студент. Лекция 16(1). Основные свойства непрерывных функций
 Скачать 74.13 Kb.
|
|
Лекция №16 Тема: Основные свойства непрерывных функций. Производная. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции. Первая теорема Больцано-Коши. Вторая теорема Больцано-Коши. Ограниченность непрерывных функции на отрезке. Первая теорема Вейерштрасса. Теорема о достижении функцией своих точных граней. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. Понятие обратной функции. Производная. Геометрический и механический смысл. Основные свойства непрерывных функций. Теорема(об устойчивости знака непрерывной функции). Пусть функция  непрерывна в точке а, причем  . Тогда существует такая  окрестность точки а, что для всех  функция имеет тот же знак, что и  .Доказательство. Пусть для определенности  . Тогда согласно определению непрерывности функции в точке, для любого  можно найти такое  , что для всех x, удовлетворяющих неравенству  выполняется неравенство  или, что тоже самое,  Возьмем  , тогда из левого неравенства в (1) получаем, что  для всех xиз -окрестности точки a. В случае  рассмотрим функцию  . Так как она положительна в точке a, то для нее существует окрестность точки a, в которой  , а значит  .ч.т.д. Первая теорема Больцано-Коши. Пусть функция непрерывна на отрезке  и на его концах принимает значение разных знаков. Тогда внутри существует точка  , в которой  .Доказательство. Пусть для определенности  Разделим отрезок пополам. Если значение функции в середине отрезка равно нулю, то теорема доказана.В противном случае из двух половин отрезка возьмем тот сегмент, на концах которого принимает значение разных знаков. Обозначим его  .Р  азделим его пополам и повторим процедуру, обозначив через  отрезок вдвое меньше, на концах которого принимает значения разных знаков.Продолжая этот процесс либо на каком – то m-м шаге значение в середине отрезка  равно нулю и теорема доказана, либо мы получим последовательность вложенных отрезков причем  при  .По теореме о вложенных отрезках существует точка c принадлежащая всем отрезкам. Покажем, что  . Действительно, если  , то по теореме об устойчивости знака непрерывной функции существует некоторая окрестность точки c, в которой . При достаточно большом  в эту окрестность попадает отрезок  , в котором будет . Это противоречит тому, что на концах всех вложенных отрезков функция  принимает значения разных знаков. Аналогично доказывается, что значение  не может быть отрицательным. Следовательно, , причем  .ч.т.д. Вторая теорема Больцано-Коши. Пусть функция непрерывна на отрезке , причем  . Пусть C- любое число заключенное между A и B. Тогда на отрезке найдется точка c, что  .Доказательство. Пусть  . Рассмотрим вспомогательную функцию  . Эта функция непрерывна на и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков  По первой теореме Больцано – Коши существует такая точка  , что  . Откуда  ч.т.д. Смысл теоремы заключается в утверждении, что непрерывная функция при переходе от одного значения к другому принимает все промежуточные значения. Ограниченность непрерывных функций на отрезке. Функция называется ограниченной на отрезке [a, b],если существует такое число М, что для всех  выполняется неравенство  Первая теорема Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна на отрезке  , то она ограничена на этом отрезке.Доказательство. От противного, то есть предположим, что функция не ограничена на отрезке . Разделим отрезок пополам. По крайней мере на одном из двух полученных отрезков функция неограничена. Обозначим этот отрезок через  . Разделим его пополам и ту половину, на которой не ограничена, обозначим через  и т.д. продолжая это процесс неограниченно, получим последовательность вложенных отрезков, на каждом из которых функция не ограничена, причем длина отрезков стремится к нулю: при .Следовательно, существует точка  , принадлежащая всем отрезкам. Функция определена и непрерывна в точке и ограничена в некоторой ее окрестности. Однако при достаточно большом в эту окрестность попадает отрезок , на котором не ограничена. Это противоречие снимает предположение о неограниченности функции на отрезке . ч.т.д. Теорема(достижение функцией своих точных граней). Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке своих точных граней, то есть найдутся такие точки  , что .Доказательство.Так как функция непрерывна на отрезке  то она ограничена на этом отрезке. Отсюда заключаем, что существует точная верхняя и точная нижняя грани функции на отрезке .Допустим, что функция не принимает ни в одной точке значения, равного M. Тогда для всех  должно быть  .