методичка по ТВ1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей

• Название: Основные понятия и теоремы теории вероятностей
• Дата: 23.10.2022
• Размер: 0.76 Mb.
• Имя файла: методичка по ТВ1.pdf
• Тип: Глава; #750238
• страница: 3 из 4

§ 1.5. Схема Бернулли
1.5.1. Формула Бернулли
Определение 1.25. Если производится несколько испытаний, то есть опыт выполняется при данном комплекте условий многократно (такое явле- ние называют последовательностью испытаний), причем вероятность насту- пления некоторого события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.
Примеры независимых испытаний.
1. Несколько подбрасываний монеты.
2. Стрельба по мишени без поправок на ранее допущенную ошибку при новом выстреле.

31 3. Определение числа бракованных изделий в партии товара.
Пусть проводится конечное число
n
последовательных испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может наступить либо не наступить, причем эти испытания удовлетворяют следующим условиям:
– каждое испытание случайно относительно события A , то есть до проведения испытания нельзя сказать, появится A или нет;
– испытания проводятся в одинаковых, с вероятностной точки зрения, условиях, то есть вероятность успеха в каждом отдельно взятом испытании одинакова и не меняется от испытания к испытанию;
– испытания независимы.
Определение 1.26. Последовательность
n
независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А (его называют ус-
пехом) с вероятностью
( )
P A
p

или противоположное ему событие
A
(его называют неудачей) с вероятностью
( ) 1
P A
p
 
, называется схемой Бер-
нулли, а сами испытания – испытаниями Бернулли.
Обозначим
( ) 1
P A
p
q
  
, тогда
1.
p
q
 
В каждом испытании пространство элементарных исходов состоит из двух элементов, то есть
 
;
A A
 
Для
n
испытаний пространство элемен- тарных исходов будет состоять из
2
n
элементов. Например, при
2
n

, (то есть опыт повторяется 2 раза), пространство элементарных исходов имеет вид:


( , ); ( ,
); ( ,
); ( ,
) .
A A
A A
A A
A A
 
В теории вероятностей особый интерес представляет случай, когда в
n
испытаниях событие А произойдет
k
раз
(0
)
k
n
 
. Вероятность этого со- бытия обозначают ( ).
n
P k
Пример 1.40. Игральный кубик подбрасывают 3 раза. Найти вероят- ность того, что цифра «1» выпадет 2 раза.

32
Решение. Введем событие А={выпадет цифра 1}. Нужно найти
3
(2)
P

вероятность того, что в трех испытаниях событие А произойдет 2 раза. Используя теоремы сложения и умножения вероятностей, можем найти искомую вероятность
3
(2)
P
. В одном испытании
1
( )
6
P A
p
 
. Тогда
5
( )
6
P A
q
 
. Тогда


2 2
3
(2)
P
P A A A
A A A
A A A
p
q
p q p
q p

       

     

2 2
1 5
5 3
3 0,069.
6 6
72
p q
 

 
 

 
 
В общем случае
( )
n
P k
можно искать, как в предыдущем примере. Од- нако при достаточно большом количестве испытаний это приводит к очень большим вычислениям. Таким образом, возникает необходимость разрабо- тать общий подход к решению поставленной задачи, который был реализо- ван в формуле Бернулли.
Теорема 1.8. Если производится
n
независимых испытаний, в каж-
дом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p , а
вероятность его непоявления равна
1
q
p
 
, то вероятность того, что со-
бытие А произойдет
k
раз определяется формулой Бернулли:
( )
,
0,1,2,..., .
k
k
n k
n
n
P k
C
p
q
k
n





(1.21)
Пример 1.41. Контрольный тест состоит из 4 вопросов. На каждый вопрос предлагается 4 варианта ответа, среди которых только один правиль- ный. Найти вероятность правильного ответа на два и четыре вопроса теста для неподготовленного человека (выбор ответа наудачу).
Решение. Вероятность события А={правильный ответ} в каждом ис- пытании равна
1 4
p

, тогда
1 3
1 4
4
q
  
. Отсюда
1)
4,
2.
n
k



33 2
2 2
4 4
1 3
(2)
0, 21 4
4
P
C
   




   
   
2)
4,
4.
n
k


4 0
4 4
4 1
3
(4)
0,004.
4 4
P
C
   




   
   
Замечание 1.2. Для вероятностей
( ),
0,1,...,
n
P k
k
n

выполняется ра- венство:
(0)
(1)
(2) ...
( ) 1.
n
n
n
n
P
P
P
P n


 

