задания к лабораторным. Практикум по численным методам и положение о вычислительной практике Для студентов специальностей Статистика иМатематические методы в экономике
 Скачать 0.59 Mb.
|
|
4. Если 4 1, 2638 x = , то примем 1, 260 n x = , тогда 1, 2638 0, 260 0,76 0,005 q − = ⋅ , 0,76 1,76 (1, 2638) 0,148809 0,76 0,003121 ( 0,00020) 2 0,76 1,76 2,76 0,000087 0,148809 0,0023720 0,0001338 0,0000535 6 0,1511007 0,151101. y ⋅ ≈ + ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ = + − + = = ≈ 20 Задача 2 Используя стандартные функции MATLAB (метод наименьших квадратов) выполнить интерполяцию функции 1 ( ) y x , заданной первым и третьим столбцами таблицы, многочленами степени 2 и 5. В отчете привести текст программы, осу- ществляющей интерполяцию и выведенные на одном графике функции (заданную табличным образом в виде точек и два интерполяционных многочлена). Интерпо- ляционные многочлены после вывода графика на печать подписать. Функции MATLAB, необходимые для выполнения задания P=polyfit(x,y,d) – функция находит коэффициенты многочлена ( ) d P x степе- ни d , такого, что ( ) i i P x y ≈ по методу наименьших квадратов. YY=polyval(P,x) – вычисляет значения многочлена ( ) P x в каждой точке i x 21 Задание 3. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Задача 1 Решить уравнение методом Ньютона с абсолютной погрешностью 0.0001 ε < Варианты 1. sin 0, 25 x x − = 2. 2 tg(0,58 0,1) x x + = 3. cos(0,387 ) 0 x x − = 4. 2 tg(0, 4 0, 4) x x + = 5. 7 lg 0 2 6 x x − = + 6. 2 tg(0,5 0, 2) x x + = 7. 3 cos 1 0 x x − − = 8. lg 0,5 x x + = 9. 2 tg(0,5 0,1) x x + = 10. 2 4sin 0 x x + = 11. 2 ctg1,05 0 x x − = 12. 2 tg(0, 4 0,3) x x + = 13. lg 1, 2 0 x x − = 14. 2 1,8 sin10 0 x x − = 15. ctg 0 4 x x − = 16. 2 tg(0,3 0, 4) x x + = 17. 2 20sin 0 x x − = 18. ctg 0 3 x x − = 19. 2 tg(0, 47 0, 2) x x + = 20. 2 4sin 0 x x + = Ход решения 1. Определение начального приближения графическим способом. Согласно полученному графику сделать вывод о количестве корней, промежутках, на кото- рых находятся эти корни, и значениях начального приближения. 2. Произвести вычисления и расположить их в таблице. n n x ( ) n f x '( ) n f x ( ) '( ) n n f x f x 0 1 2 3. Записать ответ, полученный после округления и учета погрешности. Задача 2 Решить уравнение методом простой итерации с абсолютной погрешностью 0,0001 ε < Варианты 1. 3 ln ( 1) 0 x x + + = 2. 2 1 x x ⋅ = 3. 1 1 x x + = 4. cos 0 x x − = 5. 3 cos 1 0 x x + + = 6. ln 0,5 x x + = 7. 2 ln x x − = 8. 2 1 ( 1) 2 x x e − = 9. (2 ) 0,5 x x e − = 10. 2, 2 2 0 x x − = 11. 2 4sin 0 x x + = 12. 2 lg 7 x x − = 13. 