httplibrary.voenmeh.rujirbis2filesmaterialsmathmath_newкомиссияТ. Памятка по ключевым вопросам теории для подготовки к экзамену
 Скачать 460.41 Kb.
|
|
1 Составил: доц. Брацлавский А. А., компьютерная вёрстка: доц. Брацлавский А.А. МАТЕМАТИКА 3 Памятка по ключевым вопросам теории для подготовки к экзамену 1. Первообразная Определение. Функция ) (x F , дифференциру- емая на некотором промежутке 𝑋 числовой оси, называется первообразной для функции ) (x f на этом промежутке, если ) ( ) ( : x f x F X x = 2. Неопределенный интеграл Определение. Множество всех первообразных для функции ) (x f на некотором промежутке 𝑋 называется неопределённым интегралом от этой функции на этом промежутке и обозначается: + = , ) ( ) ( C x F dx x f где - знак интеграла; x – переменная интегрирования; ) (x f – подынтегральная функция; dx – дифференциал переменной интегрирования; dx x f ) ( – подынтегральное выражение; ) (x F – одна из первообразных для функции ) (x f ; C – произвольная постоянная. Свойство 1. Для любого ненулевого числа 𝑐 справедливо равенство = ) ( ) ( dx x f c dx x cf Свойство 2 Для любых функций ) ( 1 x f и ) ( 2 x f справедливо равенство ( ) = ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 dx x f dx x f dx x f x f 3. Таблица неопределенных интегралов В таблице неопределённых интегралов 𝑢 обозначает как независимую переменную, так и любую дифференцируемую функцию 𝑢 = 𝑢(𝑥). Все формулы таблицы интегралов проверяются дифференцированием правой части формулы – результатом при этом является подынтегральная функция. 1. 1 при , 1 1 − + + = + C u du u 2. ln C u u du + = 3. C e du e u u + = 4. cos sin C u udu + − = 5. sin cos C u udu + = 6. tg cos 2 C u u du + = 7. tg c sin 2 C u u du + − = 8. + − + = − arccos , arcsin 2 2 C a u C a u u a du 9. + − + = + arctg 1 , arctg 1 2 2 C a u a C a u a a u du 10. + + = ln 2 2 2 2 C a u u a u du 11. + + − = − ln 2 1 2 2 C a u a u a a u du 12. cos ln tg C u du u + − = 13. sin ln ctg C u du u + = 14. + = ln C a a du a u u 4. Формула интегрирования по частям Пусть даны две функции 𝑢 = 𝑢(𝑥), 𝑣 = 𝑣(𝑥) , имеющие непрерывные производные. Тогда справедлива формула интегрирования по частям: − = vdu uv udv Если рассматривается определённый интеграл по промежутку [𝑎; 𝑏] , то формула интегрирования по частям принимает вид: , − = b a b a b a vdu uv udv при условии, что определённые интегралы справа и слева существуют. 5. Определенный интеграл и его геометрический смысл Определение 1 . Пусть функция ) (x f задана на промежутке [𝑎; 𝑏]. Выполним следующие операции: 1. Разобьём промежуток ] ; [ b a на 𝑛 промежутков точками 2 𝑎 = 𝑥 0 < 𝑥 1 < 𝑥 2 < ⋯ < 𝑥 𝑛−1 < 𝑥 𝑛 = 𝑏. 2. Найдём длины этих промежутков : 0 1 1 x x x − = , 1 2 2 x x x − = ,…, 1 − − = n n n x x x 3. На каждом промежутке возьмём по одной точке, обозначим их 𝑚 1 , 𝑚 2 , … , 𝑚 𝑘 4. В этих точках вычислим значения функции : 𝑓(𝑚 1 ), 𝑓(𝑚 2 ), … , 𝑓(𝑚 𝑛 ). Составим сумму 𝑆 𝑛 = ∑ 𝑓(𝑚 𝑘 𝑛 𝑘=1 )∆𝑥 𝑘 Эта сумма называется интегральной суммой или суммой Римана для функции ) (x f на промежутке ] ; [ b a Сумма Римана зависит как от способа разбиения промежутка ] ; [ b a на промежутки, так и от выбора точек в каждом промежутке 5. Назовём рангом дробления наибольшую из длин ∆𝑥 1 , ∆𝑥 2 , … , ∆𝑥 𝑛 , обозначим его 𝜆. 6. Устремим 𝜆 к 0, при этом количество промежутков 𝑛 стремится к бесконечности 7. Если существует конечный предел суммы Римана при 𝜆 → 0 (𝑛 → ∞) , не зависящий ни от способа разбиения промежутка ] ; [ b a на промежутки, ни от выбора точек в каждом промежутке, то он называется определенным интегралом от функции ) (x f по промежутку ] ; [ b a и обозначается : ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim λ→0(𝑛→∞) 𝑆 𝑛 𝑏 𝑎 = lim λ→0(𝑛→∞) ∑ 𝑓(𝑚 𝑘 )∆𝑥 𝑘 𝑛 𝑘=1 Промежуток ] ; [ b a называется промежутком интегрирования, а его концы 𝑎 и 𝑏 – нижним и верхним пределами интегрирования. Функция ) (x f , для которой существует на промежутке ] ; [ b a определённый интеграл, называется интегрируемой на этом промежутке Определение 2 . Пусть на промежутке ] ; [ b a задана неотрицательная непрерывная функция 𝑓(𝑥). Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции 𝑓(𝑥), снизу промежутком ] ; [ b a оси абсцисс, справа и слева отрезками вертикальных прямых 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏. Теорема (геометрический смысл определенного интеграла). Если неотрицательная функция 𝑓(𝑥) непрерывна на промежутке ] ; [ b a , то площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу от этой функции по этому промежутку: = b a dx x f S ) ( ции крив.трапе 6. Формула Ньютона-Лейбница Пусть функция 𝑓(𝑥) непрерывна на промежутке ] ; [ b a , тогда справедлива формула Ньютона- Лейбница: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎), где ) (x F – любая первообразная для функции 𝑓(𝑥) на промежутке ] ; [ b a 7. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода Определение 1. Пусть функция 𝑓(𝑥) интегрируема на любом промежутке ] ; [ b a , где ) ; [ + a b Несобственным интегралом 1-го рода (интегралом с бесконечным верхним пределом) называется следующий предел: ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim 𝑏→+∞ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥. 𝑏 𝑎 +∞ 𝑎 Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл 1-го рода называется сходящимся, а если не существует или равен , ─ то расходящимся 3 Определение 2 . Пусть функция 𝑓(𝑥) интегрируема на любом промежутке [𝑎; 𝑐], где 𝑐 ∈ [𝑎; 𝑏), и в точке 𝑏 имеет бесконечный разрыв. Несобственным интегралом 2-го рода (интегралом от неограниченной функции) называется следующий предел: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim 𝜀→0+ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥. 𝑏−𝜀 𝑎 →𝑏 𝑎 Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл 2-го рода называется сходящимся, а если не существует или равен , ─ то расходящимся 8. Числовой ряд, его сумма, сходящийся и расходящийся ряд Определение 1 . Числовым рядом называется выражение вида : 𝑎 1 + 𝑎 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 + ⋯ = ∑ 𝑎 𝑛 ∞ 𝑛=1 Числовую последовательность } { n a называют последовательностью общего члена, число n a ─ общим членом ряда. Определение 2 . k - й частичной суммой числового ряда называется сумма k его слагаемых: 𝑆 𝑘 = 𝑎 1 + 𝑎 2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 = ∑ 𝑎 𝑛 𝑘 𝑛=1 Определение 3 . Суммой 𝑆 числового ряда называется конечный предел последователь- ности частичных сумм при → k : 𝑆 = lim 𝑘→∞ 𝑆 𝑘 Определение 4. Если сумма числового ряда существует, то говорят, что числовой ряд сходится и пишут: ∑ 𝑎 𝑛 = 𝑆. ∞ 𝑛=1 Определение 5. Если сумма числового ряда не существует или равна , то говорят, что числовой ряд расходится и никакого числового значения ему не приписывают 9. Необходимый признак сходимости числового ряда Если lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 ≠ 0, то числовой ряд ∑ 𝑎 𝑛 ∞ 𝑛=1 расходится 10. Признаки сходимости Даламбера и Коши. Теорема 1 (Достаточный признак сходимости Даламбера). Пусть дан положительный числовой ряд ∑ 𝑎 𝑛 ∞ 𝑛=1 , 𝑎 𝑛 > 0. Пусть существует конечный или бесконечный предел: lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 = 𝐷. Тогда: если 0 ≤ 𝐷 < 1, то ряд сходится, если 𝐷 > 1, то ряд расходится, если 𝐷 = 1, то признак не даёт ответа о сходимости ряда. Теорема 2 (Достаточный признак сходимости Коши радикальный). Пусть дан положительный числовой ряд ∑ 𝑎 𝑛 ∞ 𝑛=1 , 𝑎 𝑛 ≥ 0. Пусть существует конечный или бесконечный предел: lim 𝑛→∞ √𝑎 𝑛 𝑛 = 𝐾. Тогда: если 0 ≤ 𝐾 < 1, то ряд сходится, если 𝐾 > 1, то ряд расходится, если , 1 = K то признак не даёт ответа о сходимости ряда. 11. Абсолютная и условная сходимости, теорема Лейбница Определение 1. Числовой ряд ∑ 𝑎 𝑛 ∞ 𝑛=1 называется знакопеременным, если он содержит бесконечное количество как положительных, так и отрицательных слагаемых. Определение 2. Знакопеременный числовой ряд ∑ 𝑎 𝑛 ∞ 𝑛=1 называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд ∑ |𝑎 𝑛 | ∞ 𝑛=1 Определение 3. Знакопеременный числовой ряд ∑ 𝑎 𝑛 ∞ 𝑛=1 называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд ∑ |𝑎 𝑛 | ∞ 𝑛=1 расходится. Теорема Лейбница. Пусть дан знакопеременный ряд вида ∑ (−1) 𝑛 ∞ 𝑛=1 𝑎 𝑛 , где 𝑎 𝑛 – последовательность постоянного знака. Пусть выполняются одновременно два условия: 1. |𝑎 𝑛 | монотонно убывает, начиная хотя бы с какого-либо 𝑛 = 𝑛 0 ≥ 1. 2. lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 = 0. Тогда знакопеременный ряд сходится. |