2.Перестановки, размещения. Перестановки. Размещения Найдите значение выражения 12 100. 2
 Скачать 1.3 Mb.
|
|
§2. Перестановки. Размещения  2.1. Найдите значение выражения 1+2+…..+100 .2.2. Вычислите:  .2.3. Можно ли в равенстве 1∙2∙…∙9∙10 =11∙12∙…∙20 вычеркнуть из левой части один множитель, а в правой – несколько так, чтобы получилось верное равенство?  Рассмотрим задачу. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 3, 5, 6, 8 так, чтобы все цифры были различными?
Перестановками из n различных элементов называются наборы, каждый из которых содержит все эти nэлементов, взятых в определенном порядке. Различные перестановки из n данных элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов. Число всех пeрестановок из n элементов обозначается  (от французского слова реrmutation - перестановка») и читается «P из n».Выведем формулу для подсчета числа перестановок из n элементов. Пусть имеется n различных элементов, которые нужно распределить по n местам. Выбор первого элемента можно осуществить n способами (иначе говоря, на первое место можно поставить любой из этих n элементов). После выбора первого элемента второй элемент можно выбрать  способом (т.е., на второе место можно поставить любой из оставшихся элементов). Третий элемент можно выбрать  способами и т. д. Последний элемент можно выбрать только одним способом. По правилу произведения получим, что n элементов можно выбрать  способами. Значит, число перестановок из n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n, т.е.  .Для произведения первыхn натуральных чисел применяют специальное
factorialis — действующий, производящий, умножающий. Например, 2! = 1 · 2 = 2; 3! = 1 · 2 · 3 = 6; 10! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 3628800. По определению считают, что  ,  .Поскольку число перестановок из n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n, то получаем формулу:  . В рассмотренной задаче, число всевозможных четырехзначных чисел,
различными, равно числу перестановок из четырех элементов:  .Пример 1. Сколько существует различных способов распределения трех команд на три призовых места?
числу перестановок из трех элементов:  . Ответ: 6 различных способов. В практических задачах часто нужно подсчитать количество наборов из m элементов, если имеется n различных элементов этого вида. Например, рассмотрим задачу: Сколько различных трехзначных номеров для проведения школьной лотереи можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы все цифры были различными? Решение. На первое место в числе можно поставить любую из пяти цифр, ее можно выбрать пятью способами. На второе – любую из четырех оставшихся цифр, т.е. вторую цифру можно выбрать четырьмя способами. На третье – любую их трех оставшихся цифр, третью цифру можно выбрать тремя способами. По правилу произведения получим, что из цифр1, 2, 3, 4, 5 можно составить 5·4·3=60 различных трехзначных номеров так, чтобы все цифры были различными. В этом случае говорят, что рассматриваются размещения из пяти элементов по три. Размещениями из n различных элементов по m называются наборы, каждый из которых содержит m элементов из n, взятых в определенном порядке. Размещения из n различных элементов по m отличаются друг от друга элементами или порядком их расположения. Число всех размещений из n элементов по m обозначается  (от французского слова arrangent, что означает размещение, приведение в порядок») и читается «А из nпо m».Выведем формулу для подсчета числа всех размещенийиз n различных элементов по m. Выбор первого элемента можно осуществить n способами (т.е., на первое место можно поставить любой из этих n элементов). После выбора первого элемента второй элемент можно выбрать способом (на второе место можно поставить любой из оставшихся элементов). Третий элемент можно выбрать способами и т. д. И, наконец, m-ый элемент можно выбрать  способом.По правилу произведения получим, что m элементов из n можно выбрать  способами.Значит, число всех размещенийиз n различных элементов по m можно вычислить по формуле  .Эту формулу можно преобразовать. Умножим и разделим произведение на  и получим: .В числителе дроби выражение  заменим на произведение  . Тогда,  .Числитель полученной дроби представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до n, т.е.  . Значит,  .Таким образом, получили формулу для вычисления числа размещений из n различных элементов по m при  . В рассмотренной задаче число всевозможных трехзначных чисел, составленных
Пример 2. Сколько различных четырехцветных флагов из четырех различных горизонтальных полос можно получить, если можно использовать 5 цветов?
