Ответы на вопросы к зачету по МСС. Ответы. Ответы на вопросы к зачету по мсс
 Скачать 253.21 Kb.
|
Ответы на вопросы к зачету по МСС 1 Суть концепции сплошной среды. Полевое описание. Концепция сплошной среды состоит в допущении, что механические, термодинамические, электро- динамические характеристики рассматриваемых тел могут быть описаны физическими полями, таки- ми как поля плотности, давления, скорости, электромагнитные поля и т.д. Говорят, что на пространстве-времени задано скалярное (векторное, тензорное) поле, если в каждой точке пространства, в каждый момент времени задан скаляр (вектор, тензор). Переход от механических величин к полевым осуществляется с помощью процедуры усреднения по элементарному объёму и элементарному времени, в результате чего движение дискретной, но состоя- щей из очень большого числа частиц, системы описывается полевыми переменными. 2 Поле скоростей и деформации среды. Тензор скоростей де- формация. Деформации равномерного сжатия и деформации сдвига. Необходимое и достаточное условие отсутствия дефор- маций. Произвольное движение сплошной среды полностью описывается заданием скорости среды в каждой точке пространства и в каждый момент времени: v(r, t), или v i (x k , t). Тензором скоростей деформаций называется тензор v ki = 1 2 (∂ k v i + ∂ i v k ), который определяет скорость изменения относительного расстояния между соседними точками сплош- ной среды. Движение сплошной среды является деформацией, если тензор скоростей деформаций не равен тождественно нулю. Скорость изменения элементарного объема 1 V dV dt = Tr(v ik ) = ∇v. Поэтому разложение v ik = 1 2 µ ∂ i v k + ∂ k v i − 2 3 δ ik ∇v ¶ + 1 3 δ ik ∇v, есть разделение деформаций на сдвиговые (1-е слагаемое) и объемные (2-е слагаемое). Говорят, что движение тела не сопровождается деформациями, если в процессе движения не изме- няются расстояния между любыми двумя его точками. Это происходит тогда и только тогда, когда для любой пары точек проекции скоростей точек на прямую, их соединяющую, равны: v i (x k + dx k , t)dx i = v i (x k , t)dx i . 1 3 Поле вихря. Формула Коши-Гельмгольца для распределения скоростей точек сплошной деформируемой среды. Матрице χ ki = 1 2 (∂ k v i − ∂ i v k ), можно поставить во взаимно-однозначное соответствие псевдовектор вихря ω i = 1 2 ε ijk χ jk = 1 2 ε ijk ∂ j v k , или ω = 1 2 [ ∇ × v] Формулой Коши-Гельмгольца называется представление v i (x k + dx k , t) = v i (x k , t) + ε ijk ω j dx k + ∂Ψ ∂dx i , или v(r + dr, t) = v(r, t) + [ω × dr] + ∇ dr Ψ, где Ψ = 1 2 v ik dx i dx k . 4 Объемные и поверхностные силы. Тензор локальных напря- жений. Тензор локальных напряжений идеальной жидкости, "вязкий" тензор напряжений. Симметричность тензора ло- кальных напряжений. Объемной силой, действующей на элементарный объем, называется сила, представимая в виде d F = f (r, t)dm, причём подобное представление возможно только если сила, действующая на элементарный объем, зависит только от его величины и не зависит от его размеров и формы. К объемным силам относятся электромагнитные и гравитационные. Поверхностной силой, действующей на ориентируемую поверхность жидкой частицы называется сила, представимая в виде dF i = P ik (x j , t)dσ k . Поверхностные силы описывают действие соседних жидких частиц на данную жидкую частицу— контактное взаимодействие. Тензором локальных напряжений называется симметричный (вследствие сохранения момен- та импульса среды) тензор P ik (x j , t) = P ki (x j , t). Если тензор локальных напряжений может быть приведен к диагональному виду глобально во всем пространстве с равными нормальными напряжениями, т.