Контрольная термех. Динамика вариант 14. Расчётнографическая работа по разделу Динамика
![]()
|
Балтийский государственный технический университет «Военмех» им. Д.Ф. Устинова Кафедра теоретической механики и баллистики Расчётно-графическая работа №___ по разделу «Динамика» Вариант № 14 Выполнил:__________________ Группа_______ Проверил:___________________ Санкт-Петербург 20__ Задание 1 Материальная точка М движется относительно стержня АВ (цилиндрический канал АВ). Движение стержня АВ задано. Определить движение точки М относительно стержня и давление, производимое ею на стенки стержня. Данные, необходимые для решения задач, приведены в таблице, где ![]() ![]() ![]() l – длина недеформированной пружины, ![]() ![]() ![]()
Оси ![]() ![]() Переносное движение – вращение вокруг горизонтальной оси. В начальный момент времени пружина не напряжена. Ход решения Решение. Дано: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 1 Рис. 2 Система отсчёта, оси координат приведены на рис. 1, действующие силы на рис.2. Подвижную систему координат ![]() ![]() ![]() Стержень равномерно вращается вокруг неподвижной оси ![]() 1) сила тяжести ![]() 2) сила упругости пружины ![]() ![]() 3) реакция трубки ![]() ![]() ![]() ![]() Для определения давления материальной точки на стенки стержня необходимо найти силу реакции стержня: ![]() Трубка вращается равномерно, поэтому переносное ускорение имеет только осестремительную составляющую ![]() Переносная сила инерции направлена от оси вращения и её модуль равен ![]() Кориолисова сила инерции ![]() ![]() ![]() ![]() С учетом всех названных сил, согласно основному уравнению динамики в подвижной системе координат ![]() ![]() В проекциях на оси подвижной системы координат ![]() ![]() Учитывая, что ![]() ![]() ![]() Первое уравнение равносильно: ![]() Численное значение ![]() Если обозначить ![]() ![]() Мы получили неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решение складывается из общего решения однород- ного уравнения х11 и частного решения неоднородного уравнения х12: х1 =х11 + х12. Найдём общее решение однородного уравнения. Характеристическое уравнение имеет вид ![]() ![]() Для нахождения частного решения дифференциальногом уравнения, обусловленного членом – ![]() ![]() ![]() ![]() Решим эту систему уравнений методом Крамера: ![]() ![]() ![]() ![]() где С1– постоянная интегрирования; ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Далее частное решение, обусловленное постоянным членом ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, решение для х1 имеет вид ![]() ![]() Подставив начальные условия ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Подставив константы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда сила реакции стержня равна: ![]() Подставив данные, получим закон движения точки в неинерциальной системе отсчёта ![]() ![]() Получаем величину силы реакции трубки ![]() Задание 3 В ![]() Рис.3 Схема редуктора ![]() Рис.4 Схема груза Параметры редукторов
Параметры поднимаемого груза
Кинематический расчет редуктора. В редукторе вращение ведущего вала с угловой скоростью ω1 передается на ведомый вал 2 следующим образом. Водило 3, вращаясь с угловой скоростью ω1, приводит в движение систему шестерен 4, 6, закрепленных на общей оси 4-6. Шестерня 4 находится в зацеплении с опорной шестерней 5. Подвижные шестерни 4, 6 совершают спинное движение: вращаясь вокруг оси 4-6 (относительное движение), вместе с этой осью вращение переносится водилом вокруг центральной оси 1-2 редуктора (переносное движение); шестерня 7 находясь в зацеплении с осью 4-6, приводит в движение ведомый вал 2. Расчет кинематики редуктора проводится методом мгновенного центра скоростей. Пусть угловая скорость ведущего вала ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() или ![]() Из (2) и (3) находим скорость абсолютного вращения: ![]() Для определения угловой скорости вращения шестерни 7, и следовательно, и угловой скорости ведомого вала 2 воспользуемся тем, что абсолютные скорости точек шестерен 6 и 7 в точке С их зацепления равны между собой, поскольку нет относительного проскальзывания: ![]() Таким образом, ![]() или учитывая, что ![]() ![]() Передаточное число редуктора ![]() или ![]() Расчет кинетической энергии системы.