ток. Постоянный ток. Постоянный электрический ток основные характеристики постоянного тока

• Название: Постоянный электрический ток основные характеристики постоянного тока
• Дата: 25.03.2022
• Размер: 182.71 Kb.
• Имя файла: Постоянный ток.pdf
• Тип: Глава; #417042

Глава 5. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
5.1. Основные характеристики постоянного тока
Электрический ток – направленное движение заряженных частиц под действием электрического поля.
Носители тока в проводниках – электроны. В проводящих растворах ток образуют ионы, в газах – ионы и электроны.
За направление тока принимают направление движения положительных зарядов, поэтому направление тока в металлах противоположно движению электронов. Линиями тока называют линии, вдоль которых движутся заряды.
Сила тока – величина, равная заряду, переносимому носителями тока че- рез поперечное сечение проводника в единицу времени.
Единица силы тока в СИ – ампер [А].
Ток, не меняющийся со временем по направлению и величине, называет- ся постоянным током. Сила постоянного тока I равна
t
q
I 
Если сила тока зависит от времени, то мгновенное значение силы тока i определяют по формуле:
t
q
i
d d

, где dq – бесконечно малый заряд, проходящий через проводник за бесконечно малый промежуток времени dt.
Плотностью тока j называется отношение силы тока через расположен- ную в данной точке перпендикулярную к направлению движения носителей площадку S

к величине этой площадки


S
I
j
d d
Плотность тока – векторная величина. За направление вектора плотности тока принимают направление движения положительных зарядов.

Постоянный электрический ток
2
Единицей плотности тока в СИ является A/м
2
. На практике плотность то- ка чаще измеряют в A/мм
2
Зная вектор плотности тока в каждой точке проводника, можно найти си- лу тока I через любую поверхность S (рис. 5.1):







S
n
S
S
S
j
S
j
S
j
I
d d
cos d


, где  - угол между вектором
j

и нормалью
n

к dS, j
n
– составляющая вектора
j

по направлению нормали к dS.
Если проводники имеют различное сечение, то плотность тока по всей длине проводника будет различ- ной, а сила тока на всем протяжении проводника будет одинакова.
5.2. Электродвижущая сила и напряжение
Если к заряженному конденсатору подключить лампочку, то она через небольшой промежуток времени погаснет. Это произойдет потому, что за счет движения зарядов во внешней цепи потенциалы обкладок сравняются, и раз- ность потенциалов между обкладками будет равна нулю.
Чтобы в цепи длительное время существовал ток, необходимо на опреде- ленном участке цепи поддерживать разность потенциалов, т.е. совершать рабо- ту против сил электрического поля. Так как работа электростатических сил на замкнутом пути равна нулю, то необходимы сторонние силы. Роль сторонних сил могут играть силы любой природы, кроме электростатических сил. Напри- мер, в гальваническом элементе роль сторонней силы играет энергия химиче- ской реакции.
Электродвижущей силой (ЭДС)  называется работа сторонних сил A
ст по перемещению единичного положительного заряда q вдоль замкнутой цепи:
q
A
ст


Единицей ЭДС является вольт:
n
J
 dS
Рис. 5.1. Вектор плотности тока

Постоянный электрический ток
3
В
Кл
Дж
]
[



Работа сторонних сил по перемещению заряда q вдоль замкнутой цепи равна




l
E
q
l
F
A




d d
ст ст ст
, где ст
F

– сторонняя сила, l

d – перемещение заряда, ст
E

– напряженность поля сторонних сил.
ЭДС, действующая в цепи:




l
E
q
A


d ст ст
Иными словами, ЭДС, действующая в замкнутой цепи, равна циркуляции вектора напряженности поля сторонних сил.
Участок 1 – 2 электрической цепи (рис. 5.2), содержа- щий ЭДС, называется неоднородным участком цепи.
На заряд q на данном участке цепи действуют как сто- ронние силы F
ст
, так и силы электростатического поля F
е
:
)
(
ст е
ст
E
E
q
F
F
F









Работа результирующей силы
F

на участке 1–2 равна
)
(
d d
2 1
12 2
1 2
1
ст
12










q
q
l
E
q
l
E
q
A




где 
12
– ЭДС, действующая на участке 1–2.
Напряжением (падением напряжения) U
12
на участке цепи 1–2 называет- ся физическая величина, численно равная сумме работ электростатических и сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда:
12 2
1 12






U
. (5.1)
Итак, ЭДС представляет собой работу сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда, разность потенциалов равна работе элек- тростатических сил, а напряжение является их суммой.

