Линейная алгера и геометрия контрольная работа. кр лин 1 курс 1 семестр 5_variant. Решение Рассмотрим алгоритм метода Гаусса. Пусть дана система уравнений При решении методом Гаусса система приводится к ступенчатому виду
![]()
|
Контрольная работа Вариант 5 Задача 5 Используя метод Гаусса, найти решение системы или доказать её несовместность. ![]() Решение Рассмотрим алгоритм метода Гаусса. Пусть дана система уравнений: ![]() При решении методом Гаусса система приводится к ступенчатому виду: ![]() Для решения уравнения методом Гаусса необходимо знать, как выполняются элементарные преобразования систем линейных уравнений. Таких преобразований имеется четыре типа: 1. Умножение обеих частей уравнения на любое ненулевое число. 2. Перестановка уравнений системы местами. 3. Добавление (или вычитание) к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженного на любое ненулевое число. 4. Удаление нулевых строк. Общие зависимости прямого хода для расширенной матрицы: Ведущее уравнение не изменяется. Для последующих уравнений ![]() Обратный ход начинается с вычисления последнего неизвестного системы линейных уравнений и заканчивается вычислением первого неизвестного. При обратном ходе используются только строки прямого хода. Формулы обратного хода для полученной матрицы ![]() i = n – 1,…,1 Запишем расширенную матрицу системы: ![]() На первом шаге с помощью первого уравнения х1 исключаем из других уравнений. Для этого: Вычитаем из второй строки, умноженной на 3 первую, и записываем вместо второй строки вычитаем из третьей строки, умноженной на 3, умноженную на 4 первую и записываем вместо второй строки. Первую строку оставляем без изменения Получим: ![]() Разделим третью строку на 11. Получим: ![]() Исключаем х2 из третьего уравнения, для этого к третьей строке прибавляем вторую и записываем на место третьей. Остальные строки не изменяем. Получим: ![]() Матрица приведена к ступенчатому виду. Выполняем обратный ход. ![]() Получено решение: ![]() Ответ:_Задача_15'>Ответ: ![]() Задача 15 Дана матрица А. 1) Найти обратную матрицу А-1 и проверить, что А-1А=АА-1= Е. 2) При помощи обратной матрицы найти решение x1, x2, x3 системы, записанной в матричной форме AX=B, где ![]() Решение 1) Найдем обратную матрицу А-1. ![]() Определитель не равен 0, обратная матрица существует. ![]() ![]() Отсюда: ![]() Проверим равенство АА-1 = Е ![]() Равенство выполнено. Проверим равенство А-1А = Е ![]() Равенство выполнено. 2) Найдем решение матричного уравнения АХ = В. В данном случае Х = А-1В ![]() Ответ: 1) ![]() 2) ![]() Задача 25 Найти x1 по формулам Крамера. ![]() Решение Формулы Крамера: ![]() В данном случае ![]() Найдем определитель: ![]() В данном случае будем использовать общую формулу разложение определителя по столбцу: Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения: ![]() В третьем строке имеем два нулевых элемента, будет использовать формулу для нахождения определителя по третьему столбцу: ![]() ![]() Отсюда по формулам Крамера: ![]() Ответ: ![]() Задача 35 Найти: 1) ![]() 2) Площадь треугольника со сторонами, совпадающими с векторами ![]() ![]() 3) Смешанное произведение векторов ![]() 4) λ при котором векторы ![]() ![]() ![]() Решение 1) Формула для проекции вектора на вектор ![]() Найдем координаты вектора ![]() ![]() Проекцию вектора ![]() ![]() 2) Найдем площадь треугольника со сторонами, совпадающими с векторами ![]() ![]() 3) Смешанное произведение векторов ![]() Координаты вектора ![]() Векторное произведение численно равно площади параллелограмма, построенного на данных векторах. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах равна половине векторного произведения. Отсюда: ![]() Тогда площадь треугольника: ![]() 3) Найдем смешанное произведение векторов ![]() Смешанное произведение векторов: ![]() 4) Вектора ортогональны, если их скалярное произведение равно 0. Для нахождения искомого числа найдем скалярное произведение векторов. ![]() ![]() Ответ: 1) ![]() 2) ![]() 3) ![]() 4) ![]() Задача 45 Найти: 1) ![]() 2) Длину вектора ![]() ![]() Решение 1) Найдем скалярное произведение векторов: ![]() 2) При сложении векторов для нахождения длины суммы векторов используется теорема косинусов. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() Где α’ – угол, смежный с углом α. ![]() В этом случае длина разности тех же векторов: ![]() Отсюда модуль вектора ![]() ![]() Модуль вектора ![]() ![]() Так как скалярное произведение равно: ![]() ![]() Так как ![]() ![]() Модуль векторного произведения: ![]() Ответ: 1) ![]() 2) ![]() Задача 55 Найти: 1) уравнение прямой, проходящей через точки А и В; 2) уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости Р; 3) уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно прямой L. ![]() Решение 1) Если прямая проходит через точки (х0, у0, z0) и (х1, у1, z1), то ее уравнение: ![]() Отсюда уравнение прямой АВ: ![]() То есть: ![]() 2) Если прямая перпендикулярна плоскости, то нормальный вектор плоскости будет направляющим вектором прямой. Если прямая проходит через точку (x0; y0; z0) параллельно вектору ![]() ![]() То есть, уравнение искомой прямой: ![]() 3) Если плоскость проходит через точку (x0; y0; z0) перпендикулярно вектору ![]() ![]() Если плоскость перпендикулярна прямой, то ее направляющий вектор будет нормальным вектором плоскости. Найдем каноническое уравнение прямой L. ![]() Отсюда: ![]() Уравнение искомой плоскости: ![]() Ответ: 1) Уравнение прямой, проходящей через точки А и В: ![]() 2) Уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости Р: ![]() 3) Уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно прямой L ![]() Задача 65 Найти, при каких действительных x и y справедливо равенство, если z = x + iy . ![]() Решение Найдем значения отдельных выражений в левой части: ![]() Найдем значение i27 Для возведения в степень используем формулу Муавра для комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: ![]() Так как: 𝑧 = 𝑖 ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() Задача 75 А) записать комплексное число z в показательной форме; б) Вычислить ![]() ![]() Решение 1) Для представления числа в показательной форме используем формулу: ![]() ![]() Угол получен, исходя из расположения числа (4 четверть). 2) Подставляем из условия: ![]() Находим значение выражений в числителе и знаменателе и переводи результат в алгебраическую форму: ![]() ![]() Ответ: 1) ![]() 2) ![]() |