задания к лабораторным. Практикум по численным методам и положение о вычислительной практике Для студентов специальностей Статистика иМатематические методы в экономике

• Название: Практикум по численным методам и положение о вычислительной практике Для студентов специальностей Статистика иМатематические методы в экономике
• Дата: 18.01.2021
• Размер: 0.59 Mb.
• Имя файла: задания к лабораторным.pdf
• Тип: Практикум; #169338
• страница: 2 из 5

Вариант 8
080116
080601
1)
2 3
m n
X
с
=
m
1,6531( 0,0003)
±
2,348( 0,002)
±
n
3,78( 0,002)
±
4,37( 0,004)
±
c
0,158( 0,0005)
±
0, 235( 0,0003)
±
2)
m a b
X
c d
−
=
+
a
9,542( 0,001)
±
8,357( 0,003)
±
b
3,128( 0,002)
±
2, 48( 0,004)
±
m
2,8( 0,03)
±
3,17( 0,01)
±
c
0,172( 0,001)
±
1,315( 0,0004)
±
d
5, 4( 0,02)
±
2, 4( 0,02)
±
3)
(
)
2 2
1 2
0.75 15
X
h D
Dd
d
π
=
+
+
h
84,2 76
D
28,3 17,2
d
42,08 9,344

11
Вариант 9
080116
080601
1)
cd
X
b
=
c
0,7568( 0,0002)
±
0,6384( 0,0002)
±
d
21,7( 0,02)
±
32,7( 0,04)
±
b
2,65( 0,01)
±
4,88( 0,03)
±
2)
3
(
)
a b
X
m n a
−
=
−
a
10,82( 0,03)
±
9,37( 0,004)
±
b
2,786( 0,0006)
±
3,108( 0,0003)
±
m
0, 28( 0,006)
±
0, 46( 0,002)
±
n
14,7( 0,06)
±
15, 2( 0,04)
±
3)
(
)(
)(
)
X
p p a p b p c
=
−
−
−
, где
2
a b c
p
+ +
=
h
46,3 10,5
D
29,72 34,18
d
37,654 27,327
Вариант 10
080116
080601
1)
3 48
Qe
X
E
=
Q
54,8( 0,02)
±
38,5( 0,01)
±
e
2, 45( 0,01)
±
3,35( 0,02)
±
E
0,863( 0,004)
±
0,734( 0,001)
±
2)
2
(2 1) (
)
n
x y
X
x y
−
+
=
−
n
2,0435( 0,0001)
±
4,5681( 0,0001)
±
x
4, 2( 0,05)
±
6,3( 0,02)
±
y
0,82( 0,01)
±
0, 42( 0,03)
±
3)
2 2
(
)
(
)
b
a
ab
a
X
b
b b
α
β
β
β
β
−
−
=
−
+
α
5,27 7,31
β
0,0562 0,0761
a
158,35 234,36
b
61,21 81,26