5 8ln 8 x x − = 14. 3 0 x x e − = 15. 2 ( 1) 1 x x + = 16. 3 ( 1) x x = + 17. 2 sin x x = 18. 3 sin x x = 19. lg( 2) x x = + 20. 2 ln( 1) x x = + . 22 Ход решения 1. Отделение корней графическим образом. 2. Произвести вычисления и расположить их в таблице. n n x ( ) n f x 1 n n x x + − 0 1 3. Записать ответ, полученный после округления и учета погрешности. Задача 3 Решить уравнение с точностью до 0,0001 ε < Варианты 1. 3 2 2 3 12 5 0 x x x − − − = 2. 3 2 3 3 0 x x − + = 3. 3 2 3 24 10 0 x x x + − − = 4. 3 2 2 9 21 0 x x + − = 5. 3 2 3 2 0 x x + − = 6. 3 2 3 24 10 0 x x x + − + = 7. 3 2 2 9 10 0 x x + − = 8. 3 2 3 3 0 x x + − = 9. 3 2 3 24 5 0 x x x − − − = 10. 3 2 2 3 12 12 0 x x x − − + = 11. 3 2 3 1.5 0 x x − + = 12. 3 2 3 24 3 0 x x x + − − = 13. 3 2 2 9 4 0 x x + − = 14. 3 2 3 1 0 x x + − = 15. 3 2 3 24 3 0 x x x − − − = 16. 3 12 6 0 x x − + = 17. 3 2 2 3 12 10 0 x x x − − + = 18. 3 2 3 2.5 0 x x − + = 19. 3 2 3 24 8 0 x x x + − − = 20. 3 12 10 0 x x − + = Ход решения 1. Отделение корней графическим способом. 2. Найти один корень методом деления отрезка пополам, другой корень – методом хорд, а третий – смешанным методом хорд и касательных и записать ре- зультаты вычислений в таблицы вида (для каждого корня создается отдельная таблица). Для метода деления отрезка пополам: n n x n a n b ( ) n f x n n b a − 0 1 2 Для метода хорд: n n x ( ) n f x 1 n n x x − − 0 1 2 23 Для комбинированного метода: n n a n b n n b a − ( ) n f a ( ) n f b '( ) n f b ( ) '( ) n n f b f b 0 1 2 3. Записать значения всех трех корней после округления. Задача 4 Решить уравнения из заданий 1–3 с помощью функций MATLAB. Ход решения 1. Построить графики всех функций с помощью функции plot(x,y),grid таким образом, как выполнялось их построение при выпол- нении заданий 1–3. Привести распечатки графиков в отчете. 2. По построенным графикам определить начальное приближение. 3. Задать функции в отдельном файле (с расширением *.m) в следующем виде (каждое уравнение в отдельном файле): Файл function.m function y=function(x) y=3^x+3*x-6.7; 4. Вызвать в MATLAB функцию для нахождения каждого из корней урав- нений: X1=fzero(‘function’,начальное_приближение) Для решения уравнений вида 1 1 1 0 0 n n n n a x a x a x a − − + + + + = необходимо выпол- нить следующие действия C=[a n a n-1 ... a 1 a 0 ]; X1=roots(c) 5. Записать полученные ответы. Отчет по заданию 4 должен содержать распечатанные графики функций, за- писи всех функций в файлах, все вызывающие функции, а также полученные ре- зультаты. 