Практическая работа 13. Координаты вектора. Решение задач на опр. Практическая работа 13. Координаты вектора. Решение задач на определение координат вектора
![]()
|
Практическая работа №13. Координаты вектора. Решение задач на определение координат вектора Рассмотрим координатную плоскость и в ней единичные векторы i и j, которые сонаправлены осям координат, и длина которых равна единичному отрезку: ![]() Эти векторы называются базисными. Тогда любой вектор мы можем представить в виде линейной комбинации базисных векторов: ![]() Мы видим, что ![]() ![]() ![]() ![]() Для произвольного вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Координаты векторов на рисунке выше: ![]() ![]() ![]() ![]() Внимание! При записи координат вектора мы всегда на первом месте пишем коэффициент при i, а на втором месте коэффициент при j. Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены. Два равных вектора имеют одинаковые координаты. Мы видим, что ![]() Если начало вектора совпадает с началом координат, то координаты вектора совпадают с координатами его конца: ![]() ![]() ![]() Если вектор ![]() ![]() ![]() ![]() Два вектора называются противоположными, если они имеют одинаковую длину, лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны: ![]() Противоположные векторы имеют противоположные координаты: ![]() ![]() При умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число: Если ![]() ![]() Если число k>0, то векторы ![]() ![]() ![]() ![]() Если число k<0, то векторы ![]() ![]() ![]() ![]() Вектора, которые лежат на параллельных прямых, называются коллинеарными. Если вектора ![]() ![]() ![]() При вычитании векторов их координаты вычитаются: Если ![]() ![]() ![]() ![]() При сложении векторов их координаты складываются: Если ![]() ![]() ![]() ![]() Пример. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Длина вектора ![]() ![]() Если вектор ![]() ![]() ![]() ![]() С помощью этой же формулы находится длина отрезка ![]() ![]() ![]() Если точка ![]() ![]() ![]() Скалярным произведением векторов ![]() ![]() ![]() Скалярное произведение векторов ![]() ![]() ![]() Если мы приравняем правые части выражений для скалярного произведения, мы получим формулу для нахождения косинуса угла ![]() ![]() ![]() ![]() Выразим длины векторов через их координаты и получим формулу, выражающую косинус угла между векторами через координаты векторов: ![]() Рассмотрим примеры решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике: Пример 1 . Вектор ![]() ![]() ![]() ![]() Отсюда: ![]() ![]() ![]() ![]() Сумма координат точки В равна ![]() Ответ: 21. Пример 2. Даны вектора ![]() ![]() ![]() Найдите: 1. Сумму координат вектора ![]() 2. Квадрат длины вектора ![]() 3. Скалярное произведение векторов ![]() ![]() 4. Угол между векторами ![]() ![]() 1. Найдем координаты векторов ![]() ![]() ![]() Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала: Координаты вектора ![]() Координаты вектора ![]() Координаты вектора ![]() ![]() ![]() ![]() Сумма координат вектора ![]() Ответ: 20. 2. Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат, поэтому квадрат длины вектора ![]() ![]() Ответ: 200. 3.Скалярное произведение векторов ![]() ![]() ![]() Ответ: 40. 4. Косинус угла ![]() ![]() ![]() ![]() Отсюда ![]() Ответ: ![]() |