План. Випробування та події. Означення та види подій Поняття ймовірності події. Класична формула для обчислення

• Название: План. Випробування та події. Означення та види подій Поняття ймовірності події. Класична формула для обчислення
• Дата: 11.02.2020
• Размер: 0.7 Mb.
• Имя файла: 2.pptx
• Тип: Документы; #108041

Тема 1: ІМОВІРНІСТЬ ПОДІЇ В КЛАСИЧНІЙ ІМОВІРНІСНІЙ СХЕМІ. ГЕОМЕТРИЧНІ ЙМОВІРНОСТІ. СТАТИСТИЧНЕ ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІ ПОДІЇ

План.

1.1. Випробування та події. Означення та види подій

1.2. Поняття ймовірності події. Класична формула для обчислення

ймовірностей

1.3 Геометричний підхід до обчислення ймовірностей

1.4.Відносна частота появи події та її стійкість. Статистичне означення ймовірності.

1.1. Випробування та події. Означення та види подій

Теорія ймовірностей — математична наука, яка вивчає закономірності, що виникають у випробуваннях (дослідах, експериментах, спостереженнях тощо) з випадковими наслідками (результатами) при їх масовому повторенні.

Основним об'єктом досліджень теорії ймовірностей є випробування з випадковими наслідками, або так звані стохастичні випробування.

Випробування	Події
Кидання грального кубика	Випала парна кількість очок
Оцінювання якості виробу	Виріб виявився бракованим
Звернення до системи продажу авіаквитків	Одержано квиток
Випробування автоматичної системи	Система вийшла з ладу
Вимірювання фізичної величини приладом	Знайдено значення величини із заданою точністю

Події, як правило, позначають великими латинськими літерами А, В, С, ... або в разі їх значної кількості — великою латинською літерою з індексом: А1, А2,..., Аn, а зміст події подають у фігурних дужках.

Наприклад, подія А = '{рейс до Одеси виконано за розкладом).

Усі події поділяються на достовірні, неможливі та випадкові

Достовірною називається подія, яка неодмінно відбудеться при. проведенні випробування.

Неможливою називається подія, яка при проведенні випробування не відбудеться ні за яких умов.

Випадковою називається подія, яка в результаті проведеного випробування може відбутися або не відбутися залежно від впливу випадкових факторів.

Кожне стохастичне випробування має деяку скінченну (або нескінченну) множину Ω={ώ1,ώ2,…, ώ n} усіх можливих, наслідків, які не розкладаються на простіші.

Множина Ω утворює так звану множину (або простір) елементарних наслідків ώ і якщо ці наслідки є взаємовиключними і результатом випробування завжди є один і тільки один наслідок.

Оскільки довільна подія А є. наслідком деякого стохастичного випробування, а простір Ω — множина всіх можливих елементарних наслідків випробування, то подія А входить у простір Ω.

При цьому ті елементарні наслідки ώ і з простору Ω., при яких подія А відбувається, тобто наслідки, які входять до складу події А ( ώ і Є А), називаються сприятливими щодо події А .

Приклад 1.1. Із двоцифрових чисел, що не перевищують 20, навмання вибирається одне число. Описати простір елементарних наслідків Ω і події

А ={вибране число ділиться на 5};

В = {вибране число просте};

С = {вибране число парне}.

простір елементарних наслідків

• простір елементарних наслідків
• Ω ={10, 11, 12, ..., 20}.
• З усіх наслідків із цього простору Ω події А сприяють наслідки 10, 15, 20. Отже, А ={10,15, 20.},
• Відповідно В={11, 13, 17, 19} і
• С ={10, 12, 14, 16, 18,20}.
• Тут простір Ω і події А, В, С — скінченні множини.

Приклад 1.2. Об'єкт Т , за яким ведеться спостереження за допомогою радіолокатора, займає випадкове положення на круглому екрані радіуса r. Описати простір елементарних наслідків Ω. і подію А ={об'єкт Т з 'явиться всередині круга, центр якого збігається з центром екрана, а площа становить чверть площі екрана}.

• Позначимо через р відстань від центра екрана до зображення об'єкта Т.
• Оскільки простір елементарних наслідків — множина точок, що суцільно заповнюють екран локатора, то Ω. ={0≤р≤ r }.
• Площа екрана S =πr2. Позначимо через r1радіус круга, що відповідає події А, тоді за умовою задачі площа цього круга дорівнює πr12= 1/4πr2, звідки r1.=1/2 r.
• Отже, подія А описується так:А={0≤p<1/2r }
• Тут простір Ω і подія А — нескінченні множини.

1.2. Поняття ймовірності події. Класична формула для обчислення ймовірностей

Мірою можливості появи події є її ймовірність. Це поняття також належить до основних базових понять теорії ймовірностей.