12
Пример выполнения задания
Задача 1
1.
Определить, какое равенство точнее
9 11 0,818
=
или
18 4, 24
=
?
Решение.
Находим значения данных выражений с бóльшим числом десятич- ных знаков:
1 9 11 0,8181818...
a
=
=
,
2 18 4, 2426...
a
=
=
. Затем вычисляем предельные абсолютные погрешности, округляя их с избытком:
1 0,81818 0,818 0,00019
a
α
=
−
≤
,
2 4, 2426 4, 24 0,0027
a
α
=
−
≤
Предельные относительные погрешности составляют
1 1
1 0,00019 0,00024 0,024%
0,818
a
a
a
α
δ
=
=
=
=
;
2 2
1 0,0027 0,00064 0,064%
4, 24
a
a
a
α
δ
=
=
=
=
Так как
1 2
a
a
δ
δ
<
, то равенство
9 11 0,818
=
является более точным.
2.
Округлить сомнительные цифры числа
72,353( 0,026)
±
, оставив верные зна-
ки в узком смысле.
Решение.
Пусть
(
)
72,353 0, 026
a
±
=
. Согласно условию, погрешность
0,026 0,05
a
α
=
<
; это означает, что в числе 72,353 верными в узком смысле являют- ся цифры 7, 2, 3. По правилам округления найдем приближенное значение числа, сохранив десятые доли:
1 72, 4
a
=
;
1 0,026 0,047 0,073
a
a
окр
α
α
=
+ ∆
=
+
=
Полученная погрешность больше
0,05
; значит, нужно уменьшить число цифр в приближенном числе до двух:
2 72
a
=
;
2 0,026 0,353 0,379
a
a
окр
α
α
=
+ ∆
=
+
=
Так как
2 0,5
a
α
<
, то обе оставшиеся цифры верны в узком смысле.
Округлить сомнительные цифры числа
2,3544;
0, 2%
δ
=
, оставив верные знаки
в широком смысле.
Решение.
Пусть
2,3544
a
=
;
0, 2%
a
δ
=
; тогда
0,00471
a
a
a
α
δ
= ⋅
=
. В данном числе верными в широком смысле являются три цифры, поэтому округляем его, сохра- няя эти три цифры:
1 2,35
a
=
;
1 0,0044 0,00471 0,00911 0,01
a
α
=
+
=
<
Значит, в округленном числе
2,35
все три цифры верны в широком смысле.
3.
Найти предельные абсолютные и относительные погрешности числа
0,4357, если они имеют только верные цифры в узком смысле.
Решение.
Так как все четыре цифры числа
0, 4357
a
=
верны в узком смысле, то абсолютная погрешность
0,00005
a
α
=
, а относительная погрешность
(
)
3 1 2 4 10 0,000125 0,0125%
a
δ
=
⋅ ⋅
=
=

13
Найти предельные абсолютные и относительные погрешности числа 12,384,
если они имеют только верные цифры в широком смысле.
Решение.
Так как все пять цифр числа
12,384
a
=
верны в широком смысле, то
0,001
a
α
=
,
4 1 10 0,0001 0,01%
a
δ
=
=
=
Задача 2
1.
Вычислить и определить погрешности результата.
2 3
m n
X
k
=
, где
28,3( 0,02)
m
=
±
,
7, 45( 0,01)
n
=
±
,
0,678( 0,003)
k
=
±
Решение.
Находим
2 800,9
m
=
;
3 413,5
n
=
;
0,8234
k
=
;
5 800,9 413,5 402200 4,022 10 0,8234
X
⋅
=
=
=
⋅
Далее имеем
0,02 28,3 0,00071
m
δ
=
=
,
0,01 7, 45 0,00135
n
δ
=
=
,
0,003 0,678 0,00443
k
δ
=
=
, откуда
2 3
0,5 0,00142 0,00405 0,00222 0,00769 0,77%
X
m
n
k
δ
δ
δ
δ
=
+
+
=
+
+
=
=
,
5 3
4,02 10 0,0077 3,1 10
X
α
=
⋅
⋅
=
⋅
2.
Вычислить и определить погрешности результата.
2
(
1)(
)
(
)
n
m n
N
m n
−
+
=
−
, где
3,0567( 0,0001)
n
=
±
,
5,72( 0,02)
m
=
±
.
Решение.
Имеем
1 2,0567( 0,0001)
n
− =
±
,
3,057( 0,0004) 5,72( 0,02) 8,777( 0,0204)
m n
+ =
±
+
±
=
±
,
5,72( 0,02) 3,057( 0,0004) 2,663( 0,0204)
m n
− =
±
−
±
=
±
2 2,0567 8,777 2,0567 8,777 2,545 2,55 2,663 7,092
N
⋅
⋅
=
=
=
≈
;
0,0001 0,0204 0,0204 2
0,000049 0,00233 2 0,00766 2,0567 8,777 2,663 0,00238 0,1532 0,0177 1,77%
N
δ
=
+
+ ⋅
=
+
+ ⋅
=
=
+
=
=
2,55 0,0177 0,046
N
α
=
⋅
=
3.
Вычислить, пользуясь правилами подсчета цифр.
2 3
h
V
h R
π
⎛
⎞
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
, где
11,8
h
=
,
23,67
R
=
.
Решение.
Находим
(
)
2 2
3 3,142 11,8 23,67 3,933 3,142 11,8 19,737 3,142 139, 2 19,737 437,37 19,737 8630 8,63 10
V
=
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
⋅
=
≈
⋅

