Реферат по ФОМНЭ ЛЭТИ. РЕФ ФОМНЭ. Основные представления нелинейной динамики

• Название: Основные представления нелинейной динамики
• Анкор: Реферат по ФОМНЭ ЛЭТИ
• Дата: 29.04.2023
• Размер: 0.5 Mb.
• Имя файла: РЕФ ФОМНЭ.docx
• Тип: Реферат; #1097561

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра МИТ


РЕФЕРАТ

Дисциплина: Физические Основы

Микро- и Наноэлектроники

Тема:

«Основные представления нелинейной динамики»

Студент гр. 1111		Федоров С.И.
Руководитель		Рассадина А.А.

Санкт-Петербург

2022

Содержание

Аннотация 3

Введение 3

Определение нелинейной динамики [2] 4

Динамические системы как метод нелинейной динамики [3] 5

Нейронные сети [4] 7

Хаос в нелинейной динамике [5] 10

Заключение 13

Список литературы: 15

Аннотация

Нелинейная динамика, предметом исследований которой является анализ сложных эволюционных процессов в принципиально нелинейных системах, сформировалась в качестве научного направления сравнительно недавно, примерно за последние 25-30 лет. Пока не создано четкой программы, тем более стандарта этой дисциплины, которая продолжает интенсивно развиваться.

Кратко невозможно описать предмет изучения нелинейной динамики, однако на базе даже одного примера можно полноценно проиллюстрировать важность данного ответвления в науке.

Когда мы рассматриваем электрическую цепь на начальном этапе обучения базовой электротехнике и находим по закону Ома необходимые величины (ток, напряжение или сопротивление), мы берем очень условно каждый из этих элементов, очень тривиально. Если углубляться и рассматривать цепь более сложную, содержащую C- или L-элемент, можно обнаружить, что цепь приобрела динамические свойства. Реакцию цепи n-го порядка можно найти как , где – постоянный коэффициент, – частоты собственных колебаний, которые являются корнем характеристического уравнения, получаемого из однородного дифференциального уравнения заменой . Иными словами, некоторые величины нельзя описать с помощью линейных законов сложения и умножения, необходимы более детальные и индивидуальные подходы к решению данных задач.

Введение

Цель: целью данной научной работы является изучение основных представлений нелинейной динамики и использование ее методов в прикладных науках. Нелинейная динамика является одним из основных методов в исследовании в прикладных науках, таких как радиотехника (анализ сигналов), электротехника (анализ свободных и вынужденных состояний цепей), прикладная механика (анализ маятников) и др. Бо́льшая часть нелинейной динамики вытекает из математического анализа и математической статистики. Без изучения в области нелинейной динамики невозможно было бы дать оценку некоторым физическим величинам, ведь их описание с помощью линейных (или же коммутативных) способов дает ложные результаты.

Задачи:

• 
  Дать определение нелинейной динамики и ее отличий от линейной;
  
• 
  Рассмотреть динамические системы как метод нелинейной динамики;
  
• 
  Рассмотреть переход от детерминированности к хаосу с точки зрения нелинейной динамики.
  

Определение нелинейной динамики [2]

Нелинейная динамика – раздел современной математики, занимающийся исследованием нелинейных динамических систем.

Под динамической системой условились понимать систему любой природы (физическую, химическую, биологическую, социальную, экономическую и др.), состояние которой изменяется (дискретно или непрерывно) во времени. Также основным свойством динамической системы является возможность изучаемым предсказать дальнейший ход системы с помощью математических преобразований.

Нелинейная динамика использует при изучении нелинейные модели – дифференциальные уравнения и дискретные отображения.

Следует отметить, что дать точное определение предмета изучения нелинейной динамики довольно сложно, однако, как подчеркнул один из основоположников теории колебаний и нелинейной динамики Л.И. Мандельштам, что в методе колебаний важно не дать точное понятие чем занимается этот раздел науки, но важно определить и выделить руководящие идеи и основные общие закономерности. Эту цитату можно проецировать и на понятие нелинейной динамики.

Одним из важных отличий нелинейной динамики от линейной является отсутствие возможности применения метода суперпозиции.

Изучение линейной динамики учеными привело их в настоящий тупик, так как, пытаясь анализировать физические процессы с его помощью, натыкались на противоречия между теорией и практикой в исследованиях. В метолах линейной динамики теория была идеализирована и понятна с помощью линейного математического аппарата. Русский ученый-физик Л.И. Мандельштам писал, что искусственная линеаризация процессов оказывалась малоэффективной, большей частью ничему не научала, а иногда бывала прямо вредной.

