Практическое применение теории графов

• Название: Практическое применение теории графов
• Дата: 10.04.2022
• Размер: 3.14 Mb.
• Имя файла: 1064166.ppt
• Тип: Лекция; #458604

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРАФОВ

ЛЕКЦИЯ 8
ГРАФОВЫЕ АЛГОРИТМЫ


Опишем основные графовые алгоритмы, которые становятся очень полезными для анализа, а также области их применения.

ПОИСК В ШИРИНУ

Обход или поиск — это одна из фундаментальных операций, выполняемых на графах. 
Поиск в ширину начинается с определённой вершины, затем исследуются все её соседи на данной глубине и происходит переход к вершинам следующего уровня. В графах, в отличие от деревьев, могут быть циклы — пути, в которых первая и последняя вершины совпадают. Поэтому необходимо отслеживать посещённые алгоритмом вершины. При реализации алгоритма поиска в ширину используется структура данных «очередь».
На рисунке 1 показан пример того, как выглядит поиск в ширину на графе.
Жёлтым цветом помечаются обнаруженные вершины, красным — посещённые.
Применяется для:
определения кратчайших путей и минимальных остовных деревьев;
индексации веб-страниц поисковыми ботами;
поиска в соцсетях;
нахождения доступных соседних узлов в одноуровневых сетях, таких как BitTorrent.

ПОИСК В ШИРИНУ

Рис. 1 Визуальное отображение обхода на графах (поиск в ширину)

ПОИСК В ГЛУБИНУ

Поиск в глубину начинается с определённой вершины, затем уходит как можно дальше вдоль каждой ветви и возвращается обратно.
Здесь тоже необходимо отслеживать посещённые алгоритмом вершины. Для того, чтобы стало возможным возвращение обратно, при реализации алгоритма поиска в глубину используется структура данных «стек».
На рисунке 2 показан пример того, как выглядит поиск в глубину на том же графе, который использован на рисунке 1. Граф обходится на всю глубину каждой ветви с возвращением обратно.
Применяется:
для нахождения пути между двумя вершинами;
для обнаружения циклов на графе;
в топологической сортировке;
в головоломках с единственным решением (например, лабиринтах).

ПОИСК В ГЛУБИНУ

Рис. 2 Визуальное отображение обхода на графах (поиск в глубину)

КРАТЧАЙШИЙ ПУТЬ

Кратчайший путь от одной вершины графа к другой — это путь, при котором сумма весов рёбер, его составляющих, должна быть минимальна.
На рисунке 3 показан кратчайший путь на графе от вершины 1 до вершины 6.
Алгоритмы нахождения кратчайшего пути:
Алгоритм Дейкстры.
Алгоритм Беллмана-Форда.
Алгоритм поиска A*
Алгоритм Флойда — Уоршелла
Алгоритм Джонсона
Алгоритм Ли (волновой алгоритм)
Поиск кратчайшего пути на основе алгоритма Килдала.
Применяются в:
картографических сервисах типа Google maps или Apple maps для прокладки маршрутов и определения местоположения;
сетях для решения проблемы минимальной задержки пути;
абстрактных автоматах для определения через переход между различными состояниями возможных вариантов достижения некоторого целевого состояния, например минимально возможного количества ходов, необходимого для победы в игре.

КРАТЧАЙШИЙ ПУТЬ

Рис. 3 Визуальное отображение кратчайшего пути от вершины 1 к вершине 6

ОБНАРУЖЕНИЕ ЦИКЛОВ

Цикл — это путь, в котором первая и последняя вершины графа совпадают.
То есть путь, начинающийся и завершающийся в одной и той же вершине, называется циклом. 
Обнаружение циклов — это процесс выявления таких циклов.
На рисунке 4 показано, как происходит обнаружение цикла.
Алгоритмы обнаружения цикла:
Алгоритм Флойда.
Алгоритм Брента.
Применяются:
в распределённых алгоритмах, использующих сообщения;
для обработки крупных графов с использованием распределённой системы обработки в кластере;
для обнаружения взаимоблокировок в системах с параллельным выполнением;
в криптографических приложениях для выявления ключей сообщения, которые могут соответствовать одному и тому же зашифрованному значению.

