Вебинар. Вебинар-1__2_10_теория_вероятностеи___bxvo. Подготовка к егэ2022 по математике "Школково", 20212022 учебный год
 Скачать 133.18 Kb.
|
|
Подготовка к ЕГЭ-2022 по математике • “Школково”, 2021–2022 учебный год Запуск интенсива по теории вероятностей 4 декабря Определение 1. Пусть у нас проходит некоторый эксперимент. В нём есть множе- ство элементарных исходов — в нашем случае будем рассматривать лишь конечное их количество. Каждому элементарному исходу присвоена вероятность, причём сум- ма всех вероятностей равна 1. Принято говорить, что тогда задано вероятностное пространство. Сразу отметим, что элементарные исходы несовместны, то есть не могут произойти одновременно. Определение 2. Событие вероятностного пространства — некоторое подмноже- ство его элементарных исходов. Простейший пример — бросание игрального кубика. Элементарные исходы — выпа- дение чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность выпадения каждого равна 1 6 1. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзамена- ционных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Ответ. 0,25 2. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Ответ. 0,52 Определение 3. Условной вероятностью события A при условии B называют отношение вероятности того, что события A и B произошли одновременно и вероят- ности события B. Здесь, конечно, вероятность B должна быть больше нуля. В виде формулы: P (A|B) = P (A ∩ B) P (B) 3. Игральную кость бросили два раза. Известно, что два очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события “сумма выпавших очков окажется равна 4”. Ответ. 0,08 4. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет нечетных чисел, а четные числа 2, 4 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одина- ковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик? Ответ. 0,2 В определении условной вероятности можно домножить на знаменатель и перепи- сать равенство по-другому: Подготовка к ЕГЭ-2022 по математике • “Школково”, 2021–2022 учебный год P (B) · P (A|B) = P (A ∩ B). Будем называть это равенство теоремой об умножении вероятностей. Определение 4. Скажем, что событие A не зависит от события B, если ве- роятность события A при условии события B равна вероятности события A. В виде формулы: P (A|B) = P (A). Если подставить в теорему об умножении вероятностей, мы получим привычное нам умножение: P (B) · P (A) = P (A ∩ B). 5. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно куплен- ное в магазине стекло окажется бракованным. Ответ. 0,019 6. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0, 3. На столе лежат 10 револьверов, из них только 3 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попав- шийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнется. Ответ. 0,55 7. В коробке 11 синих, 6 красных и 8 зеленых фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер? Ответ. 0,16 8. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных ге- патитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный резуль- тат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет поло- жительным. Ответ. 0,0545 9. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Ответ. 0,156 10. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неис- правен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Подготовка к ЕГЭ-2022 по математике • “Школково”, 2021–2022 учебный год Ответ. 0,9975 11. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не попадет в нее. Вероят- ность попадания при каждом отдельном выстреле равна p = 0,6. Найдите вероятность того, что стрелку потребуется ровно три попытки. Ответ. 0,096 |