|
|
Абдулхаев И.1. Реферат по дисциплине Численные методы и программирование
Южно-Уральский государственный университет Архитектурно-строительный институт Кафедра строительных конструкций и инженерных сооружений  РЕФЕРАТпо дисциплине «Численные методы и программирование» Тема: «Жизнь и научная работа К.Ф. Гаусса и Ф.Л. Зейделя» Выполнил: студент группы АС-451 АбдулхаевИ.И «»2022г.  Проверил: доцен кафедры  ___________ _________________ _____
Мусихин В. А. « »2022г. Челябинск 2022
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
Биография К.Ф. Гаусса 4
Вклад в науку К.Ф. Гаусса… 6
Биография Ф.Л. Зейделя… 39
Вклад в науку Ф.Л. Зейделя 40
Заключение… 42
Библиографический список 43
| |
|
|
|
|
|
АС-451.2022
|
Листт
|
|
|
|
|
|
2
| |
Изм.
|
Лист
|
№ докум.
|
Подпись
|
Дата
|
Введение
К.Ф. Гаусс и Ф.Л. Зейдель сделали огромный вклад в науку, в частности в алгебру.
Решение систем линейных алгебраических уравнений – одна из основных задач вычислительной линейной алгебры. Хотя задача решения системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности – нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма.
Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса и метод Зейделя.
| |
|
|
|
|
|
АС-451.2022
|
Листт
|
|
|
|
|
|
3
| |
Изм.
|
Лист
|
№ докум.
|
Подпись
|
Дата
|
1. Биография К.Ф. Гаусса.
Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг – 23 февраля 1855, Гёттинген) – немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Считается одним из величайших математиков всех времён. Его называли и называют «королём математиков». И это заслужено!
Во всей истории математики нет никого, кто приблизился бы к Гауссу по ранней одаренности. Неизвестно, в каком возрасте Архимед впервые проявил свой гений. Самые ранние проявления высочайшего математического таланта Ньютона вполне могли пройти незамеченными. Гаусс же, хотя это кажется невероятным, показал свою одаренность, когда ему не было еще трех лет. Как-то в субботу Герхард Гаусс составлял платежную ведомость для рабочих. Дойдя до конца своих длинных расчетов, Герхард с удивлением услышал: «Папа, вычисления неверны, должно быть...» Проверка показала, что число, названное младшим Гауссом, было правильным.
Еще раньше мальчик выспросил у родителей и их друзей, как произносятся буквы алфавита и самостоятельно научился читать. Никто не учил его арифметике, хотя, вероятно, вместе с алфавитом он получил сведения о значении цифр 1,2, Впоследствии он любил шутить, что научился считать
раньше, чем говорить. Необыкновенные способности вычислять в уме были присущи ему всю жизнь. Вскоре после достижения 7 лет Гаусс пошел в свою первую школу, представлявшую собой убогий пережиток средневековья. В ней примерно сотню мальчиков обучал некий Бютнер, который запугивал их до предела. В такой адской дыре Гаусс нашел свое счастье.
Происхождение Гаусса было далеко не королевским, несмотря на
«королевское» прозвище.
Сын бедных родителей, он появился на свет в жалком сельском домике в Брауншвейге, в Германии, 30 апреля 1777 г.
| |
|
|
|
|
|
АС-451.2022
|
Листт
|
|
|
|
|
|
4
| |
Изм.
|
Лист
|
№ докум.
|
Подпись
|
Дата
|
Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать, даже исправлял арифметические ошибки отца. Известна история, в которой юный Гаусс выполнил некое арифметическое вычисление гораздо быстрее всех одноклассников; обычно при изложении этого эпизода упоминается вычисление суммы чисел от 1 до 100, но первоисточник этого неизвестен. До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме.
С учителем ему повезло: М. Бартельс (впоследствии учитель Лобачевского) оценил исключительный талант юного Гаусса и сумел выхлопотать ему стипендию от герцога Брауншвейгского. Это помогло Гауссу окончить колледж CollegiumCarolinum в Брауншвейге (1792—1795).