ОБНАРУЖЕНИЕ ЦИКЛОВ

Рис. 4 Цикл


Минимальное остовное дерево — это подмножество рёбер графа, которое соединяет все вершины, имеющие минимальную сумму весов рёбер, и без циклов.
На рисунке 5 показан процесс получения минимального остовного дерева.
Алгоритмы поиска минимального остовного дерева: (мы их не берем, почему?)
Алгоритм Прима.
Алгоритм Крускала.
Применяются:
для создания деревьев для распределения данных в компьютерных сетях;
в кластерном анализе с использованием графов;
при сегментации изображений;
при социально-географическом районировании, когда смежные регионы объединяются.


Рис. 5 Визуальное отображение минимального остовного дерева


Граф считается сильно связным, если все вершины в графе достижимы из всех остальных вершин.
На рисунке 6 показан пример того, как выглядит граф с тремя сильно связными компонентами, вершины которых окрашены в красный, зелёный и жёлтый цвета.
Алгоритмы поиска сильных компонент связности:
Алгоритм Косараджу.
Алгоритм Тарьяна.
Применяются:
для вычисления декомпозиции Далмейджа-Мендельсона, которая представляет собой разделение вершин двудольного графа на подмножества;
в соцсетях для поиска групп сильно связанных между собой людей и выдачи рекомендаций на основе общих интересов.


Рис. 6 Сильно связные компоненты


Топологическая сортировка графа — это такое линейное упорядочение его вершин, в котором для каждого направленного ребра, например (u, v), вершина u предшествует вершине v.
На рисунке 7 показан пример топологического упорядочения вершин, согласно которому вершина 5 должна следовать за вершинами 2 и 3, а вершина 6 — за вершинами 4 и 5.
Алгоритмы поиска топологической сортировки:
Алгоритм Кана.
Алгоритм на основе поиска в глубину.
Применяются:
при планировании выполнения команд;
при сериализации данных;
определения порядка выполняемых при компиляции задач в Makefiles;
для разрешения зависимостей символов в компоновщиках.


Рис. 7 Топологическая сортировка

РАСКРАСКА ГРАФОВ

При раскраске графов элементам графа присваиваются цвета с учётом определённых условий. 

Раскраска вершин — наиболее часто используемый метод окраски графов.
При этом вершины графа окрашиваются с использованием k цветов, а любым двум соседним вершинам должны соответствовать разные цвета.
Другие методы окраски — раскраска рёбер и раскраска граней.
Хроматическое число графа — это наименьшее количество цветов, необходимых для окрашивания графа.
На рисунке 8 показан пример того, как выглядит раскраска вершин графа с использованием 4-х цветов.
Алгоритмы с раскраской графов:
Алгоритмы, использующие поиск в ширину или поиск в глубину.
Жадная раскраска.
Применяются для:
составления расписаний;
назначения радиочастот мобильных сетей;
моделирования и решения головоломок типа судоку;
проверки того, является ли граф двудольным;
раскрашивания географических карт стран или штатов, на которых соседние страны или штаты имеют разные цвета.

РАСКРАСКА ГРАФОВ

Рис. 8 Раскраска вершин

МАКСИМАЛЬНЫЙ ПОТОК

Можно смоделировать граф в виде сети потоков с весами рёбер в качестве пропускной способности этих потоков.
В задаче максимального потока требуется найти такой путь потока, который может обеспечить максимально интенсивность потока.
На рисунке 9 показан пример того, как выглядит нахождение максимального потока сети и определение конечного значения потока.
Алгоритмы нахождения максимального потока:
Алгоритм Форда-Фулкерсона.
Алгоритм Эдмондса-Карпа.
Алгоритм Диница.
Применяются:
в авиакомпаниях для составления полётного расписания экипажей;
при сегментации изображений для определения фона и переднего плана изображения.

МАКСИМАЛЬНЫЙ ПОТОК

Рис. 9 Определение максимального потока

ПАРОСОЧЕТАНИЯ

Паросочетание на графе — это набор рёбер, которые не имеют общих вершин (т.е. хотя бы двух рёбер, не имеющих общей вершины).
Паросочетание называется максимальным, если оно содержит максимально возможное число рёбер, сочетающихся с как можно большим количеством вершин.
На рисунке 10 показано получение полного паросочетания в двудольном графе с двумя наборами вершин, обозначенных оранжевым и синим цветами.
Алгоритмы нахождения паросочетаний:
Алгоритм Хопкрофта-Карпа.
Венгерский алгоритм.
Алгоритм сжатия цветков.
Применяются:
в подборе пары для жениха или невесты (задача о стабильных браках);
для определения вершинного покрытия;
в теории транспорта для решения задачи распределения ресурсов и оптимизации перевозок.

ПАРОСОЧЕТАНИЯ

Рис. 10 Паросочетания двудольного графа