Тесты по математике с решением. Правила дифференцирования
 Скачать 0.67 Mb.
|
|
Тема: Правила дифференцирования Производная функции равна … Решение: Для нахождения производной необходимо воспользоваться правилами , , , где c – постоянная величина, а U и V – некоторые функции, зависящие от x, и формулами Тогда получим
Решение: Напоминаем, что производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. Тогда имеем Пусть . Получим ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Дифференциал функции Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке можно использовать формулу где приращение функции в точке Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения и выбираются так, чтобы можно было вычислить и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда приближенное значение выражения равно … Решение: . Так как , то можно рассмотреть функцию Пусть тогда Имеем: По формуле получим: ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции Функция имеет на отрезке наибольшее значение, равное … Решение: Заметим, что функция непрерывна на отрезке . Найдем производную В данном задании критическими являются точки, в которых производная равна нулю. То есть . Корнями полученного уравнения являются и Обращаем внимание на то, что точка не принадлежит отрезку Вычислим значения функции в точке и на концах данного отрезка. Наибольшее значение функции на указанном промежутке равно 10. ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Экстремум функции Для функции точка минимума равна … Решение: Заметим, что . Для отыскания точек экстремума нужно найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. Из полученного уравнения имеем Отметим эти точки на числовой прямой. Напоминаем, что в точке функция не существует. Найдем знак производной на каждом из получившихся промежутков. Точки и являются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак. – точка минимума, так как производная меняет знак с «-» на «+». ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Действия над множествами Пусть на рисунке изображены множества и Тогда заштрихованная область соответствует множеству … ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Прямое произведение двух множеств Пусть , . Тогда прямое произведение равно … Решение: Прямое произведение содержит множество упорядоченных пар вида , в которых x пробегает все значения из множества A, а y – все значения из множества B, тогда ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Основные понятия теории множеств Даны множества нечетное и Тогда верными будут утверждения …
Решение: Обращаем внимание, что множества заданы с помощью характеристического свойства. Зададим их перечислением элементов. Получим и . Тогда очевидно, что утверждения и «множество A бесконечно» являются верными, а утверждения и являются ложными. ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Числовые множества Числовые множества – это множества, элементами которых являются числа. Примеры таких множеств: R – множество действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых чисел, N – множество натуральных чисел. Пусть дано множество , тогда верными будут утверждения …
Решение: Элементами множества A являются целые числа. Значит, справедливы утверждения, что и . Так как отрицательные числа не являются натуральными, то неверно. Неверным является и , так как множество A содержит в себе всего три числа. ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Способы задания множеств, конечные и бесконечные множества Даны множества и Тогда верными будут утверждения …
Решение: Обращаем внимание, что множества заданы с помощью характеристического свойства. Зададим их перечислением элементов. Элементы множества A являются корнями уравнения . Решим его, получим . Значит, и утверждение ложное. Аналогично получим . Для множеств A и B элемент 3 является общим, значит, утверждение истинное. По этой же причине утверждение ложное. Объединение множеств содержит все элементы, которые содержатся в каждом из них, поэтому утверждение истинное. ЗАДАНИЕ N 12 Тема: Действия над конечными множествами Даны множества и . Тогда равно …
ЗАДАНИЕ N 13 Тема: Первый замечательный предел равен … Решение: Напоминаем, что для вычисления предела функции нужно воспользоваться первым замечательным пределом и соотношением . Для этого необходимо выполнить замену переменной откуда Учитывая, что при , получаем ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Предел функции в точке Предел функции равен … Решение: Напоминаем, что для вычисления предела многочлена при достаточно вместо переменной поставить значение , к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия: ЗАДАНИЕ N 15 Тема: Способы задания числовых последовательностей Дана числовая последовательность Установите соответствие между номером и соответствующим членом данной последовательности.