14
Задание 2. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ
Задача 1
Используя интерполяционную формулу Ньютона, вычислить значение функции
y
при данных значениях аргумента
x
. При составлении таблицы разно- стей контролировать вычисления. Для решения задачи использовать первый и второй столбцы таблицы со значениями.
Таблица 1
x
y
1
y
1,415 0,888551 0,888 1,420 0,889599 0,889 1,425 0,890637 0,890 1,430 0,891667 0,891 1,435 0,892687 0,893 1,440 0,893698 0,894 1,445 0,894700 0,895 1,450 0,895693 0,896 1,455 0,896677 0,896 1,460 0,897653 0,897 1,465 0,898619 0,898
Вариант 1.
1 2
3 4
1, 4161,
1, 4625,
1, 4135,
1, 470
x
x
x
x
=
=
=
=
Вариант 9.
1 2
3 4
1, 4179,
1, 4633,
1, 4124,
1, 4655
x
x
x
x
=
=
=
=
Вариант 17.
1 2
3 4
1, 4263,
1, 4575,
1, 410,
1, 4662
x
x
x
x
=
=
=
=
Таблица 2
x
y
1
y
0,101 1,26183 1,26 0,106 1,27644 1,28 0,111 1,29122 1,29 0,116 1,30617 1,31 0,121 1,32130 1,32 0,126 1,33660 1,34 0,131 1,35207 1,35 0,136 1,36773 1,37 0,141 1,38357 1,38 0,146 1,39959 1,40 0,151 1,41579 1,42
Вариант 2.
1 2
3 4
0,1026,
0,1440,
0,099,
0,161
x
x
x
x
=
=
=
=
Вариант 10.
1 2
3 4
0,1035,
0,1492,
0,096,
0,153
x
x
x
x
=
=
=
=
Вариант 18.
1 2
3 4
0,1074,
0,1485,
0,1006,
0,156
x
x
x
x
=
=
=
=

15
Таблица 3
x
y
1
y
0,15 0,860708 0,86 0,20 0,818731 0,82 0,25 0,778801 0,78 0,30 0,740818 0,74 0,35 0,704688 0,70 0,40 0,670320 0,67 0,45 0,637628 0,64 0,50 0,606531 0,61 0,55 0,576950 0,58 0,60 0,548812 0,55 0,65 0,522046 0,52 0,70 0,496585 0,50 0,75 0,4722367 0,47
Вариант 3.
1 2
3 4
0,1511,
0,7250,
0,1430,
0,80
x
x
x
x
=
=
=
=
Вариант 11.
1 2
3 4
0,1535,
0,7333,
0,100,
0,7540
x
x
x
x
=
=
=
=
Вариант 19.
1 2
3 4
0,1525,
0,6730,
0,1455,
0,85
x
x
x
x
=
=
=
=
Таблица 4
x
y
1
y
0,180 5,61543 5,62 0,185 5,46693 5,47 0,190 5,32634 5,33 0,195 5,19304 5,20 0,200 5,06649 5,07 0,205 4,94619 4,95 0,210 4,83170 4,83 0,215 4,72261 4,72 0,220 4,61855 4,62 0,225 4,51919 4,52 0,230 4,42422 4,42 0,235 4,33337 4,33
Вариант 4.
1 2
3 4
0,1817,
0, 2275,
0,175,
0, 2375
x
x
x
x
=
=
=
=
Вариант 12.
1 2
3 4
0,1827,
0, 2292,
0,1776,
0, 240
x
x
x
x
=
=
=
=
Вариант 20.
1 2
3 4
0,1873,
0, 2326,
0,1783,
0, 245
x
x
x
x
=
=
=
=