24 Задание 4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Задача 1 Решить систему уравнений методом главных элементов с точно- стью 0,001 ε < Варианты 1. 0,34 0,71 0,63 2,08; 0,71 0,65 0,18 0,17; 1,17 2,35 0,75 1, 28. x y z x y z x y z + + = ⎧ ⎪ − − = ⎨ ⎪ − + = ⎩ 2. 3,75 0, 28 0,17 0,75; 2,11 0,11 0,12 1,11; 0, 22 3,17 1,81 0,05. x y z x y z x y z − + = ⎧ ⎪ − − = ⎨ ⎪ − + = ⎩ 3. 0, 21 0,18 0,75 0,11; 0,13 0,75 0,11 2,00; 3,01 0,33 0,11 0,13. x y z x y z x y z − + = ⎧ ⎪ + − = ⎨ ⎪ − + = ⎩ 4. 0,13 0,14 2,00 0,15; 0,75 0,18 0,77 0,11; 0, 28 0,17 0,39 0,12. x y z x y z x y z − − = ⎧ ⎪ + − = ⎨ ⎪ − + = ⎩ 5. 3,01 0,14 0,15 1,00; 1,11 0,13 0,75 0,13; 0,17 2,11 0,71 0,17. x y z x y z x y z − − = ⎧ ⎪ + − = ⎨ ⎪ − + = ⎩ 6. 0,92 0,83 0,62 2,15; 0, 24 0,54 0, 43 0,62; 0,73 0,81 0,67 0,88. x y z x y z x y z − + = ⎧ ⎪ − + = ⎨ ⎪ − − = ⎩ 7. 1, 24 0,87 3,17 0, 46; 2,11 0, 45 1, 44 1,50; 0, 48 1, 25 0,63 0,35. x y z x y z x y z − − = ⎧ ⎪ − + = ⎨ ⎪ + − = ⎩ 8. 0,64 0,83 4, 20 2, 23; 0,58 0,83 1, 43 1,71; 0,86 0,77 0,88 0,54. x y z x y z x y z − + = ⎧ ⎪ − + = ⎨ ⎪ + + = − ⎩ 9. 0,32 0, 42 0,85 1,32; 0,63 1, 43 0,58 0, 44; 0,84 2, 23 0,52 0,64. x y z x y z x y z − + = ⎧ ⎪ − − = − ⎨ ⎪ − − = ⎩ 10. 0,73 1, 24 0,38 0,58; 1, 25 0,66 0,78 0,66; 0,75 1, 22 0,83 0,92. x y z x y z x y z + − = ⎧ ⎪ + − = ⎨ ⎪ + − = ⎩ 11. 0,62 0, 44 0,86 0,68; 0,83 0, 42 0,56 1, 24; 0,58 0,37 0,62 0,87. x y z x y z x y z − − = ⎧ ⎪ + − = ⎨ ⎪ − − = ⎩ 12. 1, 26 2,34 1,17 3,14; 0,75 1, 24 0, 48 1,17; 3, 44 1,85 1,16 1,83. x y z x y z x y z − + = ⎧ ⎪ + − = − ⎨ ⎪ − + = ⎩ 13. 0, 46 1,72 2,53 2, 44; 1,53 2,32 1,83 2,83; 0,75 0,86 3,72 1,06. x y z x y z x y z + + = ⎧ ⎪ − − = ⎨ ⎪ + + = ⎩ 14. 2, 47 0,65 1,88 1, 24; 1,34 1,17 2,54 2,35; 0,86 1,73 1,08 3,15. x y z x y z x y z + − = ⎧ ⎪ + + = ⎨ ⎪ − − = ⎩ 15. 4, 24 2,73 1,55 1,87; 2,34 1, 27 3,15 2,16; 3,05 1,05 0,63 1, 25. x y z x y z x y z + − = ⎧ ⎪ + + = ⎨ ⎪ − − = − ⎩ 16. 0, 43 1, 24 0,58 2,71; 0,74 0,83 1,17 1, 26; 1, 43 1,58 0,83 1,03. x y z x y z x y z + − = ⎧ ⎪ + + = ⎨ ⎪ − + = ⎩ 17. 0, 43 0,63 1, 44 2,18; 1,64 0,83 2, 45 1,84; 0,58 1,55 3,18 0,74. x y z x y z x y z + + = ⎧ ⎪ − − = ⎨ ⎪ + + = ⎩ 18. 1, 24 0,62 0,95 1, 43; 2,15 1,18 0,57 2, 43; 1,72 0,83 1,57 3,88. x y z x y z x y z + − = ⎧ ⎪ − + = ⎨ ⎪ − + = ⎩ 25 19. 0,62 0,56 0, 43 1,16; 1,32 0,88 1,76 2,07; 0,73 1, 42 0,34 2,18. x y z x y z x y z + − = ⎧ ⎪ − + = ⎨ ⎪ + − = ⎩ 20. 