(1.22)
Замечание 1.3. Вероятность того, что в результате
n
независимых испытаний событие А появится от
1
k до
2
k раз вычисляется по формуле:
2 1
1 2
1 1
2
(
)
( )
(
1) ...
(
)
k
k
k
n k
n
n
n
n
n
k k
P k
k
k
P k
P k
P k
C
p
q


 


  




(1.23)
Пример 1.42. Монету подбрасывают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: 1) не менее двух раз; 2) от трех до пяти раз.
Решение. Вероятность выпадения герба в одном испытании
0,5
p

, тогда
0,5.
q

1)
6
n

. Найдем
6
(2 6)
P
k
 
. Используя формулу (1.22), получим
0 6
1 6
6 6
6 6
6 6
(2 6) 1
(0)
(1) 1 0,5 0,5 1 0,5 7 0,89.
P
k
P
P
C
C
 
 

 



 
 
2) Найдем
6
(3 5)
P
k
 
3 6
4 6
6 6
6 6
6 6
6
(3 5)
0,5 0,5 0,5 0,5 (20 15 6)
0,64.
P
k
C
C
C
  






  
1.5.2. Наивероятнейшее число появления случайного события
Определение 1.27. Наивероятнейшим числом появления случайного события А в результате
n
независимых испытаний по схеме Бернулли назы- вается такое число
0
k
, для вероятности которого выполняется неравенство
0
( )
( )
n
n
P k
P k

для всех
0
k
k

Пример 1.43. Производится три независимых выстрела по цели. Ве- роятности попадания при разных выстрелах одинаковы и равны
0,9
p

. Вы-

34 числить вероятности попадания для
0,1, 2,3
k

и найти наивероятнейшее число появления этого события.
Решение. Здесь
3,
0,9;
0,1.
n
p
q



Значения вычисленных вероят- ностей запишем в таблицу. Используя формулу (1.21), найдем:
1)
0 0
3 3
3
(0)
0,9 0,1 0,001
P
C





вероятность трех промахов;
2)
1 1
2 3
3
(1)
0,9 0,1 0,027
P
C





вероятность одного попадания;
3)
2 2
1 3
3
(2)
0,9 0,1 0, 234
P
C





вероятность двух попаданий;
4)
3 3
0 3
3
(3)
0,9 0,1 0,729
P
C





вероятность трех попаданий.
k
0 1
2 3
3
( )
P k
0,001 0,027 0,243 0,729
Из таблицы видим, что при
3
k

вероятность будет наибольшей, именно
3
(3)
0,729
P

, следовательно, наивероятнейшим числом попадания при трех выстрелах будет
0 3
k

Замечание 1.4. Для определения наивероятнейшего числа нет необ- ходимости вычислять вероятности для всех возможных значений
(0
)
k
k
n
 
. Это число определяется из системы неравенств:
0
np
q
k
np
p
 


(1.24)
Число
0
k также называют модой.
Свойства наивероятнейшего числа
0
k .
1.
0
k

целое число, которое находится в отрезке


;
np
q np
p


2. Разность между правым и левым концами этого отрезка всегда рав- на 1, так как
(
)
1
np
p
np
q
p
q
 

  
3. Если
(
)
np
q


дробное число, то
0
k – единственное.
4. Если
(
)
np
q


целое число, то получим два наивероятнейших числа:
/
//
0 0
,
k
np
q k
np
p





35
Пример 1.44. Вероятность того, что студент сдаст экзамен по матема- тике, есть величина постоянная и равная в среднем 0,8. Найти наивероятней- шее число студентов группы из 8 человек, которые сдадут экзамен по мате- матике и вычислить соответствующую вероятность.
Решение. По условию задачи
8,
0,8;
0,2
n
p
q



. Составим систе- му неравенств, используя формулу (1.24):
0 8 0,8 0, 2 8 0,8 0,8
k



 

0 6, 2 7, 2
k


Отсюда видим, что наивероятнейшее число студентов, которые сдадут экзамен, равно
0 7
k

. Вычислим соответствующую вероятность:
7 7
8 8
(7)
0,8 0, 2 0,524288 0,5.
P
C





§ 1.6. Предельные теоремы в схеме Бернулли
Использование формулы Бернулли (1.21) при больших значениях
n
и
k
вызывает большие трудности, так как это связано с громоздкими вычисле- ниями. Такие затруднения вызывает вычисления
( )
n
P k при малых значениях
p
. Поэтому возникает необходимость в отыскании приближенных формул для вычисления
( )
n
P k
, обеспечивающих необходимую точность. Такие фор- мулы дают нам предельные теоремы. Они содержат так называемые асим- птотические формулы, которые при большом количестве испытаний дают сколь угодно малую относительную погрешность.
1.6.1. Формула Пуассона
Теорема 1.9 (Теорема Пуассона). Если вероятность p наступления
события A в каждом испытании стремится к нулю (
0
p

