Лабораторная. Отчет о выполнении лабораторной работы 1
 Скачать 356.38 Kb.
|
Отчет о выполнении лабораторной работы 1.1.1 Измерение удельного сопротивления нихромовой проволоки кафедра общей физики, версия от 29.09.2018 1. Аннотация В работе измеряется удельное сопротивление тонкой проволоки круглого сечения, изготов- ленной из нихромового сплава. Используются следующие методы измерений сопротивления: 1) определение углового коэффициента наклона зависимости напряжения на проволоке от тока через неё, измеряемых с помощью аналоговых и цифровых вольтметров и амперметров, 2) из- мерение с помощью моста постоянного тока. Геометрические размеры образца измеряются с помощью линейки, штангенциркуля и микрометра. Детально исследуется систематические и случайные погрешности проводимых измерений. 2. Теоретические сведения Удельное сопротивление однородной проволоки круглого сечения: где 𝑅𝑅 — сопротивление проволоки, 𝑑𝑑 — её диаметр, 𝑙𝑙 — длина. Согласно закону Ома напряжение 𝑉𝑉 и ток 𝐼𝐼 в образце связаны соотношением Для измерения напряжения и тока использовалась схема рис. 1. Ввиду неидеальности используемого вольтметра необходимо учесть поправку на его конечное сопротивление 𝑅𝑅 𝑉𝑉 Показания ам- перметра 𝐼𝐼 А и вольтметра 𝑉𝑉 В связаны соотношением где 𝑅𝑅′ — сопротивление параллельно соединенных проволоки и вольтметра, причём 1 𝑅𝑅 ′ = 1 𝑅𝑅 + 1 𝑅𝑅 𝑉𝑉 , и 𝑅𝑅 𝑉𝑉 ≫ 𝑅𝑅, 𝑅𝑅′. График зависимости 𝑉𝑉 В (𝐼𝐼 А ) должен представлять прямую, угловой коэффициент кото- рой есть 𝑅𝑅′, откуда сопротивление образца может быть найдено как 3. Оборудование и инструментальные погрешности Линейка: Δ лин = ±0,5 мм (по цене деления). При определении положений контактов име- ется дополнительная погрешность, которая может быть оценена как Δ лин ≈ ±2 мм. Штангенциркуль: Δ шт = ±0,05 мм (маркировка производителя) Микрометр: Δ мкм = ±0,01 мм (маркировка производителя) Вольтметр: Характеристики вольтметра в зависимости от положения переключателя преде- лов измерения: Система Магнито-элек- трическая Класс точности 0,5 Шкала линейная, 1 50 делений Предел измерений 0,75 В 1,5 В Цена деления 5 ⋅ 10 −3 В = 5 мВ 10 мВ Чувствительность 200 дел./В 100 дел./В Внутреннее сопротивление 𝑅𝑅 𝑉𝑉 = 5 кОм 𝑅𝑅 𝑉𝑉 = 10 кОм Погрешность при считывании со шкалы (0,5 цены деления) ±2,5 мВ ±5 мВ Макс. погрешность (согласно классу точности) ±3,75 мВ(0,5%)±7,5 мВ(0,5%) 𝜌𝜌 = 𝑅𝑅 𝜋𝜋𝑑𝑑 2 4𝑙𝑙 , (1) 𝑉𝑉 = 𝑅𝑅𝐼𝐼. (2) 𝑉𝑉 В = 𝑅𝑅 ′ 𝐼𝐼 А , (3) 𝑅𝑅 = 𝑅𝑅 𝑉𝑉 𝑅𝑅 ′ 𝑅𝑅 𝑉𝑉 − 𝑅𝑅 ′ ≈ 𝑅𝑅 ′ �1 + 𝑅𝑅 ′ 𝑅𝑅 𝑉𝑉 �. (4) Рис. 1. Схема измерения вольт-амперной характе- ристики проволоки Амперметр: Система Цифровая Предел измерений 2 А Разрядность дисплея 5 ед. Внутреннее сопротивление 𝑅𝑅 𝐴𝐴 = 1,4 Ом Погрешность (при комнатной температуре, согласно паспорту прибора) Δ А = ±(0,002 ⋅ 𝑋𝑋 + 2𝑘𝑘), где 𝑋𝑋 — измеряемая величина, 𝑘𝑘 — еди- ница младшего разряда (𝑘𝑘 = 0,01 мА). При измерениях в диапазоне от 20 мА до 300 мА погрешность амперметра составила соот- ветственно от Δ А = ±0,06 мА (0,3%) до Δ А = ±0,6 мА (0,2%). В диапазоне измерения 𝑅𝑅 от 1 до 10 Ом относительная поправка 𝑅𝑅 ′ 𝑅𝑅 𝑉𝑉 к сопротивлению со- гласно ф-ле (4) составляет от 0,01% (при 𝑅𝑅 = 1 ом и 𝑅𝑅 𝑉𝑉 = 10 кОм) до 0,2% (при 𝑅𝑅 = 10 Ом и 𝑅𝑅 𝑉𝑉 = 5 кОм). Следовательно, данная поправка заведомо меньше погрешности измерений (0,5% для вольтметра), поэтому примем далее, что неидеальность вольтметра не оказывает влияния на измерение сопротивления: Мост постоянного тока Р4833: Класс точности: 0,1 Разрядность магазина сопротивлений: 5 ед. Используемый диапазон измерений: 10 −4 – 10 Ом (для множителя 𝑁𝑁 = 10 −2 ). Погрешность измерений в используемом диапазоне: ±0,010 Ом. 4. Результаты измерений и обработка данных 4.1 Измерение диаметра 𝑑𝑑 проволоки. Измерения проводились штангенциркулем и микрометром многократно на разных участках проволоки. При измерении штангенциркулем получено 𝑑𝑑 = 0,35 мм для каждого из 𝑁𝑁 = 10 измерений. При измерении микрометром выявлен разброс в показаниях, см. табл. 1. Таблица 1. Измерения диаметра проволоки микрометром. 𝑁𝑁 изм. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝑑𝑑, мм 0,35 0,36 0,37 0,34 0,34 0,35 0,36 0,34 0,35 0,35 Среднее значение диаметра 𝑑𝑑 = ∑𝑑𝑑 𝑖𝑖 𝑁𝑁 = 0,351 мм. Стандартное отклонение: 𝜎𝜎 𝑑𝑑 = � 1 𝑁𝑁−1 ∑�𝑑𝑑 𝑖𝑖 − 𝑑𝑑� 2 = 0,099 мм. Случайная погрешность среднего: 𝜎𝜎 𝑑𝑑 = 𝜎𝜎 𝑑𝑑 √𝑁𝑁 = 0,0031 мм. С учётом инструментальной погрешности Δ мкм = 0,01 мм погрешность измерения диаметра может быть вычислена как 𝜎𝜎 𝑑𝑑 полн = �𝜎𝜎 𝑑𝑑 2 + Δ мкм 2 ≈ 0,0105 мм. Окончательные результаты измерения диаметра проволоки: Штангенциркулем: 𝑑𝑑 = 0,35 ± 0,05 мм. Микрометром: 𝑑𝑑 = 0,351 ± 0,011 мм (𝜀𝜀 𝑑𝑑 = 3,1%). 4.2 Измерение сопротивления проволоки Результаты измерений зависимостей показаний вольтметра 𝑉𝑉 В от показаний амперметра 𝐼𝐼 А в схеме рис. 1 при разных длинах 𝑙𝑙 образца представлены в табл. 2. Соответствующие графики зависимостей изображены на рис. 2. По графику убеждаемся, что экспериментальные данные с хорошей точностью (в пределах инструментальных погрешностей опыта) ложатся на теоретическую прямую 𝑉𝑉 = 𝑅𝑅𝐼𝐼, исходя- щую из начала координат. Пользуясь методом наименьших квадратов, строим аппроксимирующие прямые 𝑉𝑉 В = 𝑅𝑅𝐼𝐼 А , определяя их угловой коэффициент по формуле 𝑅𝑅 = 〈𝑉𝑉𝐼𝐼〉 〈𝐼𝐼 2 〉. 𝑅𝑅 ≈ 𝑅𝑅 ′ (5) Таблица 2. Зависимость 𝑉𝑉 В от 𝐼𝐼 А для разных длин проволоки 𝑙𝑙. Случайную погрешность определения углового коэффициента вычисляем как 𝜎𝜎 𝑅𝑅 сл = � 1 𝑛𝑛−1 � 〈𝑉𝑉 2 〉 〈𝐼𝐼 2 〉 − 𝑅𝑅 2 � ( здесь 𝑛𝑛 = 10 – число точек на графике). Оценим возможную систематическую погрешность, обусловленную инструментальными погрешностями приборов. Предполагая, что при всех измерениях относительная погрешность приборов одинакова, оценим погрешность вычисления частного 𝑅𝑅 = 𝑉𝑉/𝐼𝐼 при максимальных значениях 𝑉𝑉 и 𝐼𝐼: Δ 𝑅𝑅 сист ∼ 𝑅𝑅�� Δ 𝑉𝑉 𝑉𝑉 max � 2 + � Δ 𝐼𝐼 𝐼𝐼 max � 2 Полная погрешность измерения 𝑅𝑅 не превосходит значения 𝜎𝜎 𝑅𝑅 полн ≤ �(𝜎𝜎 𝑅𝑅 сл ) 2 + (Δ 𝑅𝑅 сист ) 2 Результаты сведены в табл. 3. Там же для сравнения приведены результаты измерения 𝑅𝑅 с помощью моста постоянного тока Р4833 с учётом его погрешности. Таблица 3. Результаты измерения сопротивления проволоки двумя методами 𝑙𝑙, см 𝑅𝑅, Ом 𝜎𝜎 𝑅𝑅 сл , Ом Δ 𝑅𝑅 сист , Ом 𝜎𝜎 𝑅𝑅 полн , Ом𝑅𝑅 мост , Ом 50 5,498 