цветов равно числу размещений из пяти элементов по четыре:  .
 1.Число перестановок из n элементов без повторений элементов вычисляется по формуле:а) Pn = n2; б) Pn = n!; в) Pn = n(n-1); г) Pn = nn . Выберите правильный ответ. 2. Число размещений из n элементов по m без повторений элементов вычисляется по формуле: а)  = nm; б) = n!; в) = n (n - 1)(n - 2)…(n - m + 1); г) = m n. 2.1. Упростите выражение: а)  ; б)  ; в)  ; г)  .2.2. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 3, 5, 7 так, чтобы все цифры участвовали в записи? 6 2.3. Сколькими способами могут расположиться в турнирной таблице 10 футбольных команд, если известно, что никакие две команды не набрали поровну очков? 10! 2.4. Сколько различных «слов» можно составить из слова «правило», переставляя буквы так, чтобы буква «п» оставалась на первом месте? 6! 2.5. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 0 так, чтобы все цифры участвовали в записи? 18 2.6. Сколько различных «слов» можно составить из слова «период», переставляя буквы так, чтобы гласные стояли рядом? 144 2.7. Сколько различных «слов» можно составить из слова «алгоритм», переставляя буквы так, чтобы гласные не стояли рядом? 36000 2.8. Сколькими способами можно расставить на полке 10 различных книг, если среди них три различных справочника должны стоять вместе? 8!3! 2.18. Сколькими способами можно выбрать три книги для призов за первое, второе и третье место в олимпиаде из 10 различных книг? 720 2.16. Сколькими способами можно выбрать председателя, секретаря и одного члена жюри из семнадцати учащихся класса? 17∙16∙15 2.28. Сколько неудачных попыток можно сделать, чтобы открыть замок, если код содержит 4 цифры из 10, при этом цифры не могут повторяться? 5039 2.17. Сколько можно составить различных четных пятизначных номеров, составленных из цифр 2, 3, 5, 7, 9, 1 (цифры не повторяются)? 120 2.27. Сколько различных четырехцветных флагов из четырех горизонтальных полос можно получить, если можно использовать 6 цветов, при этом два из этих цветов (синий и красный) не должны быть рядом? 480 2  .28. Упростите выражение: а)  ; б)  ; в)  ; г)  .2.29. Каково число различных трехцветных флагов, которые можно составить, используя синий, белый и красный цвета? 6 2.30. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 3, 5, 7, 9 так, чтобы все цифры участвовали в записи? 2.31. Сколькими способами 6 человек могут разместиться на шестиместном месте для сидения в метро? 2.32. Сколько различных четных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 0 так, чтобы все цифры участвовали в записи? 6 2.33. Сколько различных нечетных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 7, 8 так, чтобы все цифры участвовали в записи? 18 2.34. Сколько различных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, которые начинаются с цифр 1, 2, 3, взятых в указанном порядке (цифры не повторяются)? 24 2.35. У филателиста 9 новых марок. Сколькими способами он может наклеить четыре из них на 4 пронумерованных места? 3024 2.36. Сколькими способами можно назначить трех кураторов из 16-ти старшекурсников для трех студентов первого курса? 3360. 2.37. Сколькими способами можно составить расписание из 6 различных уроков на один день, если имеется 10 предметов и один – физкультура – должен быть последним? 15120 2.38. Сколько различных четырехцветных флагов из четырех различных горизонтальных полос можно получить, если можно использовать 6 цветов, при этом два из этих цветов (синий и красный) должны быть рядом? 240. | ||||||||||||||||||||||||||
(читается «n факториал»).
.
Перестановки
; б) 
.
; 
.
.
.
. Таким образом, число различных флагов будет равно: 
.