У практичних застосуваннях здебільшого розглядаються випробування, які зводяться до так званої класичної схеми і в яких обчислення ймовірностей суттєво спрощується.

Класична ймовірнісна схема стосується подій найпростішого виду, які називаються випадками, або шансами. Це події, які утворюють повну групу, несумісні і рівноможливі

У загальному випадку події А1, А2,…, Аn називаються попарно несумісними (або просто несумісними), якщо поява однієї з них у даному випробуванні виключає можливість появи будь-якої іншої з цих подій.

Поняття рівноможливості подій не підлягає формальному визначенню, і його слід розуміти так: події А1, А2,…, Аn є рівноможливими в даному випробуванні, якщо за умовами проведеного випробування немає підстав вважати появу однієї із цих подій більш можливою, ніж інших.

Події А1, А2,…, Аn утворюють повну групу несумісних подій, якщо в результаті випробування неодмінно відбудеться одна і тільки одна з них.

Якщо дві несумісні події утворюють повну групу, то їх називають протилежними і позначають А і Ᾱ.

В умовах класичної ймовірнісної схеми ймовірність Р(А) події А обчислюється за формулою класичної ймовірності:

Р(А)=m/n (1.1)

де п — загальна кількість усіх рівноможливих наслідків випробування, які утворюють повну групу несумісних подій;

т — кількість наслідків випробування, сприятливих щодо події A

ймовірність Р(А) міститься в межах:

0≤ Р(А) ≤1

оскільки для достовірної події т =п,

для неможливої m= 0

для випадкової т < п .

Застосуванням формул та принципів комбінаторики.

• Нехай множина М складається з n різних елементів .
• Комбінаціями з n елементів по k називаються всі підмножини множини М , які містять k елементів і відрізняються принаймні одним елементом.
• Їхню кількість знаходять за формулою:
• (1.2)
• де n!=1·2·3·…·n; 0! = 1.
• Для кількості комбінацій виконується властивість симетрії

.

(1.3)

Розміщеннями з п елементів по k називаються всі підмножини множини М , які містять k елементів і відрізняються між собою або складом елементів, або порядком їх розміщення.

• (1.3)

Переставленнями з п елементів називаються всі можливі варіанти множини М, які відрізняються порядком розміщення елементів. Їхню кількість Рп обчислюють за формулою:

• Рп = =п!= 1·2·3·…·(n-1)n. (1.4)

При обчисленні ймовірностей подій часто застосовується комбінаторний принцип добутку: якщо послідовно виконується k дій, причому першу дію можна виконати n1, способами, другу — п2 способами і, нарешті, k-ту дію — пk. способами, то всі k дій разом можна виконати n1n2nk. способами.

• 1.Знайти ймовірність того, що вибране навмання двоцифрове число ділиться на 5. 2. У групі із двадцяти студентів 30 % — відмінники. Для здачі заліку навмання викликано одного студента. Яка ймовірність того, що викликано відмінника?
• 3. Із двоцифрових чисел, не більших від 20, навмання вибрано одне число q і складено рівняння х 2+ 8х+ q = 0. Яка ймовірність того, що корені рівняння — дійсні цілі числа?
• 4.Маємо 5 відрізків довжиною 1, 3, 6, 8 і 10 см. Яка ймовірність того, що з вибраних навмання трьох відрізків можна скласти трикутник?

Геометричний підхід до обчислення ймовірностей

Класична формула (1.1) обчислення ймовірності події незастосовна, якщо простір Ω елементарних наслідків випробування є нескінченна множина. У цьому випадку застосовують геометричний підхід до знаходження ймовірностей, при якому проведення випробування інтерпретується як випадкове кидання точки в область Ω n-вимірного простору, а подія А — як потрапляння цієї точки в підобласть А області Ω.

Множина всіх наслідків випробування виражається відповідною мірою т Ωобласті Ω., а множина наслідків, сприятливих шодо події А. — • мірою mA області А.

Імовірність події А обчислюється за формулою

р(А) = (1.5)

Зокрема, в одновимірному координатному просторі ймовірність у формулі (1. 5) визначається відношенням довжин відрізків, у двовимірному просторі — відношенням площ плоских фігур, у тривимірному просторі — відношенням об'ємів просторових тіл.

Імовірність події А обчислюється за формулою

р(А) = (1.5)

Зокрема, в одновимірному координатному просторі ймовірність у формулі (1. 5) визначається відношенням довжин відрізків, у двовимірному просторі — відношенням площ плоских фігур, у тривимірному просторі — відношенням об'ємів просторових тіл.

Отже, якщо довжину позначено через L, площу — через S і об'єм — через V , то формула (1.5) в одно-, дво-, тривимірному координатному просторі набирає відповідно такого вигляду;

Відносна частота появи події та її стійкість. Статистичне означення ймовірності події