Практикум Рекомендовано методической комиссией физического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлениям подготовки
 Скачать 1.05 Mb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского А.П. Гажулина ИЗУЧЕНИЕ УПРУГИХ СВОЙСТВ ТВЁРДЫХ ТЕЛ Практикум Рекомендовано методической комиссией физического факультета для студентов ННГУ, обучающихся по направлениям подготовки 03.03.02 «Физика», 11.03.04 «Электроника и наноэлектроника», 09.03.02 «Информационные системы и технологии», 28.03.01 «Нанотехнологии и микросистемная техника» Нижний Новгород 2021 УДК 538.951 ББК 22.251 Г–13 Г–13 Гажулина А.П. ИЗУЧЕНИЕ УПРУГИХ СВОЙСТВ ТВЁРДЫХ ТЕЛ: Практикум. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2021. – 17 с. Рецензент: кандидат физ.-мат. наук Тележников А.В. В настоящей работе студенты знакомятся с основными видами деформации и её характеристиками, экспериментально проверяют выполнение закона Гука и определяют модуль Юнга путем деформации растяжения, приобретают навыки в обработке результатов эксперимента методом наименьших квадратов. Практикум предназначен для студентов 1-го курса физических специальностей университетов. Ответственный за выпуск: председатель методической комиссии физического факультета ННГУ, к. ф.-м. н., доцент Перов А.А. УДК 538.951 ББК 22.251 © Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, 2021 3 Цель работы: экспериментальная проверка закона Гука и определение модуля Юнга путем растяжения проволоки. Приборы и принадлежности: прибор Лермантова для определения удлинения проволоки, набор грузов, микрометр, рулетка, измерительный микроскоп. ВВЕДЕНИЕ Деформация – это изменение формы или размеров тела под действием приложенных к нему сил. Законы, связывающие силы и деформации в общем случае очень сложны и выражаются тензорными уравнениями. Кроме того, связи между силами и деформациями неодинаковы в разных частях тела. Это можно показать с помощью модели, изображенной на рис. 1a, которая представляет из себя несколько масс, соединённых пружинками. Когда к крайней массе модели приложена сила (рис. 1b), силы, действующие на каждую пружинку, уменьшаются от пружины к пружине, и те, в свою очередь, деформируется по- разному. Кроме того, картина деформаций будет совершенно другой, если сила будет приложена, например, к четвертой массе (рис. 1с). Рис. 1. Модель упругого тела По характеру приложенного к телу воздействия виды деформации подразделяют следующим образом (рис. 2): • Деформация сжатия; • Деформация растяжения; • Деформация кручения; • Деформация сдвига; • Деформация изгиба. При всем разнообразии деформаций оказывается возможным любую деформацию тела свести к двум основным типам (элементарным деформациям). Такими элементарными деформациями являются растяжение (сжатие) и сдвиг. 4 Рис. 2. Виды деформации: a – сжатие; b – растяжение; c – кручение; d – сдвиг; e – изгиб 5 Для выяснения закономерностей, связывающих силу и деформацию, рассмотрим растяжение однородного стального образца (стержня) вдоль его оси (рис. 3a). Сила 𝐹⃗, приложенная к стержню, вызовет деформацию (рис. 3b), которую количественно можно охарактеризовать удлинением стержня. Величина, равная разности длины стержня l после деформации и первоначальной длины l 0 , ∆𝑙 = 𝑙 − 𝑙 0 , (1) называется абсолютным удлинением. Относительным удлинением называется отношение абсолютного удлинения (1) к первоначальной длине стержня l 0 : ε = ∆𝑙 𝑙 0 (2) Рис. 3. Растяжение стального стержня Выделим в стержне элемент