Политех Вычислительная математика Лабораторная работа номер 2 Интерполяция дискретных данных. Лр 2. По лабораторной работе 2
 Скачать 0.6 Mb.
|
|
Санкт-Петербург 2022 Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого Институт машиностроения, материалов и транспорта Высшая школа компьютерных технологий в машиностроении Отчёт по лабораторной работе № 2 Дисциплина: Вычислительная математика Тема: Интерполяция дискретных данных Студент гр. 3331506/10001 Суднеко В.П. Преподаватель Солодилова Н.А. 2 Цель работы: Познакомиться с методами решения задачи интерполяции дискретных данных. Научиться пользоваться операторами интерполяции программы MathCAD. Задание: 1. Для заданной функции 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) построить ее дискретный аналог, разбив промежуток [𝒂𝒂, 𝒃𝒃] на 3 интервала. Для дискретного аналога найти интерполяционный полином следующими методами: • Решением системы линейных алгебраических уравнений. • По формуле Лагранжа. • По формуле Ньютона. Убедиться в идентичности полученных полиномов. Построить совмещенный график исходной функции, ее дискретного аналога и интерполяционного полинома. Найти относительную погрешность определения промежуточных значений заданной функции между узловыми точками с помощью интерполяционного полинома. Построить график относительной погрешности. 2. Построить интерполяционный полином с помощью встроенных функций linterp и interp. Найти относительную погрешность определения промежуточных значений заданной функции между узловыми точками с помощью интерполяционных полиномов. Построить график относительной погрешности. 3. Для формулы Лагранжа и встроенной функции linterp найти требуемое количество интервалов разбиения заданного промежутка для того, чтобы относительная погрешность определения промежуточных значений заданной функции между узловыми точками была менее 2%. Вариант Функция a b 9 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝟒𝟒 + 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝒙𝒙 + 𝟐𝟐 𝐜𝐜𝐬𝐬𝐬𝐬(𝒙𝒙 𝟐𝟐 ) 0 3 3 Краткие теоретические сведения: На практике часто нужно получить значения дискретной функции в промежуточных точках. В таких случаях применяется интерполирование – по набору дискретных данных строится непрерывная функция, в большинстве случаев кусочно-заданная, точно проходящая через данные точки. Если эта функция последовательно соединяет точки прямыми отрезками, то такой метод называется кусочно-линейной интерполяцией. Если параболами, то параболической. Также часто используется кубическая сплайн-интерполяция. Она позволяет получить кусочно-заданную, но вместе с тем гладкую (второго порядка) функцию на всём промежутке интерполирования. В случае, когда необходим единственный полином, точно проходящий через n точек, для его получения достаточно n уравнений. То есть, если дан многочлен 𝑄𝑄 𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = ∑ 𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=0 , то коэффициенты {𝑎𝑎 𝑖𝑖 } 𝑖𝑖=0 𝑛𝑛 находятся из следующей системы уравнений: ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧�𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑥𝑥 0 𝑖𝑖 = 𝑦𝑦 0 𝑛𝑛 𝑖𝑖=0 � 𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑥𝑥 1 𝑖𝑖 = 𝑦𝑦 1 𝑛𝑛 𝑖𝑖=0 … � 𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑖𝑖 = 𝑦𝑦 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑖𝑖=0 Можно вообще избавиться от необходимости поиска коэффициентов, сразу подставив данные в интерполяционный полином Лагранжа 𝑄𝑄 𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = ∑ 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ∏ (𝑥𝑥−𝑥𝑥 𝑗𝑗 ) (𝑥𝑥 𝑖𝑖 −𝑥𝑥 𝑗𝑗 ) 𝑛𝑛 𝑗𝑗=0,𝑖𝑖≠𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑖𝑖=0 . Но этот способ подразумевает полный пересчёт всего выражения при добавлении новых узлов. Для решения этой проблемы существует рекуррентная формула Ньютона 𝑄𝑄 𝑛𝑛 (𝑥𝑥) = ∑ ∆ 𝑖𝑖 𝑦𝑦 0 𝑖𝑖!∙ℎ 𝑖𝑖 ∏ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 𝑗𝑗 ) 𝑖𝑖−1 𝑗𝑗=0 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 4 Ход работы: Задание исходной функции, границ промежутка и числа интервалов Задание шага Создание дискретной модели Нахождение коэффициентов интерполяционного полинома с помощью системы линейных алгебраических уравнений. Получение интерполяционного полинома и его вид 5 Программа для нахождения интерполяционного полинома по формуле Лагранжа и результат её работы Другой способ реализации формулы Лагранжа Нахождение интерполяционного полинома по формуле Ньютона , , Вид интерполяционного полинома, полученного по формуле Ньютона Относительная погрешность интерполирования по формуле Лагранжа и её график (рисунок 1) 6 Рисунок 1 – График относительной погрешности формулы Лагранжа Из графика видно, что погрешности интерполирования достаточно велики. Ниже представлен совмещенный график исходной функции, узловых точек и интерполяционного полинома (рисунок 2). Рисунок 2 – Совмещённый график исходной функции, узловых точек и интерполяционного полинома Нахождение относительной погрешности интерполирования встроенной функцией linterp и график этой погрешности (рисунок 3) 7 Рисунок 3 – Погрешность функции linterp Из графика видно, что погрешности интерполирования достаточно велики. Найдём погрешность интерполяции встроенной функцией interp и построим её график (рисунок 4). Рисунок 4 – Погрешность функции interp Теперь добьёмся погрешности ниже 2% для формулы Лагранжа и функции linterp Создадим модель для функции Лагранжа 8 Создадим модель для функции linterp Построим графики (рисунки 5 и 6) Рисунок 5 – График погрешности оптимизированной функции Лагранжа 9 Рисунок 6 – График погрешности оптимизированной функции linterp Как видим, при n=12 полином Лагранжа уже достигает необходимой точности, а кусочно-линейной интерполяции для этого понадобилось 40 интервалов Вывод: В процессе работы были изучены различные методы восстановления исходной зависимости по точкам – интерполяции, от линейной до сплайн- интерполяции. В отличие от примера, в данном варианте для получения небольшой величины ошибки пришлось использовать намного больше интервалов, что говорит об индивидуальности каждого конкретного случая. Также возможность идти разными путями для достижения одной цели учит анализировать условие и подбирать для каждого тот вид метода поиска интерполирующей зависимости, который будет наиболее уместным в данном конкретном случае. |