теории, но он скрыл это, и теорема была переоткрыта Коши и позже Вейерштрассом. Поскольку она является вехой в истории математического анализа, мы кратко охарактеризуем ее, опуская все уточнения, которые потребовались бы при строгой формулировке.
Представим, что комплексная переменная z движется по замкнутой кривой конечной длины без самопересечений. Мы имеем интуитивное понятие о том, что подразумеваем под «длиной» части такой кривой. Пометим на кривой п точек Ръ Р2, Ps, ..., Рп так, чтобы длина каждой из дуг Рг2, PoPs, P3Pi, , Рп Р не превышала некоторой предписанной конечной длины. На каждой из дуг выберем точку (только не на ее концах), найдем значение функции (z) при значении г, соответствующем этой точке, и умножим это значение на длину дуги, на которой лежит точка. То же сделаем для всех дуг и сложим результаты. Наконец, найдем предел этой суммы, когда число дуг Гп1 неограниченно возрастает. Это дает криволинейный интеграл от (г) вдоль данной кривой.
Когда этот криволинейный интеграл будет равен нулю? Для того чтобы криволинейный интеграл был равен нулю, достаточно, чтобы функция (z) была аналитической (однозначной и моногенной) в каждой точке z рассматриваемой кривой и внутри ее. Это и есть великая теорема, которую Гаусс сообщил Бесселю в 1811 г. и которой вместе с другой теоремой подобного типа в руках независимо переоткрывшего ее Коши предстояло произвести в качестве следствий многие важные результаты анализа.
Астрономия не поглощала всей огромной энергии Гаусса в его 35 лет. 1812 год, который видел безнадежные арьергардные бои великой армии Наполеона, был также свидетелем опубликования другого выдающегося труда Гаусса - его исследования о гипергеометрическом ряде
Этот мемуар тоже явился вехой. Как уже было отмечено, Гаусс был первым из современных ригористов. В своем труде он определил ограничения, которые нужно наложить на числа а, Ь, с, х, чтобы этот ряд сходился (в объясненном раньше в этой главе смысле). Этот ряд сам по себе уже не был лишь упражнением для учебника, которое можно выполнить для достижения ловкости в аналитических преобразованиях и затем забыть. Он включает в качестве частных случаев, получаемых при определенных особых значениях одной или нескольких из величин а, Ь, с, х, многие из наиболее важных в анализе рядов, например те, с помощью которых вычисляются и табулируются логарифмы, тригонометрические функции и несколько функций, которые неоднократно внезапно появляются в ньютоновской
| |
|
|
|
|
|
АС451-451.2022
|
Листт
|
|
|
|
|
|
23
| |
Изм.
|
Лист
|
№ докум.
|
Подпись
|
Дата
|
астрономии и математической физике; общая биномиальная теорема также является здесь частным случаем. Располагая этим рядом в его общем виде, Гаусс одним ударом сокрушил многое. Этот труд послужил развитию в XIX в. многих приложений к дифференциальным уравнениям физики.
Выбор такого исследования для серьезных усилий характерен для Гаусса. Он никогда не печатал тривиальных вещей. Когда он издавал что-то, оно было не только законченным само по себе, но также настолько переполнено идеями, что его последователи получали возможность применять то, что изобрел Гаусс, к новым проблемам. Хотя ограничения по объему книги запрещают обсуждение многих примеров такого фундаментального характера вкладов Гаусса в чистую математику, один из них не может быть обойден молчанием даже в самом коротком очерке -- это труд о законе биквадратичной взаимности. Значение его в том, что он придал новое и совершенно непредвиденное направление высшей арифметике.
После установления квадратичной (второй степени) взаимности для Гаусса было естественным рассмотреть общий вопрос о двучленных сравнениях любой степени. Если т -- данное целое число, не делящееся на простое число р, п -- данное положительное целое и если далее можно найти такое целое число х, что х" = т (mod p), то т называется п-ичным вычетом р, когда п -- 4, т называется биквадратичным вычетом р.