длиной l 1 (рис. 3a). После растяжения абсолютное удлинение этого элемента стержня составит Δl 1 (рис. 3b). Если материал стержня однороден, то относительное удлинение (2) и величина, 6 равная ∆𝑙 1 𝑙 1 ⁄ , будут одинаковыми для любого выбранного элемента стержня. Поэтому относительное удлинение (2) является однозначной характеристикой деформации. Под действием силы 𝐹⃗ в стержне возникнут внутренние силы, с которыми будут действовать друг на друга элементы стержня. Вырежем мысленно из стержня произвольный элемент (рис. 3с). В силу того, что рассматриваемый элемент стержня покоится, силы 𝐹⃗ 𝑖−1 и 𝐹⃗ 𝑖+1 , действующие на элемент стержня со стороны соседних элементов, равны по модулю и равны модулю силы 𝐹. Так как это условие справедливо для любого элемента стержня, то в любом поперечном сечении стержня возникают силы, равные F. Если материал стержня однороден, то можно считать, что сила равномерно распределена по поверхности S (рис. 3с) поперечного сечения. Величина силы, действующей на единицу площади поперечного сечения, называется напряжением: σ = 𝐹 𝑆 (3) На рис. 4 представлена диаграмма растяжения стального образца [1]. На этой диаграмме необходимо отметить ряд точек – A, B, C, D, E, S. Рис. 4. Диаграмма растяжения Начальный участок диаграммы OA – прямая линия. На этом участке напряжения σ в образце прямо пропорциональны деформации ε: σ = 𝐸ε. (4) 7 Зависимость (4) носит название закона Гука. Постоянный коэффициент пропорциональности E называется модулем Юнга и является характеристикой материала. Напряжение σ как функция деформации ε может быть разложена в ряд Тейлора: σ = σ(ε = 0) + 𝑑σ 𝑑ε | ε=0 ε + 𝑑 2 σ 𝑑ε 2 | ε=0 ε 2 + ⋯ (5) Первое слагаемое в (5) равно нулю в силу того, что при отсутствии напряжения деформации нет. Для малых деформаций всегда можно ограничиться линейным членом в ряду (5), что и является законом Гука (4), поэтому область пропорциональности присутствует всегда, однако из закона Гука нельзя определить, как велика эта область. Точке A соответствует напряжение σ п – предел пропорциональности. Пределом пропорциональности называется наибольшее напряжение, при котором деформация в материале прямо пропорциональна нагрузке. Выше точки A диаграмма искривляется, закон Гука нарушается. Очень близко к точке A на криволинейном участке диаграммы можно отметить точку B, соответствующую пределу упругости σ у . Пределом упругости называется наибольшее напряжение, при котором в материале возникает только упругая деформация. Упругой деформацией называется деформация, при которой после прекращения действия внешних сил тело полностью восстанавливает свои первоначальные размер и форму. Выше точки B лежит область неупругих или пластических деформаций. При пластической деформации после снятия нагрузки тело уже не восстановит свою первоначальную форму. Начиная от точки С, диаграмма имеет горизонтальный (или почти горизонтальный) участок, которому соответствует предел текучести σ Т . На этом участке деформации растут без увеличения нагрузки – материал течет (удлинение растёт при неизменной силе деформации). Пределом текучести называется минимальное напряжение, при котором деформация возрастает без заметного увеличения нагрузки. Горизонтальный участок диаграммы CD называют площадкой текучести. Точке Е диаграммы соответствует напряжение σ в – предел прочности. Пределом прочности называется наибольшее напряжение, которое выдерживает материал, не разрушаясь. До достижения предела прочности