чм лаба 1. Отчет по лабораторной работе 1 по дисциплине численные методы

• Название: Отчет по лабораторной работе 1 по дисциплине численные методы
• Дата: 06.05.2019
• Размер: 68.33 Kb.
• Имя файла: чм лаба 1.docx
• Тип: Отчет; #76335

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(национальный исследовательский университет)»
Кафедра «812 Математика»


ОТЧЕТ
по лабораторной работе №1

по дисциплине численные методы


____________________________________________________________________________________

Скилевая А.О.___________________

12РКК−4ДБ−323−15____________

Беляков Д.В.____________________




ФИО
Студент

Группа


ФИО
Руководитель
Работа защищена __________________ Дата «___» _______________ 20___ г.

^{(подпись преподавателя в случае защиты)}

Москва 2018

Оглавление

1.1.Описание 3

1.2.Решение 3

2.1.Описание 5

2.2.Решение 5

3.1. Описание 6

3.2. Решение 6

1. 
   Метод половинного деления
   

   1. Описание

Метод половинного деления один из методов решения нелинейных уравнений и основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения до того времени, пока не будет достигнута заданная точность ɛ.

Пусть задан отрезок , содержащий один корень уравнения. Предварительно необходимо определить области локализации корней данного уравнения. Если на отрезке содержится более одного корня, то метод не работает.

2. Решение

Корень находится в отрезке [ -1 : 1 ]

1. 
   Начальное приближение:
   

2. 
   Первое приближение:
   

Выбираем искомый корень из отрезка [-1;1]

3. 
   Второе приближение:
   

4. 
   Третье приближение:
   

5. 
   Четвёртое приближение:
   

6. 
   Пятое приближение:
   

7. 
   Шестое приближение:
   

2. 
   Метод простой итерации
   

   1. Описание

Метод простой итерации — один из простейших численных методов решения уравнений. Метод основан на принципе сжимающего отображения, который применительно к численным методам в общем виде также может называться методом простой итерации или методом последовательных приближений. В частности, для систем линейных алгебраических уравнений существует аналогичный метод итерации.

2. Решение

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   
   

Ответ: .

3. Метод Ньютона

3.1. Описание

Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Модификацией метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить ноль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.

3.2. Решение

Условие сходимости:

Пусть , тогда:



Условие:

Пусть , тогда:



Условие: .

Последовательность итераций для метода Ньютона.



Критерий сходимости:

1 итерация:





Критерий сходимости:

2 итерация:





Критерий сходимости: .

Ответ: Приближенное значение уравнения:

Заключение

В результате проделанной работы были изучены новые методы решения линейных уравнений.