Производная функции. Правила дифференцирования Производная сложной функции Производная неявно заданной функции Логарифмическое дифференцирование Определение производной

• Название: Правила дифференцирования Производная сложной функции Производная неявно заданной функции Логарифмическое дифференцирование Определение производной
• Дата: 06.11.2021
• Размер: 0.95 Mb.
• Имя файла: Производная функции.ppt
• Тип: Правила; #264561

Производная функции

Определение производной
Геометрический смысл производной
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
Производные основных элементарных функций
Правила дифференцирования
Производная сложной функции
Производная неявно заданной функции
Логарифмическое дифференцирование

Определение производной

Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b).


Аргументу x придадим некоторое приращение :


y


0


х




х




f(x )




x+Δx




f(x+ Δx )




Найдем соответствующее приращение функции:






Если существует предел


то его называют производной функции y = f(x) и обозначают одним из символов:

Определение производной

Итак, по определению:


Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой точке интервала (a; b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.


Значение производно функции y = f(x) в точке x0 обозначается одним из символов:


Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс, то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический смысл производной.


Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1:


y


0


х




х




f(x )




x+Δx








М


М1




f(x+ Δx )




Через точки М и М1 проведем секущую и обозначим через φ угол наклона секущей.


φ


При в силу непрерывности функции также стремится к нулю, поэтому точка М1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1 переходит в касательную.




y


0


х


х




f(x )


α






М






Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x.




Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).


Уравнение прямой с угловым коэффициентом:










Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.




Уравнение касательной


Уравнение нормали

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в ней.


Теорема


Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке х, следовательно существует предел:


Доказательство:


где


при


По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции




Функция y = f(x) – непрерывна.


Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может не иметь производной.


1


Формула бинома Ньютона:


Степенная функция:


Придадим аргументу x приращение , тогда функция получит приращение:




K – факториал


По формуле бинома Ньютона имеем:


Тогда:




2


Логарифмическая функция:






Аналогично выводятся правила дифференцирования других основных элементарных функций.

Правила дифференцирования

Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции, С – постоянная.

Производная сложной функции

Пусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.


Теорема


Если функция u = φ(x) имеет производную в точке x а функция y = f(u) имеет производную в соответствующей точке u , то сложная функция имеет производную , которая находится по формуле:




Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько:

Пример

Вычислить производную функции

Пример

Вычислить производную функции




Данную функцию можно представить следующим образом:


Коротко:


Если функция задана уравнением y = f(х) , разрешенным относительно y, то говорят, что функция задана в явном виде.


Для нахождения производной неявно заданной функции необходимо продифференцировать уравнение по х, рассматривая при этом y как функцию от х, и полученное выражение разрешить относительно производной.


Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения не разрешенного относительно y:










В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать.


Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.




















Функция называется степенно – показательной.




















Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции.


Производная такой функции находится только с помощью логарифмического дифференцирования.