В первые два года учебы не случилось ничего необычайного. Затем, на десятом году жизни, Гаусс начал проходить арифметику. Поскольку ей обучались начинающие, никто из мальчиков не слышал об арифметической прогрессии. Поэтому для Бютнера было легко дать детям длинную задачу на сложение, ответ к которой он мог найти по формуле в несколько секунд. Задача требовала выполнить сложение 81 297 + 81 495 + 81 693 + ... + 100 899, где каждое следующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину (в данном случае на 198) и общее количество чисел дано (здесь 100).
Как только Бютнер дал задание, Гаусс подошел к его столу и положил на него свою грифельную доску с решением. Затем в течение часа, пока другие мальчики пыхтели над задачей, он сидел, сложа руки. В конце урока Бютнер проверил доски. На доске Гаусса было написано только одно число. Как только способ известен, это очень просто, но для 10-летнего мальчика найти этот способ мгновенно не так уж и просто.
Это открыло Гауссу дверь, через которую он пошел к бессмертию. Бютнер был так поражен тем, что сделал десятилетний мальчик без каких-либо указаний, что быстро искупил свои грехи и, по крайней мере, для одного из своих воспитанников стал гуманным учителем. На собственные деньги он купил самый лучший учебник арифметики, который смог достать, и подарил его Гауссу. Мальчик проглотил книгу. «Он превзошел меня, -- сказал Бютнер, -- я ничему больше не могу его научить». Сам Бютнер не мог, вероятно, дать много юному гению. Но по счастливому случаю у учителя был помощник Иоганн Мартин Бартельс (1769 -- 1836), молодой человек, влюбленный в математику. Между 17-летним помощником учителя и 10-
| |
|
|
|
|
|
АС-451.2022
|
Листт
|
|
|
|
|
|
5
| |
Изм.
|
Лист
|
№ докум.
|
Подпись
|
Дата
|
летним школьником возникла сердечная дружба, которая продолжалась до конца жизни Бартельса. Они вместе занимались, помогая друг другу разобраться в трудных вопросах и расширяя доказательства в общем для них учебнике по алгебре и начаткам анализа.
Гаусс некоторое время колебался в выборе между филологией и математикой, но предпочёл последнюю. Он очень любил латинский язык и значительную часть своих трудов написал на латыни; любил английскую и французскую литературу, которые читал в подлиннике. В возрасте 62 лет Гаусс начал изучать русский язык, чтобы ознакомиться с трудами Лобачевского, и вполне преуспел в этом деле.
2. Вклад в науку К.Ф. Гаусса
В колледже Гаусс изучил труды Ньютона, Эйлера, Лагранжа. Уже там он сделал несколько открытий в теории чисел, в том числе доказал закон взаимности квадратичных вычетов. Лежандр, правда, открыл этот важнейший закон раньше, но строго доказать не сумел; Эйлеру это также не удалось. Кроме этого, Гаусс создал «метод наименьших квадратов» (тоже независимо открытый Лежандром) и начал исследования в области
«нормального распределения ошибок».
Строгость, внесенная Гауссом в анализ, постепенно распространилась на всю математику в результате подхода к этому как самого Гаусса, так и его современников Абеля и Коши, а также его последователей Вейерштрасса и Дедекинда; математика после Гаусса стала совершенно отличной от математики Ньютона, Эйлера и Лагранжа.