Однако полный отказ от принципа суперпозиции не произошел, так как, во-первых, он был полностью изучен учеными, а во-вторых, все еще остались процессы, которые с практической и философской точки зрения оставались тривиальными и описание их с помощью линейной физики оставалось верным.

Разобравшись с разницей между линейной и нелинейной динамикой, можно приступить к изучению основных методов и понятий в нелинейной динамике.

Динамические системы как метод нелинейной динамики [3]

Динамическая система была формально определена, если заданы три следующих элемента:

1. 
   Множество состояний Х, образующее полное метрическое пространство (фазовое пространство);
   
2. 
   Множество моментов времени ;
   
3. 
   Оператор эволюции – некоторое отображение , которое каждому состоянию в начальный момент времени однозначно ставит в соответствие некоторое состояние в любой другой момент времени . Таким образом, можно записать:
   

(1)

Рис. 1. Фазовая диаграмма странного аттрактора Лоренца — популярный пример нелинейной динамической системы.

Оператор эволюции является непрерывным в X и обладает следующими свойствами:

	(2)
	(3)

Где означает суперпозицию операторов.

Исходя из характера множеств и свойств оператора эволюции можно дать наиболее общую классификацию динамических систем.

Исходя из характера множеств Х, и свойств оператора эволюции можно дать наиболее общую классификацию динамических систем. Если , то есть время принимает непрерывное множество значений, то оператор эволюции непрерывен по и соответствующую динамическую систему называют системой с непрерывным временем или потоком, по аналогии с течением жидкости. Если множество является счетным, то динамическую систему называют системой с дискретным временем или каскадом.

Если оператор эволюции сохраняет фазовый объем, то динамическая система называется консервативной. Полная энергия консервативной системы остается постоянной. Если оператор эволюции сжимает фазовый объем, то система называется диссипативной. В такой системе происходит рассеяние (диссипация) энергии.

Нейронные сети [4]

Вычислительные машины дали очень много нелинейной динамике. Они позволили исследовать математические модели, возникающие в разных областях, и обнаружить множество интересных нелинейных эффектов.

Компьютерное моделирование играет важную роль в междисциплинарном подходе, называемом нейронаукой. Этот подход призван ответить на вопрос, как работает мозг, какие психические события определяются паттернами нервных импульсов в мозге.

Развитие нейронауки показало, что основным способом понимания протекающих в мозге процессов, осмысление имеющихся экспериментальных данных, постановки новых проблем является построение и исследование математических моделей. Модели скорее отвечают на вопрос, как могли бы работать те или иные системы, в каких-то чертах согласующиеся с данными об архитектуре, функциях, особенностях мозга. Тем не менее исследования в нейронауке уже открыли пути для создания новых компьютерных архитектур и наделению памяти наделению вычислительных систем своеобразной интуицией, ассоциативной памятью, способностью к обучению и обобщению поступающей информации, т.е. возможностями, которые раньше считались прерогативами живых систем.

Огромный интерес, проявляемый к этим работам в последние пятнадцать лет, обусловлен несколькими причинами. В 60-е и 70-е годы большие надежды возлагались на научное направление, называемое искусственным интеллектом. Предполагалось, что, опираясь на логику, дискретную математику, можно будет создать программное обеспечение, решающее широкий круг задач: от доказательства теорем и сочинения стихов до шахматной игры, медицинской диагностики, государственного планирования.

Во многих случаях формализация процедур оценки ситуации и выработки решения оказалась очень сложной. Их программная реализация, создание детальных инструкций для гигантского числа возможных ситуаций, с которыми может встретиться компьютерная система, также требует очень больших затрат. Ряд экспертов оценивали объем работы по созданию такой системы в сотни тысяч человеко-лет работы высококвалифицированных разработчиков.

Это заставило искать новые принципы и по-новому взглянуть на поразительную способность человеческого мозга ориентироваться в незнакомой, не встречавшейся ранее ситуации, управлять движением, принимать быстрые и достаточно точные решения, распознавать образы. В самом деле, трехлетний ребенок с легкостью отличает кошку от собаки в жизни, на картинке, при разном освещении. Для компьютерных программ это нерешенная проблема. Второе обстоятельство, способствовавшее бурному развитию нейронауки и большому интересу к ней, — успехи биологии. В последние сорок лет стало ясно, как в ряде важных случаев проходится путь от взаимодействия отдельных молекул до реакции организма как целого. На новом уровне, связанном с развитием молекулярной биологии, стала ясна универсальность многих биологических механизмов. Появилась надежда, что благодаря новым методам, инструментам, идеям этот путь может быть пройден и для процессов, связанных с восприятием, сознанием, психикой.