продольные и поперечные деформации образца равномерно распределяются по его длине. После достижения точки Е диаграммы эти деформации концентрируются в одном наиболее слабом месте, где начинает образовываться шейка – местное значительное сужение образца. С этого момента продольная деформация зависит уже не столько от длины образца, сколько от его диаметра. За точкой Е напряжение σ падает, что объясняется уменьшением поперечного сечения шейки, и происходит разрыв образца. Этому на диаграмме соответствует точка S и напряжение σ р – истинное сопротивление разрыву. 8 На рис. 5a представлены диаграммы растяжения и сжатия для стали [1]. Начальный участок этих зависимостей – прямая линия. Точке A соответствует предел пропорциональности материала, рядом с которым лежит предел текучести. При растяжении и сжатии предел пропорциональности и текучести для стали совпадают. Как можно заметить, при сжатии нет заметной площадки текучести. Объясняется это тем, что при сжатии за пределом текучести растут пластические деформации, происходит быстрое увеличение поперечного сечения. Образец принимает бочкообразную форму и может быть сплющен в диск. Разорвать на две части образец не удаётся. Поэтому особенно важное значение имеют именно испытания материалов на растяжение, при которых наиболее полно выявляются механические свойства материалов. Рис. 5. Диаграммы растяжения и сжатия для: a – стали, b – чугуна В качестве примера на рис. 5b представлены диаграммы растяжения и сжатия для чугуна [1]. Как можно заметить, для чугуна нет выраженной площадки текучести в отличие от стали. Материалы с площадкой текучести называются пластическими, материалы без площадки текучести – хрупкими. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ Экспериментальная установка показана на рис. 6. Верхний конец проволоки укреплён на кронштейне A, нижний помещён в оправу D и зажат винтом B (рис. 3a). При растяжении проволоки смещается оправа D, соединённая с рычагом С, который может поворачиваться на шарнире О. Рычаг не позволяет проволоке раскачиваться. К оправе D прикреплена миллиметровая шкала (рис. 3с). Груз P, растягивающий проволоку, помещается на платформу F (груз массой 1620 г всегда лежит на платформе и служит для выпрямления проволоки). 9 Рис. 6. Экспериментальная установка: a – схема; b – общий вид; c – миллиметровая шкала; d – измерительный микроскоп; e – миллиметровая и окулярная шкалы 10 Так как при изменении нагрузки изменяется прогиб кронштейна А, то смещение нижнего конца проволоки не равно ее удлинению. Чтобы избежать этого, к кронштейну прикреплены проволоки, на которых могут подвешиваться грузы Q. При измерении грузы P и Q меняются так, чтобы их сумма оставалась постоянной. Тогда прогиб кронштейна будет постоянным, и смещение нижнего конца проволоки будет равно её удлинению. Удлинение проволоки определяется по смещению одного из делений шкалы оправы D. Измерение смещения производят измерительным микроскопом (рис. 3d). В фокальной плоскости окуляра измерительного микроскопа помещена шкала. Чтобы можно было определить размер предмета при помощи микроскопа, необходимо определить цену деления шкалы окуляра. Для этого микроскоп фокусируют на предмет, размер которого известен. В качестве такого предмета берут деления миллиметровой шкалы (рис. 3e). Подсчитывают число делений m окулярной шкалы, укладывающихся в n делениях шкалы, видимой в микроскоп. Цена деления измерительного микроскопа b определяется следующим выражением: 𝑏 = 𝑛 𝑚 𝑎, (6) где а– цена деления известной шкалы (в случае миллиметровой шкалы a = 1мм). ЗАДАНИЯ 1. Рассчитать, при какой нагрузке стальная проволока не выйдет из области линейной упругости. 