) и число испы-
таний неограниченно увеличивается ( n
 
), но так, что их произведение
np является постоянной величиной (
np
const

), то вероятность появления

36
события A
k
раз (
0
k
n
 
) может быть вычислена по приближенной
формуле:
( )
,
,
!
k
n
e
P k
np
k






(1.25)
которая называется асимптотической формулой Пуассона.
Доказательство. Преобразуем формулу Бернулли (1.21) с учетом то- го, что p
n


:
!
(
1) ... (
(
1))
( )
1 1
1
!(
)!
!
k
n k
n
k
k
n
k
n
n n
n
k
P k
k n
k
n
n
k
n
n
n







     
  


 





 
 

  


 


  


 

1 2
1 1 1 1
... 1 1
1
!
n
k
k
k
k
n
n
n
n
n






 


 
 


  
 
  
 
 

 


 
 


 


 
 

Переходя к пределу при n
 
и учитывая, что lim 1
n
n
e
n












(II замечательный предел), получим формулу:
( )
,
,
0,1, 2,...
!
k
n
e
P k
np k
k







Замечание 1.5. Формулу (1.25) применяют, когда вероятность p ус- пеха крайне мала, то есть появление события A является редким событием, но количество
n
испытаний велико. Обычно ее используют, когда
50
n

, а
10
np

Замечание 1.6. Функцию
( )
n
P k
можно получить из таблицы, в при- ложении по данному значению
k
и вычисленному значению
np



37
Пример 1.45 Телефонная станция обслуживает 2000 абонентов. Веро- ятность позвонить любому абоненту в течение часа равна 0,003. Какова веро- ятность того, что в течение часа позвонят 5 абонентов?
Решение. Среднее число позвонивших в течение часа абонентов рав- но 2000 0,003 6 (
)
np




. Следовательно
5 6
5 6
0,13 5!
e
p



Пример 1.46. На факультете учится 1460 студентов. Какова вероят- ность того, что 10 февраля является днем рождения одновременно 5 студен- тов?
Решение. Вероятность того, что день рождения студента 10 февраля равна
1 365
p

. Так как
1 1460 4 10 365
np




 
, вероятность
p
мала, а
1460 50
n


– велико, то используем формулу
Пуассона:
5 4
1460 4
(5)
0,1563.
5!
e
P




1.6.2. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
В тех случаях, когда вероятность p не близка к нулю (
0,
1
p
p


), а число испытаний
n
велико, для вычисления вероятностей используют теоре- мы Муавра-Лапласса.
Теорема 1.10 (Локальная теорема Муавра-Лапласа). Если вероят-
ность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлич-
на от нуля и единицы, то вероятность
( )
n
P k того, что событие A про-
изойдет
k
раз в
n
независимых испытаниях при достаточно большом числе
n
может быть вычислена по приближенной формуле:
1
( )
( ),
n
P k
x
npq



где
k
np
x
npq


(1.26)

38
Функция
2 2
1
( )
2
x
x
e




(1.27) называется функцией Гаусса, а ее график – кривой вероятностей (см. рис. 1.8)
y
x
Рис. 1.8
Равенство (1.26) можно переписать в виде
2 2
1 1
( )
,
2
x
n
P k
e
npq




где
k
np
x
npq


(1.28)
Для функции
( )
x

составлены таблицы значений (приложение 1).
Свойства функции Гаусса:
1. Функция Гаусса четная, то есть
(
)
( )
x
x


 
2. Функция ( )
x

монотонно убывающая при
0
x

, причем ( )
0
x


при x
 
. При
4
x

можно считать, что
( )
0
x


Замечание 1.7. Приближенные значения вероятности
( )
n
P k , вычис- ленные по формуле (1.26), на практике используются как точные при усло- вии
20
npq

Пример 1.47. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,8. Найти вероятность того, что при 400 выстре- лах мишень будет поражена 310 раз.
Решение. Здесь
400,
0,8,
0,2,
310
n
p
q
k




. Применим формулу
(1.28). Имеем:
400 0,8 0,2 64 8
npq





, следовательно,
0 1
0, 4 2


( )
y
x



39 310 400 0,8 10 1, 25 8
8
x



 
 
. Учитывая, что
( 1,25)
(1,25)
0,1827,





получаем
400 1
(310)
0,1827 0,0228.
8
P
 

1.6.3. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
В случае, когда требуется вычислить вероятность того, что в
n
незави- симых испытаниях событие
А появится не менее
1
k раз, но не более
2
k раз, то есть
1 2
(
)
n
P k
k
k
 
, используют интегральную теорему Муавра-Лапласса
(является частным случаем более общей теоремы – центральной предельной теоремы).