е. P ik = −p(r, t)δ ik , p > 0, то среда называется идеальной. Для описания вязкости в тензор локальных напряжений добавляют "вязкий" тензор напряже- ний, линейно зависящий от градиентов скоростей: P ik = −pδ ik + P ik , где P ik = η µ ∂ i v k + ∂ k v i − 2 3 δ ik ∂ j v j ¶ + ζδ ik ∂ j v j , где η (первая вязкость) и ζ (вторая вязкость) — функции локального термодинамического состояния системы. Модель сплошной среды с таким тензором напряжений называется линейной изотропной вязкой жидкостью. 2 5 Система уравнений движения сплошной среды. Уравнение непрерывности dρ dt + ρ ∇v = 0, закон изменения импульса ρ dv i dt = ρf i + ∂ k P ik , первое начало термодинамики ρ de dt = P ik v ik − ∇q, второе начало термодинамики ρT ds dt = D − ∇q, термическое уравнение состояния p = p(ρ, T ), калорическое уравнение состояния e = e(ρ, T ), + структура тензора P ik . D — диссипативная функция. 6 Идеальная жидкость: определение и система уравнений дви- жения. Идеальной жидкостью называется сплошная среда без вязкости и теплопроводности и с изотропным тензором напряжений: η = ζ ≡ 0, P ik = −p(r, t)δ ik . Уравнение непрерывности dρ dt + ρ ∇v = 0, уравнение Эйлера ρ dv dt = ρ f − ∇p, первое начало термодинамики de dt = −p d dt µ 1 ρ ¶ , второе начало термодинамики ds dt = 0, +термическое и калорическое уравнения состояния. Если s = const (изоэнтропичность), то для потенциальной массовой внешней силы f = − ∇U урав- нение Эйлера можно записать в форме Громэки-Лэмба: ∂v ∂t + 2[ω × v] = − ∇ µ v 2 2 + h + U ¶ , где h = e + p/ρ — удельная энтальпия. 3 7 Интегралы уравнений движения идеальной жидкости: инте- грал Бернулли и интеграл Коши. При стационарном (∂ t v ≡ 0) и изоэнтропическом в поле потенциальных сил течении идеальной жид- кости имеет место интеграл Бернулли: v 2 2 + h + U = const| вдоль выделенной линии тока или линии вихря При безвихревом (ω ≡ 0) изоэнтропическом в поле потенциальных сил течении идеальной жидкости имеет место интеграл Коши: ∂Φ ∂t + v 2 2 + h + U = f (t), где v = − ∇Φ, Φ(r, t) — потенциал скорости, f (t) — произвольная функция времени. 8 Вихри в идеальной жидкости. Теорема Томсона о циркуля- ции. Теорема Томсона. При изоэнтропийном течении идеальной жидкости циркуляция скорости по за- мкнутому жидкому контуру сохраняется, если объёмные силы потенциальны. I C(t) v dl = const, или поток вихря скорости идеальной жидкости через данную жидкую площадку при ее движении сохраняется, если объемные силы потенциальны. Z S(t) [ ∇ × v] dσ = const. Следствие. Если объемные силы потенциальны и вектор вихря равен нулю в некоторый момент времени во всем объеме идеальной жидкости, то движение остается безвихревым и во все последующие моменты времени. 9 Уравнение Гельмгольца. Необходимое и достаточное условие вмороженности вихревых линий. Уравнение Гельмгольца d dt µ ω ρ ¶ − µ ω ρ ∇ ¶ v = 0, описывает движение вихря в идеальной жидкости. Вмороженным называется векторное поле, линии (интегральные кривые) которого в любой мо- мент времени проходят через одни и те же частицы среды. Необходимым и достаточным условием вмороженности поля вихря ω является выполнение уравнения Гельмгольца если объемные силы по- тенциальны. 