Кинетическая энергия редуктора вместе с барабаном складывается из энергии ведущего вала и ведущей шестерни 3 ![]() ![]() Водило и вал 1 вращаются вокруг неподвижной оси и их кинетическая энергия ![]() Шестерни 4-6 совершают сложное движение. Поэтому кинетическую энергию шестеренок 4 и 6 найдем как половину произведения момента инерции относительно мгновенной оси вращения и квадрата абсолютной угловой скорости (4). Момент инерции относительно мгновенной оси вращения определяется с помощью теоремы Штейнера ![]() В итоге, ![]() Шестерня 7 с ведомым валом и барабаном вращаются вокруг неподвижной оси и их кинетическая энергия равна ![]() Суммарная кинетическая энергия лебедки ![]() Кинетическая энергия груза определяется по теореме Кенига ![]() где ![]() ![]() rбар – радиус барабана. барабан ![]() R ![]() Рис. 4. Барабан и поднимаемый груз (вид сбоку) Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий лебедки и груза: ![]() ![]() где ![]() Вычисление элементарной работы сил, действующих на систему. Работа сил на элементарном перемещении при движении груза без проскальзывания складывается из работы момента, приложенного к барабану, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 5 Плоское движение груза Таким образом, ![]() Отметим, что только работа момента ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Из соотношений (6) и (14) ![]() ![]() ![]() здесь ![]() ![]() ![]() и, следовательно, ![]() Формула для элементарной работы переписывается следующим образом: ![]() Момент ![]() ![]() ![]() Сила трения качения ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() Так как ![]() ![]() ![]() Для нахождения зависимости ![]() Дифференциал кинетической энергии имеет вид ![]() Подставим выражения (19) и (22) в теорему об изменении кинетической энергии ![]() ![]() ![]() которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными и имеет аналитическое решение ![]() где ![]() ![]() Натяжение свободного участка троса в зависимости от времени.Для нахождения силы натяжения троса F применим теорему об изменении кинетического момента для груза относительно мгновенного центра скоростей – точки ![]() ![]() Здесь использовали теорему Штейнера для определения момента инерции относительно оси, проходящей через точку ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задание 4 В дифференциальной передаче, расположенной в горизонтальной плоскости, к водилу O1O2 приложен постоянный вращающий момент M. Шестерня 1 весом Q и радиусом R свободно насажена на общую с водилом ось O1 и может вращаться вокруг нее независимо от водила. С шестерней 1 во внешнем зацеплении находится шестерня 2 весом Q и радиусом r. Считая водило однородным стержнем весом P, а шестерни однородными дисками и пренебрегая трением, определить угловые ускорения водила и шестерни 1. За обобщенные координаты принять углы поворота водила ψ и шестерни 1φ. ![]() Тела, входящие в систему: шестерня 1 совершает вращательное движение вокруг оси O1, водило и шестерня 2 вращаются вокруг O1. 2. Число степеней свободы s = 2. 3. Обобщенные координаты: q1 = ψ – угол поворота водила, q2 = ![]() ![]() ![]() 4. Уравнения Лагранжа второго рода: ![]() ![]() 5. Кинетическая энергия системы ![]() Кинетическая энергия водила: ![]() ![]() Кинетическая энергия шестерни 1: ![]() ![]() Кинетическая энергия шестерни 2: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() и ![]() Кинетическая энергия системы будет определяться выражением ![]() Касательная составляющая силы реакции действующей на шестерню 2 со стороны шестерни 1: ![]() Обобщенная сила соответствующая обобщенной координате ![]() ![]() ![]() Обобщенная сила соответствующая обобщенной координате ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() для углового ускорения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |