 2 2 (3,76) 0,9998. 0,87 0,13 k P n Так как неравенство 0,87 0,04 k n равносильно неравенству 0,83 0,91 k n , полученный результат означает, что практически достоверно, что от 830 до 910 новорожденных из 1000 доживут до 50 лет. 2. По условию 0,86 0,88 0,95 n k P n или 0,01 0,87 0,01 0,87 0,01 0,95 n n k k P P n n По формуле (1.32) при 0,01 получим 2 0,95 n pq , то есть 2 ( ) 0,95 t при 1,96 t Следовательно n t pq , откуда 2 2 2 2 1,96 0,87 0,13 4345, 0,01 t pq n то есть соответствующее условие может быть гарантировано при существенном уве- личении числа рассматриваемых новорожденных до 4345. n |