Статья 1825 г. распахивает целину со всей смелостью великих пионеров. После многих неудачных попыток, ведших к необозримой сложности, Гаусс нашел «естественный» путь к сердцу проблемы. Рациональные целые числа 1, 2, 3, ... не являются подходящими для формулировки закона биквадратичной взаимности, какими они являются для закона квадратичной взаимности; должен быть изобретен совершенно новый вид целых чисел. Они называются гауссовыми комплексными целыми числами. Это все комплексные числа вида а + bi, где а и Ъ -- рациональные целые числа.
Чтобы установить закон биквадратичной взаимности, необходимо исчерпывающее предварительное рассмотрение законов арифметической делимости для таких комплексных целых чисел. Гаусс дал его и тем самым положил начало теории алгебраических чисел -- той теории, которую он, вероятно, имел в виду, когда давал свою оценку Последней теореме Ферма. Для кубичной взаимности (п = 3) он также нашел правильный путь подобным образом. Его работа об этом была обнаружена в его посмертных бумагах.
| |
|
|
|
|
|
АС-451.2022
|
Листт
|
|
|
|
|
|
24
| |
Изм.
|
Лист
|
№ докум.
|
Подпись
|
Дата
|
Кубичной взаимностью располагал любимый ученик Гаусса -- Эйзенштейн. Он же обнаружил удивительную связь между законом биквадратичной взаимности и некоторыми частями теории эллиптических функций, в которой Гаусс продвинулся далеко, но воздержался раскрыть то, что нашел.
Гауссовы комплексные целые числа являются, конечно, подклассом всех комплексных чисел, и можно было бы подумать, что алгебраическая теория всех чисел даст арифметическую теорию включенных в них целых чисел, как тривиальный частный случай. На самом деле это не так. По сравнению с арифметической теорией алгебраическая теория -- детская игрушка. Возможная причина этого подсказывается рассмотрением рациональных чисел (чисел вида, где а и b -- рациональные целые числа). Мы можем всегда разделить одно рациональное число на другое и получить еще одно рациональное число: -- , деленное на -- , дает рациональное число --. Но рациональное целое число, деленное на другое такое число, не всегда является рациональным целым числом: 7, деленное на 8, дает -- . Следовательно, если мы должны ограничиться целыми числами, что представляет интерес для теории чисел, мы связываем себя по рукам и ногам еще до того, как начинаем действовать. В этом одна из причин, почему высшая арифметика труднее алгебры, высшей или элементарной.
В равной степени важные продвижения были сделаны Гауссом также в геометрии и приложениях математики к геодезии, ньютоновой теории тяготения и электромагнетизму. Как мог один человек выполнить эту колоссальную массу работы высшего порядка? С характерной для него скромностью Гаусс заявлял: «Если бы другие размышляли о математических истинах так глубоко и постоянно, как это делаю я, они пришли бы к моим открытиям». Возможно, объяснение Гаусса напоминает ньютоново. Когда его спросили, как он сделал открытия в астрономии, превосходящие открытия всех своих предшественников, Ньютон ответил: «Всегда думая о них».
В способности забывать о себе в мире своих мыслей Гаусс имеет сходство и с Архимедом и с Ньютоном. Еще в двух отношениях он также достигал их уровня -- в своих дарованиях к точным наблюдениям и в своей искусной изобретательности, что позволило ему самому создавать инструменты, необходимые для научных исследований в геодезии, астрономии, теории электромагнетизма. В качестве примера его технической изобретательности можно упомянуть, что в 1833 г. он пришел к открытию электрического телеграфа и что он и его сотрудник Вильгельм Вебер (1804 -- 1891) применяли этот телеграф как само собой разумеющееся средство для
| |
|
|
|
|
|
АС-451.2022
|
Листт
|
|
|
|
|
|
25
| |
Изм.
|
Лист
|
№ докум.
|
Подпись
|
Дата
| |
Скачать 0.98 Mb.