Решение: Для того чтобы найти определенный член последовательности, нужно вместо в данное равенство подставить его номер. ЗАДАНИЕ N 16 Тема: Второй замечательный предел ЗАДАНИЕ N 17 Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль" равен … Решение: Обращаем внимание, что предел данной функции нельзя вычислить непосредственной подстановкой предельного значения аргумента в выражение, так как при этом получается неопределенность вида . Поэтому нужно преобразовать функцию, используя формулу разности квадратов . Имеем: Сократив полученную дробь на критический множитель , и подставив предельное значение аргумента в оставшееся выражение, получим ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность" равен … Решение: Обращаем внимание, что так как и то в данном случае имеет место неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно разделить каждое слагаемое числителя и знаменателя на (наивысшую степень в данной дроби). Тогда, зная, что , получим: ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов Неопределенный интеграл равен … Решение: Обращаем внимание, что подстановка приводит рассматриваемый интеграл к табличному: Для этого нужно найти дифференциал от обеих частей подстановки: . Подставляя получившиеся выражения в исходный интеграл, получаем Заменив его выражением из подстановки, имеем ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Неопределенный интеграл Неопределенный интеграл равен … ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Геометрические приложения определенного интеграла Площадь фигуры, изображенной на заданном рисунке, равна … Решение: Обращаем внимание, что площадь данной плоской фигуры вычисляется по формуле Тогда Получаем, что площадь фигуры равна (кв. ед.). ЗАДАНИЕ N 22 Тема: Свойства определенного интеграла Определенный интеграл равен … Решение: Обращаем внимание, что используя свойства интеграла и , исходный интеграл можно представить в виде разности двух выражений и, применяя формулу Ньютона – Лейбница , получим: ЗАДАНИЕ N 23 Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница Определенный интеграл равен … Решение: Напоминаем, что формула Ньютона – Лейбница имеет вид В нашем случае, используя формулу , имеем ЗАДАНИЕ N 24 Тема: Физические приложения определенного интеграла Скорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за время от второй секунды до четвертой секунды движения, равен … Решение: Напоминаем, что путь , пройденный телом за отрезок времени от до , движущимся прямолинейно со скоростью , вычисляется по формуле: . Тогда, используя условие, имеем: ЗАДАНИЕ N 25 Тема: Элементы комбинаторики Автомобилю может быть присвоен номер, состоящий из 4 цифр: 1, 3, 5, 7. Цифры в номере повторяться не могут. Тогда максимальное количество автомобилей, которым могут быть присвоены такие номера, равно … Решение: Число различных номеров из 4 цифр: 1, 3, 5, 7, в которых каждая цифра встречается ровно один раз, равно числу перестановок из четырех элементов: ЗАДАНИЕ N 26 Тема: Классическое определение вероятности В урне 10 шаров, имеющих номера: 1, 2, …, 10. Наугад вынутый шар имеет номер, кратный 3, с вероятностью, равной … Решение: Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа благоприятных для А исходов к числу всех равновозможных исходов. По условию задачи число благоприятных исходов, то есть количество выпадений номеров, кратных 3: 3, 6 и 9, равно 3. Число всех равновозможных исходов равно 10, тогда ЗАДАНИЕ N 27 Тема: Объем выборки Объем выборки, заданной статистическим распределением , равен … Решение: Случайная величина Х принимает некоторое значение 120 раз, второе значение − 180 раз, третье значение − 205 раз и четвертое значение 95 раз. Тогда 120 + 180 + + 205 + 95 = 600 – объем выборки. ЗАДАНИЕ N 28 Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее Выборочное среднее для вариационного ряда равно … ЗАДАНИЕ N 29 Тема: Математическое ожидание дискретной случайной величины Математическое ожидание М(Х) случайной величины, имеющей закон распределения вероятностей , равно … Решение: Воспользуемся формулой где – значение дискретной случайной величины; а – вероятность, с которой дискретная случайная величина принимает значение . Тогда ЗАДАНИЕ N 30 Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей В первой урне 2 белых и 3 черных шара, во второй − 4 белых и 6 черных шаров. Из каждой урны вынули по одному шару. Вероятность того, что оба вынутых шара будут белыми, равна … Решение: Пусть событие А означает, что из первой урны вынули белый шар, тогда Событие В означает, что из второй урны вынули белый шар, значит, События А и В являются независимыми. Тогда вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Классическое определение вероятности В урне 30 красных, 25 зеленых и 75 желтых шаров. Наугад вынутый шар окажется красным с вероятностью, равной … ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Объем выборки Объем выборки, заданной статистическим распределением , равен … Решение: Случайная величина Х принимает некоторое значение 120 раз, второе значение − 180 раз, третье значение − 205 раз и четвертое значение 95 раз. Тогда 120 + 180 + + 205 + 95 = 600 – объем выборки. ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Элементы комбинаторики Пин–код пластиковой карты состоит из 4 цифр: 4, 5, 6, 7. Если бы каждая цифра встречалась ровно один раз, то максимальное количество карт с такими кодами было бы равно … Решение: Число различных кодов, состоящих из 4 цифр: 4, 5, 6, 7, в которых каждая цифра встречается ровно один раз, равно числу перестановок из четырех элементов: ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Математическое ожидание дискретной случайной величины Математическое ожидание М(Х) случайной величины, имеющей закон распределения вероятностей , равно … ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее Выборочное среднее для вариационного ряда равно … Решение: Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки: Обращаем внимание, что значение «1» некоторая случайная величина принимает 2 раза, значение «4» – 2 раза, значение «8» – 5 раз и значение «10»− 1 раз. Тогда среднее арифметическое всех значений выборки равно ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей Первый спортсмен попадает в мишень с вероятностью , а второй – с вероятностью . Оба спортсмена стреляют одновременно. Вероятность того, что они оба промахнутся, равна … Решение: Если первый спортсмен попадает в мишень с вероятностью , то вероятность промаха равна . Аналогично вероятность промаха для второго спортсмена равна . Тогда вероятность совместного появления двух независимых событий (два промаха) равна произведению вероятностей этих событий: ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Правила дифференцирования Производная функции равна … ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Экстремум функции Для функции точка максимума равна … Решение: Заметим, что . Для отыскания точек экстремума нужно найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. Из полученного уравнения имеем Отметим эти точки на числовой прямой. Напоминаем, что в точке функция не существует. Найдем знак производной на каждом из получившихся промежутков. Точки и являются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак. – точка максимума, так как производная меняет знак с «+» на «-». ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Дифференциал функции Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке можно использовать приближенную формулу где приращение функции в точке Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения и выбираются так, чтобы можно было вычислить и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда приближенное значение выражения равно … Решение: .Так как , то можно рассмотреть функцию Тогда По формуле получим ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции Наименьшее значение функции на отрезке равно … Решение: Заметим, что функция непрерывна на отрезке . Найдем значения функции на концах отрезка: Найдем производную данной функции. Тогда Так как то нужно найти только Сравнивая значения и , определим, что наименьшее значение функции равно 1. ЗАДАНИЕ N 12 Тема: Производная функции в точке Если , то принимает значение, равное … Решение: Напоминаем, что производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. Тогда имеем . Пусть . Получим ЗАДАНИЕ N 13 Тема: Действия над конечными множествами Даны множества и . Тогда равно … ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Числовые множества Числовые множества – это множества, элементами которых являются числа. Примеры таких множеств: R – множество действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых чисел, N – множество натуральных чисел. Пусть дано множество , тогда верными будут утверждения …
Решение: Элементами множества A являются рациональные числа. Значит, справедливы утверждения, что и . Числа и являются рациональными и не принадлежат множеству целых и тем более натуральных чисел, поэтому два оставшихся утверждения ложные. ЗАДАНИЕ N 15 |