В конструктивном смысле Гаусс был революционером. Еще до окончания школы тот же дух критицизма, который привел его к неудовлетворенности биномиальной теоремой, побудил его усомниться в доказательствах элементарной геометрии. В 12-летнем возрасте он уже косо смотрел на основания евклидовой геометрии; 16-ти лет его впервые озарил проблеск геометрии, отличной от евклидовой. Годом позже он начал критически исследовать доказательства в теории чисел, которые удовлетворяли его предшественников, и поставил себе исключительно трудное задание восполнить пробелы и завершить то, что было сделано лишь наполовину. Бартельс сделал для Гаусса больше, чем просто ввел его в тайны алгебры. Молодой учитель был знаком с некоторыми влиятельными людьми Брауншвейга. Теперь его делом стало заинтересовать их своей находкой.
| |
|
|
|
|
|
АС-451.2022
|
Листт
|
|
|
|
|
|
6
| |
Изм.
|
Лист
|
№ докум.
|
Подпись
|
Дата
|
Они, в свою очередь, пораженные очевидной гениальностью Гаусса, обратили на него внимание Брауншвейгского герцога.
Герцог принял Гаусса в первый раз в 1791 г. Скромность и неуклюжая застенчивость 14-летнего мальчика покорили сердце герцога. Гаусс ушел от него с уверенностью, что его образование будет продолжено. В следующем году (в феврале 1792 г.) Гаусс был зачислен в Карлово училище (Collegium Carolinum) в Брауншвейге. Герцог платил за его обучение, пока оно не завершилось.
До поступления в училище в возрасте 15 лет Гаусс достиг больших успехов в изучении классических языков, занимаясь ими частным образом с помощью старших друзей. Блестящее владение им классическими языками изумило преподавателей и учащихся в училище.
Сам Гаусс был очень увлечен филологией, но, к счастью для науки, вскоре познал более побудительное влечение к математике. Гаусс обучался в училище 3 года, в течение которых он овладел наиболее важными трудами Эйлера, Лагранжа и более всего «Началами» Ньютона. Величайшая похвала великому человеку - та, которая исходит от другого такого же. Гаусс никогда не снизил оценки Ньютона, которая сложилась у него в 17-летнем возрасте. Другие - Эйлер, Лаплас, Лагранж, Лежандр - появляются в беглой латыни Гаусса с лестным эпитетом «клариссимус» (clarissimus - яснейший); Ньютон же у него «суммус» (summus - величайший).
Еще в училище Гаусс начал те исследования по высшей арифметике, которые обессмертили его имя. Его необыкновенные вычислительные способности теперь сильно пригодились. Занявшись непосредственно самими числами, он экспериментировал с ними, открывал по индукции глубокомысленные общие теоремы, доказательства которых даже ему стоили усилий. Именно таким способом он переоткрыл «жемчужину арифметики» - «золотую теорему» («theorema aureum»), к которой Эйлер также пришел индуктивно и которая известна как закон взаимности квадратичных вычетов. Гаусс был первым, кто доказал ее (попытка Лежандра доказать ее запятнана запутанностью).
Началом всего исследования явился простой вопрос, который задают себе многие новички в арифметике: сколько цифр содержится в периоде десятичной периодической дроби? Чтобы пролить на эту задачу некоторый свет, Гаусс вычислил десятичные представления для всех дробей вида -- при п от единицы до тысячи. Он нашел не то сокровище, которое искал, а нечто бесконечно большее - закон взаимности квадратичных вычетов. Поскольку он формулируется довольно просто, мы опишем его здесь, одновременно
| |
|
|
|
|
|
АС-451.2022
|
Листт
|
|
|
|
|
|
7
| |
Изм.
|
Лист
|
№ докум.
|
Подпись
|
Дата
|
введя одно из изобретенных Гауссом улучшений в терминологии и записях в арифметике, которое произвело в ней коренную ломку, - именно понятие сравнения.
Преимущество такой записи состоит в том, что она напоминает нам способ написания алгебраических уравнений, дает понятию арифметической делимости компактное представление и наводит на мысль попытаться перенести на арифметику (которая гораздо труднее алгебры) некоторые из операций, приводящих к хорошим результатам в алгебре. Например, мы можем «складывать» уравнения и обнаруживаем, что сравнения тоже можно
«складывать», если они берутся по одному и тому же модулю; при этом получаются другие сравнения.
Закон взаимности квадратичных вычетов нелегко доказать.
