Городнова А.В.. Понятие цилиндра Рассмотрим две параллельные плоскости a и и окружность
![]()
|
§ ![]() Понятие цилиндра Рассмотрим две параллельные плоскости a и и окружность L с центром Oрадиуса r, расположенную в плоскости (рис. 135). Через каждую точку окружности L проведём прямую, перпендикулярную к плоскости . Отрезки этих прямых, заключенные между плоскостями и , образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки называются образующими цилиндрической поверхности (на рис. 135 изображены образующие АА1 , ММ1 и др.). По построению концы образующих, расположенные в плоскости , заполняют окружность L. Концы же образующих, расположенные в плоскости , заполняют окружность L1 с центром О1 радиуса r, где О1 точка пересечения плоскости ![]() Справедливость этого утверждения следует из того, что множество концов образующих, лежащих в плоскости , получается из окружности L параллельным переносом на вектор ![]() ![]() ![]() Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами Lи L1 , называется цилиндром (см. рис 135). Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги основаниями цилиндра. Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, а прямая ОО1 осью цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны друг к другу как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями и . Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания радиусом цилиндра. Ц ![]() Рассмотрим сечения цилиндра различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник (рис. 137), две стороны которого образующие, а две другие диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым. Е ![]() Замечание На практике нередко встречаются предметы, которые имеют форму более сложных цилиндров. На рисунке 139, изображен цилиндр, каждое основание которого представляет собой фигуру, ограниченную частью параболы и отрезком. На рисунке 139, б изображен цилиндр, основаниями которого являются круги, но образующие цилиндра не перпендикулярны к плоскостям оснований (наклонный цилиндр). Однако в дальнейшем мы будем рассматривать только такие цилиндры, которые были определены в этом пункте. Их называют иногда прямыми круговыми цилиндрами. Площадь поверхности цилиндра ![]() А На рисунке 140, изображен цилиндр. Представим себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей АВ и развернули таким образом, что все образующие оказались расположенными в некоторой плоскости (рис. 140, б). В результате в плоскости получится прямоугольник АВВ’А’. Стороны АВ и А’В’ прямоугольника представляют собой два края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей АВ. Этот прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра. Основание АА’ прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра, а высота АВобразующей цилиндра, поэтому АА’= 2r, АВ=h, где rрадиус цилиндра, hего высота. ![]() a) За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь её развёртки. Т ![]() АА’*AB=2rh, то для вычисления площади Sбок боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получится формула Sбок=2rh. И ![]() Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Так как площадь каждого основания равна r2, то для вычисления площади Sцил полной поверхности цилиндра получаем формулу ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() окружность б) рис. 140 2r A’ B’ h A B h В Sцил=2r(r+h). |