10 Теоремы Гельмгольца и Гельмгольца-Фридмана. Первая теорема Гельмгольца. Поток вихря по всей длине вихревой трубки (интенсивность вихря) одинаков в данный момент времени. Теорема Гельмгольца-Фридмана. Если внешние силы потенциальны, то жидкая масса, состав- ляющая вихревую трубку в какой-то момент времени, сохраняется в форме вихревой трубки и во все последующие моменты времени. 4 Вторая теорема Гельмгольца. При действии на жидкость лишь потенциальных сил поток вих- ревой трубки во все время движения остается постоянным. Принцип сохранения вихря. Если в начальный момент времени вихри в жидкости отсутству- ют (течение потенциально), то они и не могут возникнуть в идеальной жидкости без границ. Таким образом, для возникновения вихрей нужна вязкая жидкость и/или наличие границ. 11 Поток энергии и поток импульса в идеальной жидкости. Вектор плотности потока энергии идеальной жидкости j i = ρv i µ v 2 2 + h ¶ , или j = ρv µ v 2 2 + h ¶ . Закон сохранения энергии ∂ ∂t µ ρ v 2 2 + e ¶ + ∇j = 0. Тензор плотности потока импульса идеальной жидкости Π ik = pδ ik + ρv i v k . Закон сохранения импульса ∂ ∂t (ρv i ) + ∂ k Π ik = 0. 12 Звуковые волны в идеальной жидкости. Плотность энергии и плотность потока энергии плоской звуковой волны. Волнами называются изменения состояния среды, распространяющиеся в ней и переносящие энергию. Система уравнений для малых отклонений от равновесных величин: ∂ρ 0 ∂t + ρ 0 ∇v = 0, ∂v ∂t = − ∇p 0 ρ 0 , p 0 = µ ∂p ∂ρ ¶ S ρ 0 = c 2 0 ρ 0 . Волновое уравнение для поля потенциала скоростей: ∂ 2 ϕ ∂t 2 − c 2 0 4ϕ = 0, v = ∇ϕ(r, t). Звуковые волны продольны. Связь величин в плоской звуковой волне: v = ϕ 0 (x − c 0 t), p 0 = ρ 0 c 0 v, ρ 0 = ρ 0 c 0 v. Любое линейное возмущение идеальной жидкости — это линейная суперпозиция плоских волн, которые распространяются независимо друг от друга: ϕ(r, t) = Z dΩ n Re ½ 1 (2π) 4 Z ∞ 0 dω e ϕ µ ω, ω c 0 n ¶ e −iω t− n r c0 ¾ , n = k |k| . Плотность энергии плоской звуковой волны ε = ρ 0 v 2 . Вектор плотности потока энергии плоской звуковой волны j = ρ 0 v 2 c 0 n. 5 13 Ударные волны. Адиабата Гюганио. В инерциальной системе отсчета, связанной с фронтом волны выполняются граничные условия (1 — перед фронтом, 2 — за фронтом): ρ 2 v n2 = ρ 1 v n1 , p 2 + ρ 2 v 2 n2 = p 1 + ρ 1 v 2 n1 , ρ 2 v n2 v τ 2 = ρ 1 v n1 v τ 1 , ρ 2 v n2 µ v 2 2 2 + h 2 ¶ = ρ 1 v n1 µ v 2 1 2 + h 1 ¶ . В ударной волне v τ 2 = v τ 1 а p и ρ изменяются скачком. Адиабата Гюганио: h 2 − h 1 = 1 2 (p 2 − p 1 ) µ 1 ρ 2 + 1 ρ 1 ¶ . Для идеального газа удельная энтальпия h = p ρ γ γ − 1 , γ ≡ c p c v , и адиабата Гюганио µ p + γ − 1 γ + 1 p 1 ¶ µ V − γ − 1 γ + 1 V 1 ¶ = p 1 V 1 4γ (γ + 1) 2 , V = 1 ρ . Скорость фронта относительно лабораторной системы отсчета: v 2 = 1 ρ 2 1 p 2 − p 1 1 ρ 1 − 1 ρ 2 > c 2 0 , если p 2 > p 1 , т.е. ударные волны распространяются относительно невозмущенной среды со сверхзвуковыми ско- ростями. 14 Уравнение Навье-Стокса. Система уравнений движения вяз- кой жидкости. Приближение Навье-Стокса: η и ζ не изменяются в пространстве с течением времени. Уравнение Навье-Стокса: ρ dv dt = f − ∇p + η4v + ³ ζ + η 3 ´ ∇( ∇v). Полная система уравнений: уравнение Навье-Стокса, уравнение непрерывности, первое и второе начала термодинамики, термическое и калорическое уравнения состояния, граничные условия. Граничные условия при обтекании вязкой жидкостью твердого тела — условие прилипания — v жидк = v тело Уравнение Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости: dv dt = f − ∇p ρ + ν4v, ν ≡ η ρ . Поле плотности вязкой несжимаемой жидкости полностью определяется полем скоростей: 4p = −ρ(∂ i v k )(∂ k v i ). 