В самом деле, это не удалось сделать Эйлеру и Лежандру. Гаусс дал свое первое доказательство в возрасте 19 лет. Поскольку закон взаимности имеет фундаментальное значение в высшей арифметике и во многих отделах алгебры, Гаусс обращался к нему вновь и вновь в течение многих лет, стремясь найти его главные корни, пока не дал шесть различных доказательств теоремы, одно из которых опирается на построение с помощью циркуля и линейки правильных многоугольников.
Когда Гаусс в октябре 1795 г. в возрасте 18 лет оставил училище, чтобы поступить в Гёттингенский университет, он все еще не решил, чему посвятить жизнь - математике или филологии. К этому времени он уже изобрел метод «наименьших квадратов», который теперь так необходим при геодезических съемках, при обработке наблюдений и действительно повсюду, где «наиболее вероятное» значение какой-нибудь измеряемой величины должно быть получено из большого числа измерений (наиболее вероятное значение получается путем сведения к минимуму суммы квадратов отклонений в пределах предполагаемой точности). Честь этого открытия Гаусс делит с Лежандром, который независимо от Гаусса опубликовал метод в 1806 г. Работа в этом направлении вызвала у Гаусса интерес к теории ошибок наблюдения. Закон Гаусса нормального распределения ошибок и соответствующая колоколообразная кривая теперь известны всем тем, кто имеет дело со статистикой.
День 30 марта 1796 г. стал поворотным пунктом в жизни Гаусса. В этот день, как раз за месяц до своего 19-летия, Гаусс окончательно сделал выбор в пользу математики. Изучение языков осталось на всю жизнь его любимым занятием на досуге.
| |
|
|
|
|
|
АС-451.2022
|
Листт
|
|
|
|
|
|
8
| |
Изм.
|
Лист
|
№ докум.
|
Подпись
|
Дата
|
Как уже было сказано в главе о Ферма, правильный семнадцатиугольник был тем жребием, который заставил Гаусса перейти свой Рубикон. В тот же день Гаусс начал вести свой научный дневник. Это один из ценнейших документов в истории математики. Первая запись в нем увековечивает его великое открытие.
Одноступенчатый магнитный ускоритель масс
Дневник вошел в научное обращение только в 1898 г., 43 года спустя после смерти Гаусса. Он состоит из девятнадцати небольших страниц и содержит
146 исключительно кратких записей об открытиях или результатах
| |
|
|
|
|
|
АС-451.2022
|
Листт
|
|
|
|
|
|
9
| |
Изм.
|
Лист
|
№ докум.
|
Подпись
|
Дата
|
вычислений, последняя из которых датирована 9 июля 1814 г. Факсимильное воспроизведение рукописи было опубликовано в 1917 г. в десятом томе (часть 1) Собрания сочинений Гаусса вместе с исчерпывающим анализом ее содержания, проведенного несколькими сведущими редакторами. Не все открытия Гаусса этого плодотворного периода с 1796 по 1814 г. отмечены в дневнике. Но многие из тех, которые бегло очерчены в нем, достаточны для того, чтобы установить приоритет Гаусса в различных областях математики, например в изучении эллиптических функций -- здесь некоторые его современники отказывались верить, что он предвосхитил их.
То, что оказалось похороненным на годы или десятилетия в дневнике, могло бы создать доброе имя полудюжине ученых, если бы было быстро опубликовано. Кое-что вообще не стало достоянием гласности при жизни Гаусса, и он никогда не претендовал в своих публикациях на то, что опередил других, которые сталкивались с ним. Однако записи свидетельствуют, что он опередил некоторых из тех, кто ставил под сомнение сообщения его друзей. Эти предвосхищения не были просто заурядными. Некоторые из них привели к более важным областям математики XIX в.
Некоторые заметки указывают на то, что дневник был сугубо личным делом их автора. Так, под 10 июля 1796 г. имеется запись:
ЕВРИКА! пит = ? + ? + ?.