2. Определить цену деления измерительного микроскопа. 3. Определить диаметр проволоки d с помощью микрометра, проведя измерения не менее пяти раз в различных сечениях. Определить длину проволоки l 0 с помощью рулетки. 4. Снять зависимость удлинения проволоки от массы нагрузки. Измерения проводить, перемещая грузы Q поочередно на платформу F, записывая удлинение ∆𝑁 𝑖↑ в делениях микроскопа. Провести аналогичные измерения ∆𝑁 𝑖↓ , постепенно снимая грузы P с платформы F. Количество циклов «нагрузки – разгрузки» должно быть не менее двух. В таблице 1 приведён пример записи результатов эксперимента в протокол. Таблица 1. Результаты измерений 11 m i , г 1 цикл 2 цикл … ∆𝑁 𝑖↑ , дел. ∆𝑁 𝑖↓ , дел. ∆𝑁 𝑖↑ , дел. ∆𝑁 𝑖↓ , дел. ∆𝑁 𝑖↑ , дел. ∆𝑁 𝑖↓ , дел. m 1 … m n Особые указания. При измерении грузы P и Q меняются так, чтобы их сумма оставалась постоянной! Нельзя грузы снимать с установки и класть на стол! Грузы имеют форму цилиндров с прорезью (рис. 7). При надевании грузов на платформы следует прорези на соседних грузах разворачивать на 180º друг относительно друга (для сохранения осевой симметрии нагрузки). Рис. 7. Лабораторный груз 5. Для каждой массы определить среднее значение удлинения ∆𝑁 𝑖 ̅̅̅̅̅ и его абсолютную погрешность. 6. Построить график экспериментальной зависимости ∆𝑁 ̅̅̅̅ от m. Для экспериментальных точек указать погрешности. 7. Определить, носит ли зависимость ∆𝑁 ̅̅̅̅ от m линейный характер. 8. Методом наименьших квадратов [2] определить угловой коэффициент k зависимости ∆𝑁 ̅̅̅̅ от m и его погрешность. На графике отобразить аппроксимирующую прямую. 9. Закон Гука (4) можно переписать следующим образом: ∆𝑁 = 4𝑔𝑙 0 𝜋𝑑 2 𝐸𝑏 𝑚, (7) где g – ускорение свободного падения, l 0 – длина проволоки в нерастянутом состоянии, d – диаметр проволоки, E – модуль Юнга, b – цена деления измерительного микроскопа. 12 Тогда модуль Юнга с помощью (7) и углового коэффициента k, определённого методом наименьших квадратов, можно рассчитать следующим образом: 𝐸 = 4𝑔𝑙 0 𝜋𝑑 2 𝑘𝑏 𝑚. (8) Для расчёта погрешности модуля Юнга (8) следует использовать относительные погрешности измеренных величин [2]. 10. Определить по справочным данным материал исследуемой проволоки. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что такое деформация? Виды деформации. 2. Количественные характеристики деформации. 3. Поясните диаграмму растяжения. 4. Размерность модуля Юнга в системе СИ. 5. Получите выражение (8). 6. Запишите формулу для расчёта относительной погрешности модуля Юнга (8). Какая из экспериментально определяемых величин вносит наибольший вклад в погрешность определения модуля Юнга? 7. Постройте ход лучей в микроскопе. Укажите на этой схеме положение окулярной шкалы. 8. Постройте графики зависимости нормального напряжения 𝜎 = 𝑓(𝑥), возникающего в сечении однородного цилиндра массы m, длины l с площадью поперечного сечения S для случаев, изображенных на рис. 8. Рис. 8. Однородный цилиндр СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 13 1. Лабораторные работы по курсу сопротивления материалов: Метод. указания / Сост.: А.Х. Валиуллин, М.Н. Серазутдинов, С.Г. Сидорин, Ф.С. Хайруллин. – Казань: Казан. нац. исслед-кий технол. ун-т; 2011. – 64 с. 2. Фаддеев, М. А. Элементарная обработка результатов эксперимента: учеб. пособие / М. А. Фаддеев. – Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2004. – 120 с. СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Хайкин, С.