1

2

1 2
R
r
Рис. 5.2

Постоянный электрический ток
4
Однородным называется участок цепи, на котором не действует ЭДС.
Напряжение U
12
на однородном участке цепи совпадает с разностью потенциа- лов на концах участка:
2 1
12




U
5.3. Закон Ома для однородного участка цепи
Согласно закону, установленному Омом, сила тока, текущего по провод-
нику, пропорциональна падению напряжения U на проводнике и обратно про-
порционально сопротивлению проводника R:
R
U
I 
. (5.2)
Сопротивление измеряется в омах (Ом). Сопротивление 1 Ом имеет такой проводник, в котором при напряжении 1 В течет ток силой 1 А.
Сопротивление проводника зависит от его размеров и материала, из ко- торого он изготовлен:
S
l
R


, где l – длина проводника; S – площадь поперечного сечения;  – удельное со- противление.
Удельное сопротивление – это сопротивление проводника единичной длины и единичного сечения. Удельное сопротивление зависит от материала проводника и его температуры. Единицей удельного сопротивления проводни- ка в СИ является (Омм).
Для большинства металлов удельное сопротивление растет с температу- рой приблизительно по линейному закону:
)
1
(
0
t





, где 
0
– удельное сопротивление при 0С, t – температура по шкале Цельсия,
1/273 К
-1
– температурный коэффициент сопротивления. Переходя к абсо- лютной температуре, получаем
T




0

Постоянный электрический ток
5
У ряда металлов и сплавов при температуре несколько кельвин, сопро- тивление скачком обращается в нуль (рис. 5.3). Это явление называют сверх-
проводимостью. Сверхпроводимость была обнаружена в 1911 г. Камерлинг-
Оннесом для ртути. В дальнейшем сверхпроводимость была обнаружена у свинца, олова, цинка, алюминия и других метал- лов и сплавов. Для каждого сверхпроводника имеется своя критическая температура T
к
, при которой он переходит в сверхпроводящее со- стояние. Сверхпроводимость объясняется тем, что при низких температурах тепловая энергия электрона меньше кванта энергии, и она уже не может перейти в тепло.
5.4. Закон Ома в дифференциальной форме
Закон Ома можно написать в дифференциальной форме, т.е. для малой части проводника. Выделим в окрестности данной точки внутри проводника элементарный цилиндри- ческий объем с образующими параллельными векто- ру плотности тока
j

в данной точке. Через попереч- ное сечение цилиндра течет ток силой jdS. Напряже- ние, приложенное к цилиндру, равно Edl, где E – напряженность поля в данном месте. Сопротивление цилиндра равно
S
l
R
d d


. Подставим эти значения в формулу закона Ома, тогда
l
E
l
S
S
j
d d
d d



Носители заряда в каждой точке движутся в направлении вектора
E

. По- этому, направления векторов
E

и
j

совпадают. Следовательно,
E
E
j







1
, (5.3)
0
T
к
T

Рис. 5.3. Зависимость удельного сопротивления металлического проводника от температуры dl
J
E
dS
Рис. 5.4. Элементарный цилиндрический объем

Постоянный электрический ток
6
где



1
– удельная проводимость.
Формула (5.3) выражает закон Ома в дифференциальной форме.
5.5. Закон Джоуля – Ленца. Работа и мощность тока
При прохождении по проводнику тока проводник нагревается. Джоуль и независимо от него Ленц обнаружили экспериментально, что количество выде- ляющегося в проводнике тепла Q пропорционально квадрату силы тока I, его сопротивлению R и времени t:
Rt
I
Q
2

. (5.4)
Если сила тока изменяется во времени, то


t
t
R
i
Q
0 2
d
. (5.5)
Закон Джоуля – Ленца имеет следующее объяснение. Рассмотрим про- водник, к которому приложено напряжение U. За время dt из одного конца про- водника в другой конец переносится заряд dq  idt. При этом силы поля совер- шают работу dA  Udq  Uidt. Но U  iR (в соответствии с законом Ома), следо- вательно,
t
R
i
t
iU
A
d d
d
2


, (5.6) откуда следует, что


t
t
R
i
A
0 2
d
. (5.7)
Выражение (5.7) совпадает с формулой закона Джоуля – Ленца. Таким образом, нагревание проводника происходит за счет работы, совершаемой си- лами электрического поля над носителями заряда.
Работа тока, изменяющегося со временем, определяется по формуле (5.7).
Для постоянного тока работа равна:
IUt
Rt
I
A