Она воскрешает в памяти восклицание Архимеда «Эврика!» и содержит утверждение, что всякое положительное целое число является суммой трех треугольных чисел, т. е. чисел последовательности 0, 1, 3, 6, 10, 15, ..., в которой каждый член (после нуля) представим в виде -- п (п -- 1). Другим способом толкования того же является утверждение, что всякое число вида 8/г + 3 есть сумма трех нечетных квадратов: 3 = I2 + I2 + I2, 11 = I2 + I2 + З2, 19
= I2 + З2 + З2 и так далее. Доказать это сразу нелегко.
Смысл двух записей навсегда потерян для нас, остальные 144 большей частью достаточно ясны. Одна из них особенно важна -- это запись от 19 марта 1797 г., показывающая, что уже Гаусс открыл двоякую периодичность некоторых эллиптических функций. Ему тогда не было еще 20 лет. Кроме того, более поздняя запись показывает, что Гаусс постиг двоякую периодичность и в общем случае. Одно это открытие, если бы он опубликовал его, могло бы сделать его знаменитым.
| |
|
|
|
|
|
АС-451.2022
|
Листт
|
|
|
|
|
|
10
| |
Изм.
|
Лист
|
№ докум.
|
Подпись
|
Дата
|
Почему Гаусс придерживал свои великие открытия? Это объяснить легче, чем его гений, -- если воспринять его собственные простые заявления, о которых сейчас будет рассказано.
Говоря о себе, Гаусс заметил, что предпринимал свои научные исследования лишь по глубочайшему внутреннему побуждению, и для него было второстепенным вопросом, будут ли когда-нибудь они опубликованы для сведения других. Другое заявление, которое Гаусс сделал однажды своему другу, объясняет как дневник, так и медленность в публикациях. Он сказал, что, прежде чем ему исполнилось 20 лет, его ум обуревала такая несметная масса новых идей, что он едва мог охватить их и его времени хватало только для того, чтобы записать небольшую их часть. Дневник содержит лишь короткие формулировки конечных результатов, явившихся плодом проведенных исследований: некоторыми из них он занимался неделями. Размышляя, будучи юношей, над завершенными нерушимыми цепями синтетических доказательств, в которые Архимед и Ньютон заключили свое вдохновение, Гаусс решил следовать их великому примеру и оставить после себя лишь законченные произведения, настолько совершенные, что к ним ничего нельзя добавить и от них ничего нельзя убавить, не обезображивая целого. Работа сама по себе должна быть полной, простой и убедительной, без всякого следа затраченного на ее выполнение труда. Имея перед собой такой идеал, Гаусс предпочитал несколько раз шлифовать один шедевр, чем публиковать свободные наброски многих, что он легко мог бы сделать.
Плоды этого стремления к совершенству были действительно зрелыми, но не всегда удобоваримыми. Поскольку все следы того, каким путем достигалась цель, устранялись, последователям Гаусса было нелегко переоткрыть пройденный им путь. Соответственно, некоторые из его работ должны были ждать одаренных толкователей, прежде чем математики смогли в общем понять их, увидеть их значение для нерешенных проблем и пойти дальше вперед. Современники Гаусса просили его ослабить строгость холодного совершенства, чтобы математика могла быстрее продвигаться вперед, но Гаусс никогда не делал послаблений. Лишь спустя длительное время после его смерти стало известно, как много из математики XIX столетия предвидел и предвосхитил Гаусс ранее 1800 г. Если бы он разгласил все, что знал, вполне возможно, что математика теперь на 50 лет или более опережала бы нынешнее свое состояние. Абель и Якоби смогли бы начать с того, что забросил Гаусс, вместо того чтобы тратить многие свои самые утонченные усилия на переоткрытие того, что знал Гаусс еще до их рождения, а
| |
|
|
|
|
|
АС-451.2022
|
Листт
|
|
|
|
|
|
11
| |
Изм.
|
Лист
|
№ докум.
|
Подпись
|
Дата
| |
|
|
Скачать 0.98 Mb.