Наконец, развитие точных наук, успехи в исследовании нелинейных математических моделей помогли сформулировать новые идеи в этой области. Основная идея состоит в том, что восприятие, обучение, мышление, другие функции мозга обусловлены коллективным процессом, приводящим к согласованной работе ансамблей достаточно просто устроенных нервных клеток — нейронов. Самоорганизация («самопрограммирование») таких ансамблей и является ключом к объяснению функций мозга. Работы по исследованию памяти человека и животных показали, что нельзя выделить в мозге одной четко локализованной структуры, отвечающей за запоминание. Это заставляет предположить, что мы имеем дело с распределенной системой. Простым физическим прообразом ситуации, которая, вероятно, имеет место, является голограмма.



Рис. 2. Голограмма

Голограмма дает возможность записывать и хранить информацию с помощью когерентных пучков света. Принцип ее получения — запись на фотопластинке интерференционной картины, возникающей при наложении падающего и рассеянного фиксируемым объектом монохроматического излучения. Если осветить зафиксированную на фотопластинке интерференционную картину лучом того же лазера, то он при рассеянии даст изображение первоначального объекта. При этом информация о данной точке на поверхности объекта оказывается «рассредоточенной» по всей поверхности фотопластинки-голограммы.

Испортив часть голограммы, мы не утратим изображение объекта, а лишь сделаем его менее четким. Это кардинально отличается от организации стандартной «фотографической» памяти. Отрезав и выбросив кусок фотографии, мы утратим возможность узнать, что на нем было запечатлено.

Хаос в нелинейной динамике [5]

В мире есть порядок и упорядоченные в той или иной степени системы и структуры, есть непорядок, есть беспорядок и случайные явления, есть хаос, т.е. беспорядок в абсолюте.



Рис. 3. Символ хаоса. Символ порядка не придуман.

Порядок и хаос – это и противоположные, и взаимодополняющие понятия. Здесь имеет место единство противоположностей, равновесие (или неравновесие) между которыми определяет направление и темп развития или деградации структур в рассматриваемой системе.

Важно понимать, что во Вселенной господствует беспорядок, локально упорядоченный во времени и/или в пространстве, со случайными процессами, которые частично предопределены и даже закономерны. Но не все и не всегда: правит нами случай.

Хаос, детерминированный хаос, беспорядок, непорядок, бардак и т.п. – термины, обозначающие обычно некоторые общие свойства. Но не всегда. Часто это никак не связанные понятия: хаос к беспорядку никакого отношения может не иметь, а детерминированный (динамический) хаос - символ высшего порядка.

Под классическим (идеальным, недерминированным, статистическим, стохастическим) хаосом понимают полный (идеальный) беспорядок, полностью разупорядоченную структуру (например, аморфное тело, на рентгенограмме которого нет каких-либо рефлексов), неупорядоченное, случайное, непрогнозируемое поведение элементов системы, процесс, описываемый чисто статистическими законами (например, броуновское движение, белый шум и т.п.). Процесс статистического хаоса не помнит своей истории и его будущее не определено. Для таких процессов понятия аттрактор не существует.

Беспорядок – отсутствие или нарушение порядка, упорядоченности системы, последовательности в чем-либо.

Хаос – это состояние беспорядка и нерегулярности. Хаотические процессы можно подразделить на два вида: случайные процессы и хаотические процессы.

В хаотическом режиме статистические закономерности определяются числом степеней свободы. Хаос – это отражение сложного поведения большого количества частиц, которые, сталкиваясь, создают картину неупорядоченного поведения. Примерами хаотических процессов являются: метание шарика в рулетке, броуновское движение частицы под случайными ударами «соседей», беспорядочные вихри турбулентности, образующиеся при течении жидкости с достаточно большой скоростью, диффузия и т.п. В броуновском движении молекул в газовой или жидкой среде имеет место хаотические тепловые перемещения громадного числа молекул (частиц), случайным образом ударяющих по другим молекулам (частицам), вынуждая их к случайным блужданиям. Такой процесс оказывается полностью непредсказуемым, недетерминированным, поскольку точно установить последовательность изменений в направлении движения частицы невозможно. Из этого следует невозможность выведения таких закономерностей, которые позволяли бы точно прогнозировать каждое последующее изменение траектории частицы по предыдущему ее состоянию. Здесь нельзя связать между собой причину и следствие. Однако некоторые усредненные характеристики поведения в состоянии недетерминированного хаоса можно найти, например, расстояние, пройденное частицей за некоторое время.



Рис. 4. Примеры хаотических процессов.

