Координаты вектора
 Скачать 387.5 Kb.
|
|
Координаты вектора Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Определим понятие координат вектора. Для этого отложим вектор так, чтобы его начало совпало с началом координат. Тогда координаты его конца называются координатами вектора. Обозначим векторы с координатами (1, 0), (0, 1) соответственно. Их длины равны единице, а направления совпадают с направлениями соответствующих осей координат. Будем рисовать эти векторы, отложенными от начала координат и называть их координатными векторами. Теорема Теорема. Вектор имеет координаты (x, y) тогда и только тогда, когда он представим в виде Доказательство. Отложим вектор от начала координат, и его конец обозначим через А. Имеет место равенство Точка А имеет координаты (x, y) тогда и только тогда, когда выполняются равенства и, значит, Пример 1 Даны три вершины параллелограмма O(0, 0), A(2, 1), B(1, 3). Найдите координаты четвертой вершины C, если известно, что они положительны. Решение: Координаты вершины C равны координатам вектора , который равен сумме векторов и . Эти векторы имеют координаты (2, 1) и (1, 3) соответственно. Следовательно, вектор имеет координаты (3, 4), а значит, вершина C также имеет координаты (3, 4). Пример 2 Выразите длину вектора , если точки А1, А2 имеют координаты (x1, y1), (x2, y2). Решение: Длина вектора равна длине отрезка А1А2. Используя формулу длины отрезка, получаем Упражнение 1 Ответ: а) (–2, 6); Назовите координаты векторов: а) б) в) г) б) (1, 3); в) (0, -3); г) (-5, 0). Упражнение 2 Ответ: (5, -2). Найдите координаты вектора , если точки A1, A2 имеют координаты (-3, 5), (2, 3) соответственно. Упражнение 3 Выразите длину вектора через его координаты (x, y). Ответ: Упражнение 4 Ответ: (5, -6). Найдите координаты точки N, если вектор имеет координаты (4, -3) и точка M – (1, -3). Упражнение 5 Ответ: а) (-7, 9); Найдите координаты вектора , если: а) A (2, -6), B (-5, 3); б) A (1, 3), B (6, -5); в) A (-3, 1), B (5, 1). б) (5, -8); в) (8, 0). Упражнение 6 Ответ: (-a, -b). Вектор имеет координаты (a, b). Найдите координаты вектора . Упражнение 7 Ответ: (-2, 0). Даны три точки А(1, 1), В(-1, 0), С(0, 1). Найдите такую точку D(x, y), чтобы векторы и были равны. Упражнение 8 Ответ: (1, 3) и (1, -3). Найдите координаты векторов и , если (1, 0), (0, 3). Упражнение 9 Ответ: а) (1, -2); Даны векторы (-1, 2) и (2, -4). Найдите координаты вектора: а) б) в) б) (-1, 2); в) (11, -22). Упражнение 10 Вершины треугольника имеют координаты A(1, 2), B(2, 1) и C(3, 4). Найдите координаты точки M пересечения медиан. Решение: Следовательно, имеет координаты Точка M имеет координаты |