16
Таблица 5
x
y
1
y
3,50 33,1154 33 3,55 34,8133 34 3,60 36,5982 37 3,65 38,4747 38 3,70 40,4473 40 3,75 42,5211 43 3,80 44,7012 45 3,85 46,9931 47 3,90 49,4012 49 3,95 51,9354 52 4,00 54,5982 55 4,05 57,3975 57 4,10 60,3403 60 4,15 63,4340 63 4,20 66,6863 67
Вариант 5.
1 2
3 4
3,522,
4,176,
3, 475,
4, 25
x
x
x
x
=
=
=
=
Вариант 13.
1 2
3 4
3,543,
4,184,
3, 488,
4,30
x
x
x
x
=
=
=
=
Вариант 21.
1 2
3 4
3,575,
4,142,
3, 45,
4, 204
x
x
x
x
=
=
=
=
Таблица 6
x
y
1
y
0,115 8,65729 8,66 0,120 8,29329 8,29 0,125 7,95829 7,96 0,130 7,64893 7,65 0,135 7,36235 7,36 0,140 7,09613 7,07 0,145 6,84815 6,85 0,150 6,61659 6,62 0,155 6,39986 6,40 0,160 6,19658 6,20 0,165 6,00551 6,01 0,170 5,82558 5,83 0,175 5,65583 5,64 0,180 5,49943 5,50
Вариант 6.
1 2
3 4
0,1217,
0,1736,
0,1141,
0,185
x
x
x
x
=
=
=
=
Вариант 14.
1 2
3 4
0,1168,
0,1745,
0,110,
0,1825
x
x
x
x
=
=
=
=
Вариант 22.
1 2
3 4
0,1175,
0,1773,
0,1134,
0,190
x
x
x
x
=
=
=
=

17
Таблица 7
x
y
1
y
1,340 4,25562 4,26 1,345 4,35325 4,35 1,350 4,45522 4,46 1,355 4,56184 4,56 1,360 4,67344 4,67 1,365 4,79038 4,79 1,370 4,91306 4,91 1,375 5,04192 5,04 1,380 5,17744 5,18 1,385 5,32016 5,32 1,390 5,47069 5,47 1,395 5,62068 5,62
Вариант 7.
1 2
3 4
1,3463,
1,3868,
1,335,
1,3990
x
x
x
x
=
=
=
=
Вариант 15.
1 2
3 4
1,3617,
1,3921,
1,3359,
1, 400
x
x
x
x
=
=
=
=
Вариант 23.
1 2
3 4
1,3432,
1,3936,
1,3365,
1,3975
x
x
x
x
=
=
=
=
Таблица 8
x
y
1
y
0,01 0,991824 0,99 0,06 0,951935 0,95 0,11 0,913650 0,92 0,16 0,876905 0,88 0,21 0,841638 0,84 0,26 0,807789 0,81 0,31 0,775301 0,78 0,36 0,744120 0,74 0,41 0,714193 0,71 0,46 0,685470 0,69 0,51 0,657902 0,66 0,56 0,631442 0,63
Вариант 8.
1 2
3 4
0,027,
0,525,
0,008,
0,61
x
x
x
x
=
=
=
=
Вариант 16.
1 2
3 4
0,1243,
0, 492,
0,0094,
0,66
x
x
x
x
=
=
=
=
Вариант 24.
1 2
3 4
0,083,
0,5454,
0,0075,
0,573
x
x
x
x
=
=
=
=