Случайный процесс (вероятностный, стохастический) – семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты; поведение которого не является детерминированным, и последующее состояние такой системы описывается как величинами, которые могут быть предсказаны, так и случайными. На практике часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причём ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не обнаруживают существенных изменений с течением времени. Такие случайные процессы называются стационарными. Любое развитие процесса во времени (неважно, детерминированное или вероятностное) при анализе в терминах вероятностей будет случайным процессом (иными словами, все процессы, имеющие развитие во времени, с точки зрения теории вероятностей, стохастические).

Случайные процессы удобно рассматривать с точки зрения теории вероятности, а также использовать понятие бита из информатики. Подбрасывание монеты - случайный процесс, с 2-мя исходами, вероятность =50%, энтропия (и информация) 1 бит. Чтобы узнать исход броска монеты требуется количество информации 1 бит. Подбрасывание монеты n раз, приводит к случайной последовательности с энтропией равной n бит. В случае броска монеты известно, что следующий бит будет либо нулем (орел), либо единицей (решка), но не более того: монета абсолютно непредсказуема. В этом случае случайно возникшая цепочка битов содержит количество информации, равное ее длине. Но предположим, что монета, которую мы используем, фальшивая, и на вероятность выпадения орла приходится 70%. В этом случае каждый бит будет содержать немного меньше информации, поскольку мы знаем, что более вероятно выпадение орла. Крайний случай – это цепочка, состоящая из единиц. Если мы знаем, что при броске всегда выпадает решка, то, подбрасывая монету, не получаем вообще никакой информации. Здесь цепочка битов полностью предсказуема, содержание информации в ней нулевое.

Изучение хаоса с точки зрения нелинейной динамики позволило пролить свет на некоторые физические явления, так как философия восприятия этих явлений была модифицирована.



Рис. 5. Пример случайного процесса

Заключение

Нелинейная динамика является методом исследования в естественных науках. Она вытекает из линейной динамики, однако сильно рознится с ней в силу усложненных методов в вычислении тех или иных физических и математических величин. Сама по себе нелинейная динамика – это раздел математики, который рассматривает нелинейные динамические (или изменяющиеся во времени) системы.

Описанный раздел в математике дал мощный толчок к развитию технологий, таких как нейронные сети, голография, искусственный интеллект, компьютерное моделирование, что в ассоциации говорит о развитии нейронауки.

Описанное выше изучение хаоса так же не осталось бесполезным в естественных науках. Изучение Вселенной как беспорядочной и недетерминированной позволило описать некоторые физические явления, такие как броуновское движение, турбулентное движение в жидкости, диффузия в жидкости и газах и др. Они являются примерами хаотического движения. Однако некоторые примеры хаоса, а именно случайные процессы, можно описать с помощью математической статистики и теории вероятности, стремительное развитие которых также произошло вместе с нелинейной динамикой. Примерами случайных процессов служат бросание игральных костей, подбрасывание монетки, теория игр и др.

Таким образом, развитие нелинейной динамики позволило эволюционировать многим дисциплинам в естественных науках, технике и философии. Прогресс в этой области позволил еще на один шаг приблизиться к познанию человечеством Вселенной.

Список литературы:

1. 
   Пример нелинейной динамики в электротехнике // Бычков Ю. А., Золотницкий В. М., Чернышев Э. П. Основы теоретической электротехники: учебное пособие. 2-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2009. – 592 с.
   
2. 
   Определение нелинейной динамики // Данилов Ю. А. Лекции по нелинейной динамике. — М.: Постмаркет, 2001. — 184 с., https://obuchalka.org/2013101173942/lekcii-po-nelineinoi-dinamike-elementarnoe-vvedenie-danilov-u-a-2006.html, (дата обращения: 5.12.2022, 16:00)
   
3. 
   Динамические системы как метод нелинейной динамики // Анищенко В. С., Вадивасона Т. Е. Лекции по нелинейной динамике: учеб. пособие для вузов. - М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011.- 516 с., https://www.rulit.me/data/programs/resources/pdf/Anishchenko_Lekcii-po-nelineynoy-dinamike_RuLit_Me_620800.pdf, (дата обращения: 5.12.2022, 16:16)
   
4. 
   Нейронные сети // Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. — М.: Эдиториал УРСС, 2000. — 326 с., https://obuchalka.org/20220221141447/sovremennie-problemi-nelineinoi-dinamiki-malineckii-g-g-potapov-a-b-2000.html, (дата обращения: 5.12.2022, 16:23)
   
5. 
   Хаос в нелинейной динамике // Игорь Н. фон Бекман Нелинейная динамика сложных систем: теория и практика http://profbeckman.narod.ru/NelDin/NelDinText.pdf (дата обращения: 5.12.2022, 16:32)