13 Распределение Молекул по скоростям. Положение о равномерном распределении молекул в пространстве и равномерном распределении их скоростей по всем направлениям называют
 Скачать 0.61 Mb.
|
3.3. Характерные скорости молекулВ этом разделе приводятся некоторые следствия, вытекающие из формул (3.29  ) и (3.30 ). В качестве примера на рис. 3.3 изображены две кривые, соответствующие распределениям f(v) молекул кислорода O2 по абсолютным величинам скоростей при температурах Т1 = 300 К и Т2 = 1 300 К. Рис. 3.3. Распределение молекул кислорода по скоростям при разных температурах T1 = 300 К и T2 = 1 300 К Наиболее вероятная скорость. При бесконечно малых и неограниченно больших значениях скоростей функция распределения стремится к нулю  то есть такие предельные значения скоростей маловероятны в системе. Следовательно, при каком-то значении скорости функция f(v) достигает своего максимума.
Ее можно найти, решая уравнение  откуда следует, что
Иными словами, наиболее вероятной называется скорость, вблизи которой на единичный интервал приходится наибольшее число молекул. В этой точке f(v) принимает максимальное значение:
Соотношения (3.31), (3.32) могут быть полезны для анализа изменения функции распределения при изменении температуры газа или при изменении рода газа, то есть массы молекул. Отметим, что как следует из (3.26) – (3.29), распределение Максвелла зависит не отдельно от массы молекул и отдельно от температуры газа, а от их отношения  . Поэтому распределение не только «буквенно» но и численно одно и тоже, например, для молекулярного водорода   при температуре  и для гелия   при температуре  .С ростом температуры наиболее вероятная скорость vВЕР (3.31) увеличивается, то есть максимум функции f(v) сдвигается вправо (см. рис. 3.3), Т2 > Т1. При этом f(vВЕР) уменьшается, то есть кривая становится более пологой. Так же деформируется кривая, если температура постоянна, но масса молекул уменьшается. Напомним, что при любых деформациях функции распределения f(v) площадь под кривыми постоянна и равна единице в соответствии с формулой (3.30 ).Относительное количество молекул, скорость которых превышает некоторое значение v0, определяется выражением
На графике (см. рис. 3.3) этому интегралу соответствует лежащая справа от v0 часть площади (отмечена штриховкой), ограниченная кривой f(v) и осью скоростей. Как видно из рис. 3.3, относительное количество молекул, имеющих скорости, превышающие v0, растет с повышением температуры. В заключение этого раздела заметим, что во всех формулах для функции распределения и характерных скоростей входит отношение массы молекулы к постоянной Больцмана  Умножая числитель и знаменатель на число Авогадро NA и учитывая, что  — молярная масса газа, a  — универсальная газовая постоянная, мы всюду можем использовать это отношение в наиболее удобной для конкретной задачи форме  Распределение молекул по величинам безразмерной скорости. Если при графическом изображении функции распределения Максвелла (3.29) по оси абсцисс откладывать скорости молекул v, то форма кривой и положение максимума будут зависеть от массы молекул и от температуры газа. Но если по горизонтальной оси откладывать отношение скорости к наиболее вероятной скорости, то есть безразмерную скорость  то для всех температур и любых масс молекул (любых газов) получится одна и та же кривая (рис. 3.4).  Рис. 3.4.Распределение Максвелла по величинам безразмерной скорости Сделав замену переменной в (3.29 ) и учитывая, что получим распределение Максвелла в форме
Эта формула и соответствующий ей график (см. рис. 3.4) удобны для решения многих задач. Пример. Найдем, какая часть общего числа молекул кислорода имеет при температуре 27 °С скорости, отличающиеся от наиболее вероятной не более, чем на 1 %; а также скорости в интервале 562–572 м/с. Произведем необходимые вычисления. Чтобы ответить на первый вопрос задачи, учтем, что u = 1 при v = vВЕР. Величина интервала du = 0,02. Следовательно,  Вычислим наиболее вероятную скорость:  Найдем отношение v = 562 м/с к vВЕР = 395 м/с  Определим по кривой (см. рис. 3.4) значение функции f(u) при u = 1,42. Получаем f(u) = 0,62. Ширина интервала Dv = 10 м/с(Du = 10/395 = 0,0253). Следовательно, доля молекул в этом интервале  Интересно отметить, что молекула кислорода проходит за секунду путь, равный в среднем 0,4 км. Но не нужно забывать о соударениях молекул. Из-за них молекула по прямой движется очень недолго, и ее путь представляет собой ломаную линию. Поэтому молекула, двигаясь с огромной скоростью по отдельным звеньям ломаной траектории, передвигается от слоя к слою газа со сравнительно небольшой скоростью. Средняя арифметическая скорость. Знание функции распределения молекул по скоростям f(v) дает возможность найти среднее значение скорости, а также любой величины, являющейся функцией скорости, например квадрата скорости v2 или кинетической энергии молекулы mv2/2.