18
Пример решения задачи
Определить значения функции
( )
y x
при следующих значениях аргумента
1 1, 2273
x
=
,
2 1, 253
x
=
,
3 1, 210
x
=
,
4 1, 2638
x
=
.
x
y
1,215 0,106044 1,220 0,113276 1,225 0,119671 1,230 0,125324 1,235 0,130328 1,240 0,134776 1,245 0,138759 1,250 0,142367 1,255 0,145688 1,260 0,148809
Решение.
Составим таблицу конечных разностей. Для контроля вычислений добавим к ней две строки: в строке
∑
запишем суммы элементов столбцов конеч- ных разностей, а в строке
P
– разности крайних значений столбцов.
i
x
i
y
i
y
∆
2
i
y
∆
3
i
y
∆
1,215 0,106044 0,007232
–0,000837 0,000095 1,220 0,113276 0,006395
–0,000742 0,000093 1,225 0,119671 0,005653
–0,000649 0,000093 1,230 0,125324 0,005004
–0,000556 0,000091 1,235 0,130328 0,004448
–0,000465 0,000090 1,240 0,134776 0,003983
–0,000375 0,000088 1,245 0,138759 0,003608
–0,000287 0,000087 1,250 0,142367 0,003321 –0,000200
–
1,255 0,145688 0,003121 –
–
1,260 0,148809
– – –
∑
–
0,042765 –0,004111 0,000637
P
0,042765 –0,004111 0,000637
–
При составлении таблицы разностей ограничиваемся разностями третьего порядка, т.к. они практически постоянны. Для вычисления значений функции при
1 1, 2273
x
=
и
3 1, 210
x
=
воспользуемся формулой Ньютона для интерполирования вперед:
2 3
0 0
0 0
(
1)
(
1)(
2)
( )
2!
3!
q q
q q
q
y x
y
q y
y
y
−
−
−
≈
+ ∆ +
∆
+
∆
, где
0
(
)
x x
q
h
−
=

19
1.
Если
1 1, 2273
x
=
, то примем
0 1, 225
x
=
, тогда
1, 2273 1, 225 0, 46 0,005
q
−
=
=
,
0, 46 ( 0,54)
(1, 2273) 0,119671 0, 46 0,005653
( 0,000649)
2 0, 46 ( 0,54) ( 1,54)
0,000093 0,119671 0,0026004 0,0000806 0,0000059 6
0,1223579 0,122358
y
⋅ −
≈
+
⋅
+
⋅ −
+
⋅ −
⋅ −
+
⋅
=
+
+
+
=
=
≈
2.
Если
3 1, 210
x
=
, то примем
0 1, 215
x
=
, тогда
1, 210 1, 215 1
0,005
q
−
=
= −
,
( 1) ( 2)
(1, 210) 0,106044 ( 1) 0,007232
( 0,000837)
2
( 1) ( 2) ( 3)
0,000095 0,097880 6
y
− ⋅ −
≈
+ − ⋅
+
⋅ −
+
− ⋅ − ⋅ −
+
⋅
=
Для вычисления значений функции при
2 1, 253
x
=
и
4 1, 2638
x
=
воспользуемся формулой Ньютона для интерполирования назад:
2 3
1 2
3
(
1)
(
1)(
2)
( )
2!
3!
n
n
n
n
q q
q q
q
y x
y
q y
y
y
−
−
−
+
+
+
≈
+ ∆
+
∆
+
∆
, где
(
)
n
x x
q
h
−
=
3.
Если
2 1, 253
x
=
, то примем
1, 255
n
x
=
, тогда
1, 253 1, 255 0, 4 0,0005
q
−
=
= −
,
( 0, 4) 0,6
(1, 253) 0,145688 ( 0, 4) 0,003321
( 0,000287)
2
( 0, 4) 0,6 1,6 0,000088 0,145688 0,0013284 0,0000344 0,0000056 6
0,1443884 0,144388.
y
−
⋅
≈
+ −
⋅
+
⋅ −
+
−
⋅
⋅
+
⋅
=
−
+
−
=
=
≈