Э. Физические основы механики. – М.: Наука, 1971. – 752 с. 2. Стрелков, С.П. Механика: учеб. пособие — Санкт-Петербург: Лань, 2005. — 560 с. 3. Физические величины: Справочник / А.П. Бабичев, Н.А. Бабушкина, А.М. Братковский и др.; Под.ред. И.С. Григорьева, Е.3. Мейлихова. — М.: Энергоатомиздат, 1991. — 1232 с. 4. Раскатов, В.М. Машиностроительные материалы: краткий справочник / В.М. Раскатов, В.С. Чуенков, Н.Ф. Бессонова, Д.А. Вейс. – М.: Машиностроение, 1980. – 511 с. 14 ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица П1. Модули Юнга E для различных материалов [П1] Материал E, ГПа Материал E, ГПа Серый чугун 14-16 Каменная кладка: Ковкий чугун 155 Из гранита 9-10 Углеродистые стали 200-210 Из известняка 6 Сталь высокопрочная 210-220 Из кирпича 2,7-3,0 Медь (прокат) 110 Бетон на пределе прочности, Мпа: Холоднотянутая медь 130 10 14,6-19,6 Медь (литье) 84 15 16,4-21,4 Фосфористая бронза (прокат) 115 20 18,2-23,2 Холоднотянутая латунь 91-99 Дерево (сосна, ель): Марганцовистая бронза (прокат) 110 Вдоль волокон 10-12 Алюминий (прокат) 69 Поперек волокон 0,5-1,0 Алюминиевая бронза 5 Каучук 0,008 Дюралюминий (прокат) 71 Текстолит 6-10 Цинк (прокат) 84 Гетинакс 10-17 Свинец 17 Бакелит 4,3 Стекло 56 Висхомлит 4,0-4,2 Гранит 49 Целлулоид 1430-2750 Известняк 42 Мрамор 56 Песчаник 18 15 Таблица П2. Характеристики прочности и пластичности для некоторых конструкционных материалов [П2] Материал Предел текучести, МПа Предел прочности, МПа растяжение сжатие растяжение сжатие Сталь малоуглеродистая 250 250 390 - Сталь 30 незакалённая 330 330 530 - Сталь 30 закалённая 1030 900 1100 - Сталь 45 незакалённая 370 370 620 - Сталь 45 закалённая 1040 970 1080 - Сталь 30ХГСА закалённая 1400 1400 1620 - Сталь 40ХНВ закалённая 1720 2100 205 - Чугун серый СЧ 28 140 310 150 640 Медь отожжённая 55 55 220 - Медь прутковая 250 250 270 - Дюралюминий 340 340 540 - Текстолит 75 115 130 170 Резина - - 0,04 - Сосна вдоль волокон - - 80 40 Кирпич - - 0,3-0,07 3,0-0,7 Бетон - - 8,0-1,0 17,0-8,5 16 Таблица П3. Модули Юнга E и пределы упругости для различных материалов [П3] Материал E, ГПа σ у , кг/мм 2 Алюминий 63-75 5 Бронза 106 10 Дерево 4-18 - Железо кованое 200-220 20 Сталь 200-220 20-150 Инвар 140 50 Чугун серый 75-130 6 Чугун белый 180 - Золото 70-95 - Кварц плавленый 60 - Константан 166 30 Латунь 80-100 до 13 Магналий 70 6 Манганин 126 - Медь 100-130 0,5-20 Нейзильбер 110 - Никель 200-220 9 Олово 40-55 - Платина 160-175 - Свинец 15-17 - Серебро 70-80 15 Стекло 50-80 - Тантал 190 - Цинк 80-130 - СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ П1. Справочные сведения по курсу «Сопротивление материалов». Метод. указания / Казан. гос. технол. ун-т; Сост.: М.Н. Серазутдинов, К.А. Абдулхаков, В.М. Котляр, М.Н. Убайдуллоев. – Казань, 2007. – 50 с. П2. Лабораторные работы по курсу сопротивления материалов: Метод. указания / Сост.: А.Х. Валиуллин, М.Н. Серазутдинов, С.Г. Сидорин, Ф.С. Хайруллин. – Казань: Казан. нац. исслед-кий технол. ун-т, 2011. – 64 с. П3. Физический практикум: механика и молекулярная физика: / под ред. проф. В.И. Ивероновой; сост. А.Г. Белянкин, Г.П. Мотулевич, Е.С. Четверикова, И.А. Яковлев. – М.: Наука, 1967. – 352 с. Анастасия Петровна Гажулина ИЗУЧЕНИЕ УПРУГИХ СВОЙСТВ ТВЁРДЫХ ТЕЛ Практикум Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23. |