6 15 Особенности распространения линейных возмущений в вяз- кой жидкости: затухание звука, поперечные колебания в вяз- кой жидкости. Система уравнений для малых отклонений от равновесных величин: ∂ρ 0 ∂t + ρ 0 ∂v x ∂t = 0, ρ 0 ∂v x ∂t = − ∂p 0 ∂x + µ ζ + 4η 3 ¶ ∂ 2 v x ∂x 2 , ρ 0 ∂v y,z ∂t = η ∂ 2 v y,z ∂x 2 , p 0 = µ ∂p ∂ρ ¶ S ρ 0 = c 2 0 ρ 0 Продольные волны v x (x, t) = V e −k 2 x cos(ωt − k 1 x + φ), где k 1 = ω c 0 µ 1 − 3 8 ε 2 ¶ , k 2 = ε ω 2c 0 , ε = µ ζ + 4η 3 ¶ ω ρ 0 c 2 0 . Поперечные волны v ⊥ = V ⊥ e −k 2 x cos(ωt − k 1 x + ψ), где k 1 = k 2 = r ων 2 . 16 Стационарный поток несжимаемой вязкой жидкости. Закон подобия. В безразмерных переменных r → r L , v → v U , p → p ρU 2 , стационарный поток описывается уравнением (v ∇)v = − ∇p + 1 Re 4v, где Re = LU ν — число Рейнольдса. Два тела называются геометрически подобными, если они могут быть получены друг из друга изменением всех линейных размеров в одинаковое число раз Два потока называются подобными, если они могут быть получены один из другого простым изме- нением масштабов длин и скоростей. Закон подобия Рейнольдса. Два стационарных потока несжимаемой вязкой жидкости, обтека- ющих геометрически подобные тела в отсутствии внешних сил, являются подобными, если они харак- теризуются одним и тем же числом Рейнольдса. 17 Система уравнений магнитной гидродинамики идеально про- водящей жидкости. Уравнение непрерывности dρ dt + ρ ∇v = 0, 7 Уравнение Эйлера с силой Ампера f A ρ dv dt = − ∇p + f A , Уравнения Максвелла при условии, что σ → ∞ ∇ B = 0, ∂ B ∂t = h ∇ × [v × B] i , Сила Ампера f A = 1 4π h [ ∇ × B] × B i , +уравнения термодинамики идеальной жидкости, термическое и калорическое уравнения состояния. 18 Магнитогидродинамический тензор напряжений. Уравнение Эйлера с силой Ампера можно привести к виду ρ dv i dt = ∂P M ik ∂x k , где тензор P M ik = −pδ ik + 1 4π µ B i B k − 1 2 δ ik B 2 ¶ . называется магнитогидродинамическим тензором напряжений. 19 Закон сохранения энергии в магнитной гидродинамике иде- ально проводящей жидкости. Закон сохранения энергии имеет вид ∂ ∂t µ ρv 2 2 + ρe + B 2 8π ¶ = − ∇ ½ v µ ρv 2 2 + ρh ¶ + S ¾ , где h = e + p ρ , S = c 4π [ E × B]. 20 Вмороженность силовых линий магнитного поля. Для идеально проводящей жидкости выполнено равенство d dt à B ρ ! − à B ρ ∇ ! v = 0, которое является необходимым и достаточным условием вмороженности линий магнитного поля. 21 Магнитогидродинамические волны. Система уравнений для малых отклонений от равновесных величин ∂ρ 0 ∂t + ρ 0 ∇v = 0, ∂v ∂t = − c 2 0 ρ 0 ∇ρ 0 + 1 4πρ 0 h [ ∇ × b] × B 0 i , ∇b = 0, ∂b ∂t = h ∇ × [v × B 0 ] i . 8 Альфвеновские волны — поперечные волны в замагниченной идеальной жидкости, не сопро- вождающиеся колебаниями плотности. Дисперсионное уравнение 4πρ 0 ω 2 = (k B 0 ) 2 , k = {k, 0, 0}, B 0 = {B x , B y , 0}, фазовая скорость u = (n B 0 ) 2 √ 4πρ 0 e z . Магнито-звуковые волны. Быстрая волна (переходит в обычную волну при отсутствии внешнего поля). Фазовая скорость u 2 = 1 2 c 2 0 + B 2 0 4πρ 0 + sµ c 2 0 + B 2 0 4πρ 0 ¶ 2 − B 2 0x πρ 0 c 2 0 , Медленная волна. Фазовая скорость u 2 = 1 2 c 2 0 + B 2 0 4πρ 0 − sµ c 2 0 + B 2 0 4πρ 0 ¶ 2 − B 2 0x πρ 0 c 2 0 . 9 |