Рассмотрим вспомогательную функцию  которая положительна и непрерывна на . Тогда по предыдущей теореме функция  ограничена, то есть существует такое  , что на отрезке для всех x  откуда  .Последнее неравенство противоречит тому, что число M является точной верхней гранью функции на отрезке (так как  ). Это противоречие доказывает, что существует точка  , в которой  .Достижение функцией на отрезке своей точной нижней грани доказывается аналогично. ч.т.д. Заметим, что для непрерывной на отрезке функции ее точную верхнюю грань называют максимальным значением, а точную нижнюю грань – минимальным значением функции на этом отрезке. Разность между максимальным и минимальным значением непрерывной на отрезке функции называется колебанием ее на этом отрезке.Равномерная непрерывность функции. Функция называется равномерно – непрерывнойна промежутке X, если для любого найдется такое , что для любых двух точек  , удовлетворяющих неравенству  выполняется неравенство  .Для равномерно – непрерывной функции величина  зависит только от  и является общей для всего промежутка X.Из определения следует, что если функция равномерно – непрерывна на X, то она является непрерывной на этом промежутке и по заданному можно найти такое , что промежуток X может быть разбит на составные промежутки длиной меньше  , на каждом из которых колебание функции составляет меньше, чем 2 .Теорема Кантора. Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то она и равномерно непрерывна на нем.Понятие обратной функции. Говорят, что функция не убывает (не взрастает)на множестве  , если для любых , таких, что  , справедливо неравенство   .Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными функциями. Если  таким, что , выполняется неравенство   , то функция называется возрастающей(убывающей) на множестве . Такие функции называются также строго монотонными.Например, функция  неубывающая на всей числовой прямой. Функция  возрастающая на всей числовой прямой.Функция  является убывающей на промежутке  и возрастающей на  Пусть на множестве X задана функция , причем  множество ее значений то есть задано множество пар чисел   , в котором каждое число  входит лишь в одну пару, а каждое число  по крайней мере в одну пару. Если в каждой паре этого множества поменять местами числа и  , то получим множество пар чисел  , которое называется обратной функцией к функции . Обозначим обратную функцию символом  .Теорема. Пусть функция  определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке и пусть множество ее значений. Тогда на множестве  обратная функция однозначна, строго монотонна и непрерывна.Производная. Геометрический и механический смысл производной. Пусть функция определена на некотором промежутке . Придадим значению аргумента в точке  приращение  так, чтобы точка  также принадлежала X. Тогда соответствующее приращение функции составит  .Производной функции в точке  называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при   Если функция имеет производную в каждой точке множества X, то производная  также является функцией аргумента x, определенной на X.Выясним геометрический смысл производной. Пусть точка M на кривой соответствует значению аргумента  а точка N – значению аргумента  Из определения касательной следует, что для ее существования в точке нужно, чтобы существовал предел  который равен углу наклона касательной к оси  .  Из треугольника MNA следует, что  Если производная функции в точке существует, то, согласно определению производной  Таким образом, производная  равна угловому коэффициенту(тангенсу угла наклона к положительному направлению оси ) касательнойк графику функции в точке  . При этом угол наклона определяется как  Определим механический смысл производной. Пусть функция  описывает закон движения материальной точки по прямой, как зависимость пути  от времени  . Тогда разность  это путь, пройденный за интервал времени  , а отношение  средняя скорость за время . Тогда  определяет мгновенную скорость точки в момент времени как производную от пути по времени.В определенном смысле производную функции можно также трактовать как скорость изменения функции: чем больше величина , тем больше угол наклона касательной к кривой, тем круче график и быстрее растет функция.Вопросы для самоконтроля Теорема об устойчивости знака непрерывной функции. Первая теорема Больцано – Коши. Вторая теорема Больцано – Коши. Дайте определение функции ограниченной на отрезке. Первая теорема Вейерштрасса. Теорема о достижение функцией своих точных граней. Дайте определение равномерно непрерывной на промежутке функции. Монотонные функции. Обратная функция. Дайте определение производной функции в точке. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной.  |