Ккк. Показательная функция

• Название: Показательная функция
• Дата: 26.12.2022
• Размер: 95.5 Kb.
• Имя файла: pokazatelnaja_funkcija (1).doc
• Тип: Решение; #864454

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

Содержание темы «Показательная функция»
1.Степень с действительным и рациональным показателем:

2.Показательная функция, ее свойства и график

3.Показательные уравнения:

4.Показательные неравенства:


Основные свойства степени:

Определение:

а^х = а · а · а · ··· · а , где а^х –степень,

а – основание степени

х раз n – показатель степени

1. 
   а⁰ = 1 , а ≠ 0
   
2. 
   а^{-n = ,} а ≠ 0
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   
   
8. 
   
   
9. 
   
   

Показательная функция, её свойства и график
Определение: Функцию у=а^х, где а>0, а≠1, называют показательной функцией.

Свойство 1: Область определения показательной функции у=а^х – множество R всех действительных чисел.

Свойство 2: Множество значений показательной функции у=а^х – множество положительных чисел

Свойство 3: Показательная функция у=а^х является возрастающей, если а>1, и убывающей, если 0<а<1.

Решение показательных уравнений
Определение: Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.

Теорема: Если а^х=а^в, где а>0, а≠1, то х = в
Примеры
Пример 1: Упростить выражение:

1)

2)
Пример 2: Решить показательное уравнение:

4^х-8=64

Решение:

4^х-8=4³

х-8=3

х=3+8

х=11

Ответ :х=11

Пример 3: Решить показательное уравнение:

3^х+2+3^х=90

Решение:

3^х·3²+3^х=90 t=9

Пусть 3^х=t,t>0 3^х=9

t·3²+t=90 3^х=3²

9t+t=90 х=2

10t=90 Ответ: х=2

t=

t=9

Пример 4: Решить показательное уравнение:

2^х-1+2^х=6

Решение:

+2^х=6

Пусть 2^х=t,t>0 t=

+t=6 t=4

+t=6 2^х=4

2^х=2²

1t+2t=12 х=2

3t=12 Ответ: х=2

Пример 5 : Решить показательное уравнение:

3^х+1-4·3^х-2=69

Решение:

3^х·3¹-4· =69

Пусть 3^х=t,t>0 t=

t·3¹-4· =69 t=27

3t- =69 3^х=27

3^х=3³

27t-4t=621 х=3

23t=621 Ответ: х=3

Пример 6: Решить показательное уравнение:

9^х +8·3^х –9 = 0

Решение:

(3²)^х+8·3^х –9 = 0

(3^х)²+8·3^х –9 = 0

Пусть 3^х =t, t > 0

t² +8· t –9 =0

а=1, b=8, с=-9

t_{1,2= =}

t₁= t₂=

t₁= 1 t₂= -9, не уд., так как t>0

3^х = 1

3^х =3⁰

х=0

Ответ: х=0
Задание:
Вычислить:

а)

б)

в)
Упростить выражение:

а)

б)

Решить графически уравнение:

(построив графики функций левой и правой части уравнения на одном чертеже и определив точку их пересечения)
а)

б)
Решить показательное уравнение:

а)

б)

в)

г)