Разобьем интервал всех возможных значений скорости от 0 до бесконечности на малые интервалы Dvi. Каждому интервалу соответствует количество молекул
Так как интервалы Dvi, малы, то можно приближенно считать скорости молекул данного интервала одинаковыми и равными vi. Сумма значений скоростей молекул интервала
Сумма значений скоростей всех молекул
Разделив эту сумму на число молекул, получим выражение для средней арифметической скорости
Переходя от суммы к интегралу, получаем
Вычисляя интеграл, получаем среднюю арифметическую скорость молекул
Среднеквадратичная скорость. Чтобы найти среднее значение произвольной функции L(v) скорости, нужно эту функцию умножить на функцию распределения и проинтегрировать по всем возможным значениям скорости:
В частности, при L(v) = v отсюда находится Среднее значение квадрата скорости равно отношению суммы квадратов скоростей всех молекул системы к общему числу молекул. Таким образом,
Следует отметить, что характерные скорости отличаются друг от друга лишь численными множителями, причем
а зависимость от Т и m0 (или m) у них одинаковая. Через среднеквадратичную скорость выражается средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул
Этот результат находится в согласии с формулой (1.14) кинетической теории идеальных газов и с законом о равнораспределении энергии, который гласит, что на каждую степень свободы молекулы приходится энергия kBТ/2. Три степени свободы поступательного движения молекулы как раз соответствуют полученному здесь результату (3.44). В сущности, именно для того, чтобы получить такое соответствие, мы выбрали должным образом коэффициент α в (3.26  ).Эксперимент по проверке распределения Максвелла. Необходимо еще раз подчеркнуть, что установленный Максвеллом закон распределения молекул по скоростям и все вытекающие из него следствия справедливы только для газа, находящегося в равновесии. Закон справедлив для любого числа молекул N, если только это число достаточно велико. Закон Максвелла — статистический, а законы статистики выполняются тем точнее, чем к большему числу одинаковых объектов они применяются. При малом числе объектов могут наблюдаться значительные отклонения от предсказанной статистики — флуктуации. Экспериментальное определение распределения скоростей молекул было осуществлено впервые О. Штерном в 1920 г. Исследовалось распределение по скоростям одноатомных молекул паров металлов (Ag или Pt), из которых была изготовлена нить, расположенная на оси двух цилиндров. Нить нагревалась электрическим током, и металл испарялся (см. рис 3.5).  Рис. 3.5 Схема опыта Штерна: 1 — вид установки сбоку; 2 — вид установки сверху Молекулы, прошедшие через щель во внутреннем цилиндре, летели по прямой и оседали на стенке холодного внешнего цилиндра. Если привести всю установку во вращение (щель все время против точки В0), то молекулы, обладающие большой скоростью v, попадут в некоторую точку вблизи В0, а более медленные затратят на путь больше времени и попадут в точки, отстоящие дальше от В0. Следует обратить внимание, что вылетающие молекулы движутся по прямой, они не участвуют во вращательном движении. Поскольку молекулы в зависимости от скорости попадают в разные точки внешнего цилиндра, то исследуя толщину слоя металла, осевшего на его стенку, можно составить представление о распределении молекул по скоростям. Найдем распределение молекул по расстояниям S от точки В0 до места их попадания на стенку цилиндра. Если R и r —радиусы большого и малого цилиндров, соответственно (см. рис.), то время полета от щели до стенки цилиндра  За это время цилиндр повернется на угол  где ω — угловая скорость вращения установки. Соответственно, точка попадания будет смещена относительно В0 на расстояние  Подставляя сюда время полета, получаем связь скорости молекулы с расстоянием S:  Подставляя, в свою очередь, полученное выражение в распределение Максвелла и учитывая, что  находим распределение молекул по расстояниям S:  (мы опускаем выражение для нормировочной постоянной С). Опыты Штерна подтвердили справедливость закона, установленного Максвеллом. 3.4. Распределение молекул по координатам В этом разделе мы перейдем теперь к анализу распределения молекул газа по координатам. Очевидно, что если на молекулы газа не действуют внешние силы, то, в состоянии термодинамического равновесия, газ равномерно распределен по заданному объему. В этом случае давление и плотность газа одинаковы во всех точках. Если же газ находится в силовом поле (как, например, атмосферный воздух, который испытывает притяжение Земли), то давление и плотность газа уже не будут всюду одинаковыми, а будут меняться от точки к точке. Видео 3.4. Распределение молекул газа по высоте сосуда, находящегося в однородном поле тяжести. Барометрическая формула. Найдем закон, по которому изменяется давление атмосферы (или плотность воздуха) по мере удаления от поверхности Земли. Выделим вертикальный столб воздуха с площадью горизонтального сечения S. Предположим, что этот столб находится в тепловом равновесии, то есть температура везде одинакова (в реальной атмосфере это не так, но для простоты анализа будем предполагать Т = const); газ идеальный, то есть для него справедливо уравнение Клапейрона — Менделеева  можно пренебречь изменением ускорения свободного падения g с высотой (что справедливо для не очень больших высот). Атмосферное давление на высоте h обусловлено весом вышележащих слоев газа. Пусть на высоте h давление р,тогда на высоте h + dh давление р + dp (рис. 3.6). При этом, если dh > 0, то давление уменьшается, dp < 0, так как уменьшается вес вышележащих слоев атмосферы.  Рис. 3.6.Вертикальный воздушный цилиндр (к выводу барометрической формулы) Выделенный слой газа, высотой dh и массой m, находится в равновесии. Следовательно, сумма действующих на него сил равна нулю:  В проекции на вертикальную ось получаем
