Проект по физике. ПроектФизика1. Отчет по проектной работе Вариант 1 Тело, брошенное под углом к горизонту
 Скачать 6.48 Mb.
|
|
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики  УЧЕБНЫЙ ЦЕНТР ОБЩЕЙ ФИЗИКИ ФТФ ГруппаR3137 К работе допущен Студент Галкина Евдокия Дмитриевна Работа выполнена Преподаватель Хвастунов Н.Н. Отчет принят Рабочий протокол и отчет по проектной работе Вариант №1 «Тело, брошенное под углом к горизонту» Формулировка задачи проекта. Зенитное орудие может сообщить снаряду скорость v0 в любом направлении. Найти зону поражения. Сопротивлением воздуха (силой сопротивления среды) пренебречь. Написать программу, которая а) рассчитает зону поражения снарядами в зависимости от начальной скорости и направления б) при введенных координатах цели x и y рассчитает начальную скорость и угол, под которым должен быть выпущен снаряд. Провести численный эксперимент по исследованию траектории снаряды и зоны поражения в зависимости от начальной скорости и угла. Сравнить с аналитическим решением полученный результат. 1.2. Добавьте в расчет сопротивление среды. Как изменится полученный результат? Провести численный эксперимент по исследованию траектории снаряда и зоны поражения в зависимости от начальной скорости и угла и коэффициента сопротивления среды. В качестве объекта исследования – снаряд, движущееся из начала координат, в I или II четверти (в зависимости от угла). Снаряд поражает цель на земле (при у = 0). При расчете учитываем силу тяготения и (для пункта 1.2) силу сопротивления воздуха. Решение задачи 1.1 Для моделирования процесса без учета сопротивления воздуха, распишем проекции сил на оси x и у:    Откуда получаем систему уравнений для перемещения тела:  Затем, вычислим проекции на оси Ох и Оу  Выразим из выражения с координатой х величину t  Подставим t в уравнение, выражающее координату у   Получили явную зависимость координаты y от x для траектории полета тела. Данную формулу можно использовать для построения графика движения снаряда. Вычислим максимально возможную длину полета при заданных скорости и направлении(угле). Для этого подставим y = 0 Тогда получим следующее равенство  Подставим найденное время в уравнение с координатой х  В получившемся выражении  и g – константы, значит величина x зависит только от  , максимум которой достижим при α =  То есть, для достижения максимальной дальности полета необходим угол  .Продемонстрируем данные результаты наглядно. Для построения траектории воспользуемся языком программирования Python с использованием библиотек math, numpy, matplotlib. (Код программы прилагается к отчету). В программе реализован следующий функционал: вычисление точки падения тела на землю (координата у=0); вычисление минимальной скорости, при которой можно поразить цель с заданной координатой х, (подразумевается у=0); вычисление границ зоны поражения, отрисовка траектории. Для визуализации данных применяются функции из импортированных библиотек, например при создании координатных осей, сетки и подписей соответствующих траекторий. Зададим различные значения угла для одной скорости (v = 10 м/с) и сравним траектории полета тела.  Так же, рассмотрим приближенные к 45 углы и убедимся, что при угле в 45 достигается наибольшее расстояние попадания в цель.   Рассмотрим зону поражения для такой же скорости (v = 10 м/с)  Зоной поражения для наземных целей (у=0) будет являться отрезок на прямой ОХ, с границами, равными самым крайним координатам x, т. е. координатой попадания по цели с угла в 45 и 135  . Зададим различные значения скорости для одного угла (angle = 45) и сравним траектории полета тела.  Рассмотрим так же зону поражения для постоянного угла (angle = 45)  Зоной поражения будет являться круг с выколотым центром, так как скорость не может равняться нулю. В сравнении между численным и аналитическим методом, этот пункт задания не нуждается, так как для построения траекторий в точности воспроизведены формулы аналитического метода. Решение задачи 1.2 Для моделирования процесса с учетом сопротивления, примем силу сопротивления воздуха Q = -kv, где k – коэффициент сопротивления среды. Рассмотрим сумму всех сил F, действующих на объект:    Распишем второй закон Ньютона в проекции на координатные оси:  Решим дифференциальное уравнение:  Проинтегрируем уравнения, чтобы получить координаты x и y, и получим такие уравнения:  Так как явно выразить переменную t через y (для вычисления времени полета) из данной системы не представляется возможным, то для проведения численного эксперимента точку падения будем находить с заданной точностью методом бинарного поиска на отрезке функции y(x). Для это так же выразим t через х:     Для построения траектории воспользуемся так же языком программирования Python с использованием библиотек math, numpy, matplotlib. (Код программы прилагается к отчету). При проведении численного эксперимента воспользуемся полученными в результате решения дифференциального уравнения выражениями. Помимо этого, проведем эксперимент с применением метода Эйлера чтобы оценить его точность. Заметим, что при выборе в качестве оценки силы сопротивления воздуха закон  будут получены нелинейные дифференциальные уравнения, которые не решаются в явном виде, из-за чего требуется применение других методов (например, Эйлера) при проведении численного эксперимента. Для визуализации данных применяются функции из импортированных библиотек, например при создании координатных осей, сетки и подписей соответствующих траекторий. Графики сравнения аналитического метода с методом Эйлера при angle = 45 ; v = 20 m/s; k = 0.1; m = 1 кг: При интегрировании в 20 шагов погрешность составляет 100%:  При интегрировании в 30 шагов погрешность составляет 50%:  При интегрировании в 118 шагов погрешность составляет 10%:  При интегрировании в 206 шагов погрешность составляет 5%:  При интегрировании в 3316 шагов погрешность составляет меньше 1%:  Рассмотрим зависимость траектории полета от угла, с учетом сопротивления среды. v = 20 m/s; k = 0.1; m = 1 кг:  Зависимость с углами, приближенными к 45   Заметим, что в этом случае угол не является единственным параметром для дальности полета. Чем выше коэффициент k, тем меньше оптимальный угол. Тогда зона поражения будет ограничиваться координатой x, от оптимального угла. Вычислим зону поражения для данных значений v = 20 m/s; k = 0.7; m = 1 кг:   Заменим значение k из предыдущего графика на 2  Сравним более наглядно траектории полета, меняя коэффициент сопротивления. angle = 60 ; v = 15 m/s; m = 1 кг: Чем k ближе к 0, тем дальше пролетает снаряд. Так же, чем больше коэффициент, тем резче падает тело после преодоления максимально возможной высоты полета. Исследуем как влияет изменение массы на траекторию. При постоянных angle = 45 ; v = 20 m/s; k =0.1 При увеличении массы тело может переместиться дальше, чем с меньшей массой  Так же исследуем зависимости системы от смены скорости.  Вывод: Проведено исследование зависимости траектории полета тела с учетом сопротивления среды, от различных параметров: k - коэффициент сопротивления среды v - скорость движения тела angle - угол начального движения тела m - масса движущегося тела Применен метод Эйлера для построения траектории движения Построены графики, показывающие, на сколько точно может быть применен метод Эйлера |