мми. ММИ1 24В. Практическая работа 1 Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау) методом итераций
 Скачать 84.88 Kb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРЕГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра: «Инженерная графика» Практическая работа №1 «Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом итераций» Дисциплина: «Методы моделирования и исследования» Работу выполнил: Студент группы ЗПТ-1-19 Северьянова Л.Н. Руководитель: Гимадиев Р. Ш. Казань 2021 Теоретические положения Пусть дана система уравнений (1)учитывая  (1) преобразуется к виду , (2)здесь  - числовая квадратная матрица  -го порядка  - заданный вектор,  . Выбирается произвольный вектор  (начальное приближение) и строится итерационная последовательность векторов по формуле  (3)Теорема 1. Если  , то система уравнений (2) имеет единственное решение  и последовательные приближения (3) сходятся к решению со скоростью геометрической прогрессии.Доказательство. Пусть - решение, тогда  , (4)тогда для нормы имеем оценку  , , поскольку  , то  (5)Из (2) однородной системы при    вытекает единственное решение, а следовательно, существование и единственное решение систем (2) и (1) при любом .Пусть  , где -решение системы (2). Вычитая (4)-(3) получаем  (6)т.е.  , следовательно  , где  -  - ая степень матрицы ,  - погрешность - ой итерации. , (7)т.е. норма погрешности  не медленнее геометрической прогрессии со знаменателем  Из выражения (7) определяется число необходимых итераций при решении для достижения заданной точности   . (8)Первая и вторая норма матрицы ( ) вычисляются по формулам ,  . (9) Если хотя бы одна из норм меньше единицы, то итерационный процесс сходится. Рабочее задание. 24 Вариант Методом простой итерации решить систему линейных уравнений с точностью до 0,001, предварительно оценив число необходимых для этого шагов  Система уравнений имеет вид Пусть - точное решение,  - -ое приближение  - погрешность нулевого приближения. За погрешность  принимается норма столбца  . А первая норма основной матрицы составляет ,итерационный процесс сходится.    k< При k> 90 достигается точность  и итерации производятся по формуле  в таблице 1При  примем При k=1  и далееТаблица
Сходимость в тысячных долях имеет место уже при k=11 Результаты 11 итерации округляем до 0,001 Ответ:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