2
Единица работы электрического тока – джоуль (Дж).
Работа, совершаемая источником ЭДС, равна

Постоянный электрический ток
7
It
A


Мощность P постоянного тока – это физическая величина, равная отно- шению работы, совершаемой током за время dt, к этому интервалу времени:
t
A
P
d d

. (5.8)
Подставив формулу (5.6) в (5.8) и заменив i на I, получим
R
U
R
I
IU
P
2 2



На практике для измерения работы и энергии электрического тока часто используют единицу - киловаттчас (кВтчас); 1 кВтчас = 3,610 6
Дж.
5.6. Закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме
Формулы (5.4) и (5.5) позволяют определить количество тепла, выде- ляющееся во всем проводнике.
Получим выражение, характеризующее выделение тепла в различных местах проводника. Рассмотрим элементарный объем внутри проводника
(рис. 5.4). Согласно закону Джоуля – Ленца за время dt в этом объеме выделит- ся тепло
t
V
j
t
S
j
S
l
t
Ri
Q
d d
d
)
d
(
d d
d d
2 2
2






, где
l
S
V
d d
d

– величина элементарного объема.
Количество тепла dQ, отнесенное к единице времени и единице объема называ- ется удельной тепловой мощностью тока w. С учетом этого определения полу- чаем
2
j
w


. (5.9)
Воспользовавшись соотношением (5.3), формуле (5.9) можно придать вид
jE
w 
. (5.10)
Формулы (5.9) и (5.10) выражают закон Джоуля – Ленца в дифференци- альном виде. Чтобы, исходя из них, найти количество тепла, выделяющееся во всем проводнике за время t, нужно произвести интегрирование выражения


t
V
w
Q
d d

Постоянный электрический ток
8
5.7. Закон Ома для неоднородного участка цепи
Ранее мы получили формулу для напряжения на участке цепи 1–2 (5.1).
В соответствии с законом Ома для однородного участка цепи U
12
 IR, следова- тельно
12 2
1






IR
, (5.11) то есть произведение силы тока на сопротивление равно сумме разности по-
тенциалов и ЭДС, действующей на данном участке цепи. Это утверждение вы- ражает закон Ома для неоднородного участка цепи.
Формула (5.11) может быть записана в виде
R
I
12 2
1
)
(






. (5.12)
На рис. 5.5 показан неоднородный участок цепи. Ус- ловимся считать ток положительным, если он течет в направлении, показанном стрелкой. ЭДС будем счи- тать положительной, если ток внутри источника течет от отрицательного полюса источника к положительному полюсу. На рис. 5.5 ЭДС имеет отрицательный знак. Пусть 
1
 20 В; 
2
 15 В; 
12
 10 В;
R  5 Ом. Подставим заданные значения в формулу (5.12):
А
1 5
10 15 20





I
Для тока получилось отрицательное значение. Это означает, что ток течет в направлении 2–1. Из формулы (5.12) следует закон Ома для однородного участка цепи и закон Ома для замкнутой цепи.
Для однородного участка цепи 
12
 0,
R
U
R
I





2 1
Для замкнутой (полной) цепи
0 2
1




,
R
I
12


,

1

2

12 1
2
R
Рис. 5.5
-
+
(I >0)

Постоянный электрический ток
9
где н
0
R
r
R


– суммарное сопротивление цепи (r
0
– внутреннее сопротивление источника, R
н
– сопротивление нагрузки).
5.8. Правила Кирхгофа
С помощью правил Кирхгофа можно рассчитывать сложные разветвлен- ные цепи.
Первое правило Кирхгофа относится к узлу цепи. Узлом цепи называется точка, в которой сходится более двух проводников (рис. 5.6).
Первое правило Кирхгофа формулируется следующим образом: алгеб-
раическая сумма токов, сходящихся в узле цепи, равна нулю.
Это правило является следствием того, что при протекании тока по про- воднику, в проводнике не накапливается электрический заряд, проводник оста- ется электрически нейтральным.
Формула, выражающая первое правило Кирхгофа, записывается следую- щим образом:

 0
k
I
Чтобы применить первое правило Кирхгофа, нужно задать произвольно направления токов, текущих к данно- му узлу и от узла. Ток, текущий к узлу, считается поло- жительным, а ток, текущий от узла – отрицательным.
Второе правило Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на
элементах контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в контуре:




k
k
k
R
I
Контуром называется замкнутый фрагмент цепи. Чтобы написать урав- нение по второму правилу Кирхгофа, нужно задать произвольно направление обхода контура и учесть направления токов, текущих в ветвях контура к узлам
(направления токов мы задаем при составлении уравнения по первому правилу
Кирхгофа). Если направление обхода контура совпадает с направлением тока, то падение напряжения IR берут со знаком плюс, в противном случае падение напряжения имеет отрицательный знак. ЭДС имеет положительный знак, если
I
1
I
3
I
2
Рис. 5.6 Узел цепи

Постоянный электрический ток
10
она действует по направлению обхода контура и отрицательный знак в противном случае.
Напишем уравнения в соответствии с прави- лами Кирхгофа, для электрической цепи, показан- ной на рис. 5.7. Цепь содержит два узла B и E и три контура: ABED, BCFE, ACFD. ЭДС источников и сопротивления ветвей заданы. Требуется рассчитать токи I
1
, I
2
, I
3
, текущие в ветвях цепи.































3 2
1 3
2 3
3 2
2 2
1 2
2 1
1 3
2 1
0
I
I
I
R
I
R
I
R
I
R
I
I
I
I
. (5.13)
Решив систему уравнений (5.13), например, методом определителей, най- дем значения токов, текущих в ветвях цепи. Если ток имеет отрицательное зна- чение, то это означает, что в действительности ток будет течь противополож- ном направлении.
5.9. Распределение мощности в цепи постоянного тока
Электрическая цепь состоит, как правило, из источника ЭДС, соедини- тельных проводов и потребителя тока (нагрузки).
Рассмотрим, как распределяется мощность тока между элементами цепи. Если пренебречь сопротив- лением соединительных проводов, то закон Ома для замкнутой цепи, показанной на рис. 5.7, можно запи- сать в виде:
R
r
I



, где r – внутреннее сопротивление источника, R – сопротивление нагрузки.
Напряжение на нагрузке равно
R
r
R
IR
U





1
Рис. 5.7. Схема цепи
R
1
+
-

2
R
2
+
-
-
+

3
R
3
A
B
C
D
E
F
I
1
I
2
I
3

r
Рис. 5.7. Замкнутая электрическая цепь
R

Постоянный электрический ток
11
Поскольку работа, совершаемая над переносимым вдоль цепи зарядом dq, равна dA   dq, то мощность P, развиваемая источником ЭДС равна
I
t
q
t
A
P





d d
d d
Подставив в эту формулу значение
R
r
I



, получим полную мощность, выделяемую во всей цепи
R
r
P



2
. (5.14)
В нагрузке выделяется только часть этой мощности P
н
:
R
R
r
R
I
IU
P
2 2
2
н
)
( 




, (5.15) которая называется полезной мощностью.
Отношение полезной мощности P
н к полной мощности P определяет ко- эффициент полезного действия (КПД)  цепи:
R
r
R
P
P




н
. (5.16)
Из формулы (5.16) следует, что КПД будет тем больше, чем больше со- противление нагрузки R по сравнению с сопротивлением источника r. Поэтому внутреннее сопротивление источника стремятся делать как можно меньше.
Мощность, развиваемая данным источником ЭДС, зависит от сопротив- ления нагрузки R. Она максимальна в режиме короткого замыкания цепи (R0), но в этом случае вся мощность выделяется в самом источнике и оказывается бесполезной. С ростом сопротивления нагрузки R полная мощность убывает, стремится к нулю при


R
. Режим цепи, при котором


R
, называется
режимом холостого хода.
Найдем соотношение между R и r, при котором полезная мощность бу- дет наибольшей. Для этого найдем производную
R
P
н
d d
и приравняем ее к нулю:
3 2
)
(
d d
R
r
R
r
R
P
н




,

Постоянный электрический ток
12
r
R
R
r
R
r






0
)
(
3 2
Следовательно, чтобы отобрать от источника ЭДС наибольшую полез- ную мощность, нужно взять сопротивление нагрузки R равное внутреннему со- противлению источника r. Режим работы электрической цепи, при котором
сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника, назы-
вают режимом согласования источника и нагрузки. Согласно формуле (1.9)
КПД в режиме согласования источника и нагрузки составляет 0,5. На рис.5.8 приведены графики зависимости функций (5.14), (5.15) и (5.16) от отношения сопротивлений R/r.
1 2 3 4 5 0
R/r
P
1 2 3 4 5 0
R/r

0,5 1
1 2 3 4 5 0
R/r
P
н
Рис. 5.8 Зависимости полной мощности (а), полезной мощности (б) и КПД цепи (в) от отношения сопротивлений нагрузки R и внутреннего сопротивления r источника
а)
б)
в)