0,015 0,032 0,035 5,463 ±0,010 30 3,356 0,015 0,020 0,025 3,292 ±0,010 20 2,200 0,007 0,013 0,015 2,158 ±0,010 Видно, что случайная составляющая измерения сопротивления мала, а основной вклад вно- сят систематические приборные погрешности. Контрольные измерения с помощью моста дают заниженные результаты, но все отклонения находятся в пределах ±2𝜎𝜎 𝑅𝑅 полн 4.3 Вычисление удельного сопротивления По формуле (1) находим удельное сопротивление материала проволоки, используя значения 𝑅𝑅, полученные п. 4.2. Сравнивая относительные величины погрешностей величин, входящих в (1), приходим к выводу, что наибольший вклад в погрешность вносит измерение диаметра про- волоки (2𝜎𝜎 𝑑𝑑 /𝑑𝑑 ∼ 6,3%), при этом вкладом остальных измерений можно пренебречь: 𝜎𝜎 𝜌𝜌 ≈ 2𝜎𝜎 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝜌𝜌. N опыта 𝜌𝜌, 10 −6 Ом ⋅ м 1 1,064 ±0,067 2 1,082 ±0,068 3 1,064 ±0,067 Усредняя результаты 3-х опытов, окончательно получим: 𝜌𝜌 = (1,07 ± 0,07) ⋅ 10 −6 Ом ⋅ м (𝜀𝜀 𝜌𝜌 = 6,5%). 𝑙𝑙 = (50,0 ± 0,2) см 𝑉𝑉 В , мВ145 290 450 545 630 695 580 520 455 270 𝐼𝐼 А , мА26,6 52,9 81,6 99,3 114,5 126,4 105,1 94,5 83,1 49,4 𝑙𝑙 = (30,0 ± 0,2) см 𝑉𝑉 В , мВ155 240 325 420 555 615 680 600 520 475 𝐼𝐼 А , мА46,3 71,0 96,9 126,2 165,9 183,0 203,0 178,9 154,7 140,0 𝑙𝑙 = (20,0 ± 0,2) см 𝑉𝑉 В , мВ145 215 270 350 405 480 525 590 625 675 𝐼𝐼 А , мА65,4 97,8 123,2 160,2 183,7 217,7 238,3 267,3 285,3 306,7 5. Обсуждение результатов и выводы В работе получено значение удельного сопротивления образца проволоки из нихромового сплава с точностью 6,5%. Табличные значения для нихрома лежат в диапазоне 𝜌𝜌 табл = 0,97 … 1,14 ⋅ 10 −6 Ом ⋅ м в зависимости от состава. Измеренные значения 𝜌𝜌 = (1,07 ± 0,07) ⋅ 10 −6 Ом ⋅ м попадают в этот диапазон в пределах одного стандартного от- клонения, однако погрешность результата не позволяет определить марку сплава. Использованный в работе метод измерения сопротивлений позволил получить значения 𝑅𝑅 образцов с довольно высокой точностью (0,5%), которая ограничивалась в основном погреш- ностью аналогового вольтметра. Величина случайной погрешности 𝜎𝜎 𝑅𝑅 сл , найденная в п. 4.2., по- казывает, что использование более совершенных измерительных приборов позволило бы дове- сти точность измерения по данной методике до 0,1–0,2% (при неизменном количестве измере- ний), что сопоставимо с точностью измерений с помощью мостовой схемы. Точность измерения удельного сопротивления 𝜌𝜌 существенно ограничивается измерением диаметра проволоки. Поскольку случайная ошибка измерения диаметра оказалась меньше цены деления прибора (микрометра), уточнение значения диаметра за счет многократных из- мерений невозможно. По той же причине не удалось проверить, насколько однородной явля- ется проволока по сечению. Рис. 2. Результаты измерений напряжения 𝑉𝑉 В в зависимости от тока 𝐼𝐼 А для проволок разной длины 𝑙𝑙 и их линейная аппроксимация 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑘𝑘. Отмечены инструментальные погрешности по вертикальной оси ( 𝜎𝜎 𝑉𝑉 = 3,8 мВ), погрешность по горизонтальной оси не отмечена ввиду её малости (см. п. 2). |