1,06 0,34 1, 26 1,17; 2,54 1,16 0,55 2, 23; 1,34 0, 47 0,83 3, 26. x y z x y z x y z + + = ⎧ ⎪ − + = ⎨ ⎪ − − = ⎩ Пример решения задачи Решим систему линейных уравнений 2,74 1,18 3,17 2,18; 1,12 0,83 2,16 1,15; 0,18 1, 27 0,76 3, 23. x y z x y z x y z − + = ⎧ ⎪ + − = − ⎨ ⎪ + + = ⎩ Вычисление производим по следующей схеме: Коэффициенты при неизвест- ных i m 1 x 2 x 3 x Свобод- ные чле- ны Контроль- ные суммы ∑ Строч- ные сум- мы ′ ∑ –1 0,6814 –0,2397 2,74 1,12 0,18 –1,18 0,83 1,27 3,17 –2,16 0,76 2,18 –1,15 3,23 6,91 –1,36 5,44 6,91 –1,36 5,44 –1 –0,1596 2,9870 –0,4768 0,0259 1,5528 – – 0,3355 2,7075 3,3485 3,7837 3,3484 3,7835 – – 1,5569 – 2,7602 4,3181 4,3170 0,0970 1,7728 1,2638 2 2,7602 1,7728 1,5569 x = = , 1 0,3355 0,0259 1,7728 0,0970 2,9870 x − ⋅ = = , 3 2,18 2,74 0,0970 1,18 1,7728 1, 2638 3,17 x − ⋅ + ⋅ = = Задача 2 Составить и отладить подпрограмму для решения системы линейных алгеб- раических уравнений (СЛАУ) методом прогонки. Ход решения 1. В соответствии с приведенной в лекциях схемой алгоритма набрать про- грамму в файле *.m. Рекомендуемые входные параметры – , , a b c – диагонали мат- рицы, d – правые части. Возвращаемые значения x – решения системы. 2. Придумать СЛАУ не менее четвертого порядка с целочисленной матри- цей и целочисленным ответом. 3. Составить программу, в которой СЛАУ задается тремя векторами- диагоналями; организовать обращение к подпрограммам и вывод ответа. Оформить в отчет текст вызывающей последовательности команд, про- граммы, привести введенную матрицу (а не диагонали!!!) и полученный ответ. Произвести проверку с помощью стандартных средств MATLAB. 26 Задание 5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Задача 1 Используя метод итераций, решить систему нелинейных уравнений с точ- ностью до 0,001 ε < Варианты 1. sin( 1) 1, 2; 2 cos 2. x y x y + − = ⎧ ⎨ + = ⎩ 2. cos( 1) 0,5; cos 3. x y x y − + = ⎧ ⎨ − = ⎩ 3. sin 2 2; cos( 1) 0,7. x y y x + = ⎧ ⎨ − + = ⎩ 4. cos( 0,5) 1; cos( 2) 0. x y y x + − = ⎧ ⎨ − + = ⎩ 5. cos 1,5; 2 sin( 0,5) 1. x y x y + = ⎧ ⎨ − − = ⎩ 6. sin( 0,5) 1; cos( 2) 0. x y y x + − = ⎧ ⎨ − + = ⎩ 7. sin( 1) 1,3 ; sin( 1) 0,8. x y x y − = − ⎧ ⎨ − + = ⎩ 8. 2 cos( 1) 0; sin 0, 4. y x x y − + = ⎧ ⎨ + = − ⎩ 9. cos( 0,5) 2; sin 2 1. x y y x + − = ⎧ ⎨ − = ⎩ 10. sin( 2) 1,5; cos( 2) 0,5. x y x y + − = ⎧ ⎨ + − = ⎩ 11. sin( 1) 1, 2; 2 cos 3. y x y x + − = ⎧ ⎨ − = ⎩ 12. sin 2 2; cos( 1) 0,7. y x x y + = ⎧ ⎨ − + = ⎩ 13. cos( 1) 0,5; cos 3. y x y x − + = ⎧ ⎨ − = ⎩ 14. cos 1,5; 2 sin( 0,5) 1. y x y x + = ⎧ ⎨ − − = ⎩ 15. sin( 0,5) 1; cos( 2) 0. y x x y + − = ⎧ ⎨ − + = ⎩ 16. cos( 0,5) 0,8; sin 2 1,6. y x x y + + = ⎧ ⎨ − = ⎩ 17. sin( 1) 1,3; sin( 1) 0,8. y x y x − + = ⎧ ⎨ − + = ⎩ 18. 2 cos( 1) 0; sin 0, 4. x y x y − + = ⎧ ⎨ + = − ⎩ 19. cos( 0,5) 2; sin 2 1. y x x y + − = ⎧ ⎨ − = ⎩ 20. sin( 2) 1,5; cos( 2) 0,5. y x x y + − = ⎧ ⎨ − + = ⎩ |