где r — плотность газа на высоте h. Раскрывая скобки иприводя подобные члены, переходим к уравнению
Воспользуемся уравнением Клапейрона — Менделеева для выделенной массы газа m и выразим плотность через давление:
Подставляя (3.47) в (3.46), окончательно получаем
Это уравнение можно проинтегрировать в случае изотермической атмосферы (Т = const):
Видео 3.5. Барометрическая формула: язычок пламени в роли весьма чувствительного индикатора убывания давления с высотой. Постоянная интегрирования р0равна давлению на поверхности (h = 0). Полученная зависимость называется барометрической формулой. Она описывает распределение давления газа по высоте в однородном поле тяжести при постоянной температуре. Следует обратить внимание на то, что распределение зависит от рода газа. Чем меньше m, тем меньше по абсолютной величине показатель степени, и тем медленнее для такого газа уменьшается давление при увеличении высоты. На рис. 3.7 показаны зависимости давления от высоты при температуре Т = 300 К (27 °С) для трех газов различной молярной массы — водорода Н2 (m1 = 2,016 г/моль), азота N2 (m2 = 28,013 г/моль) и кислорода 02 (m3 = 31,999 г/моль).  Рис. 3.7. Зависимость давления трех разных газов Н2, N2 и O2 от высоты Пример. Определим, на какой высоте давление кислорода уменьшается в два раза (при Т = 300 К). Применяем барометрическую формулу.  Тогда  откуда  Используя уравнение идеального газа в форме
из барометрической формулы легко получить закон изменения с высотой числа n молекул в единице объема:
Из (3.51) следует, что состав воздуха с ростом высоты будет меняться количественно: возрастет концентрация газов с малой молярной массой, например водорода и гелия. У поверхности воздух представляет собой смесь газов: N2 — 78,08 %, O2 — 20,95 %, СO2 — 0,03 %, инертные газы — 0,94 %. Посмотрим, как изменится отношение концентраций кислорода и азота в изотермической атмосфере (Т = 300 К) на высоте 10 км.  Отношение концентраций кислорода и азота уменьшится от 0,27 до 0,23. Наш расчет справедлив лишь для изотермической атмосферы и сравнительно небольших высот, для которых ускорение свободного падения изменяется незначительно: g = const, T = const. Распределение Больцмана. Число молекул в единице объема зависит от высоты h и температуры Т, причем обе переменные входят в показатель экспоненты. Уравнение (3.51) можно записать в виде
где kB — масса одной молекулы газа. При этом выражение m0gh,стоящее в числителе, есть не что иное, как потенциальная энергия одной молекулы в поле тяжести Земли. Поэтому можно говорить, что мы имеем распределение молекул по значениям потенциальной энергии. При этом чем больше потенциальная энергия, тем меньше таких молекул. В знаменателе показателя степени стоит kBТ — величина, пропорциональная средней энергии теплового движения молекулы. Чем выше температура, то есть чем больше энергия теплового движения молекул, тем экспоненциальный множитель, пропорциональный концентрации молекул, с ростом высоты убывает медленнее. На рис. 3.8 показаны кривые относительной концентрации молекул кислорода O2на разных высотах при двух различных температурах Т1 = 300 К и Т2 = 1 300 К (последний случай, конечно, нереален и используется лишь как иллюстрация).  Рис. 3.8. Зависимость относительной концентрации молекул кислорода от высоты при разных температурах T1 = 300 K и T2 = 1 300 K Видно, что число частиц в единице объема при большей температуре медленнее убывает с высотой. При уменьшении температуры большая часть частиц располагается на меньшей высоте. А при Т = 0 все частицы расположились бы на поверхности Земли. Этот факт имеет простое физическое объяснение. Каждое конкретное распределение молекул по высоте устанавливается в результате действия двух тенденций: притяжение молекул к Земле, характеризуемое потенциальной энергией m0gh, стремится расположить их на поверхности Земли; тепловое движение, характеризуемое энергией kBТ, стремится разбросать молекулы по всем высотам равномерно. Обозначив Ер = m0gh, получим
то есть концентрация молекул больше там, где меньше их потенциальная энергия. Частицы будут с большей вероятностью располагаться в тех точках пространства, где потенциальная энергия меньше. Больцман доказал, что такое распределение осуществляется в поле любых сил, а не только в гравитационном поле. Поэтому распределение (3.53), где n — концентрация частиц с потенциальной энергией Ерназывается распределением Больцмана. |
