Тесты по математике с решением. Правила дифференцирования
 Скачать 0.67 Mb.
|
|
Тема: Прямое произведение двух множеств Пусть , . Тогда прямое произведение равно … Решение: Прямое произведение содержит множество упорядоченных пар вида , в которых x пробегает все значения из множества A, а y – все значения из множества B, тогда ЗАДАНИЕ N 16 Тема: Основные понятия теории множеств Даны множества четное и Тогда верными будут утверждения …
Решение: Обращаем внимание, что множества заданы с помощью характеристического свойства. Зададим их перечислением элементов. Получим и . Здесь элементы множества B являются корнями квадратного уравнения . Тогда очевидно, что утверждения и являются верными, а утверждения и «множество A конечно» являются ложными. ЗАДАНИЕ N 17 Тема: Действия над множествами Пусть на рисунке изображены множества и Тогда заштрихованная область соответствует множеству …
ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Способы задания множеств, конечные и бесконечные множества Даны множества и Тогда верными будут утверждения …
Решение: Обращаем внимание, что множества заданы с помощью характеристического свойства. Зададим эти же множества перечислением элементов. Получим и . Очевидно, что утверждение истинное, а ложное. Для множеств A и B элементы 3 и 4 являются общими. Значит, утверждение истинное. По этой же причине утверждение ложное. ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница Определенный интеграл равен … Решение: Напоминаем, что формула Ньютона – Лейбница имеет вид: Тогда, используя формулу , имеем: ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов Неопределенный интеграл равен … ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Физические приложения определенного интеграла Скорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за время от первой секунды до третьей секунды движения, равен … Решение: Напоминаем, что путь , пройденный телом за отрезок времени от до , движущимся прямолинейно со скоростью , вычисляется по формуле: . Тогда, используя условие, имеем: ЗАДАНИЕ N 22 Тема: Свойства определенного интеграла Определенный интеграл равен … Решение: Обращаем внимание, что используя свойства интеграла и , исходный интеграл можно представить в виде разности двух выражений и, применяя формулу Ньютона – Лейбница , получим: ЗАДАНИЕ N 23 Тема: Неопределенный интеграл Неопределенный интеграл равен … ЗАДАНИЕ N 24 Тема: Геометрические приложения определенного интеграла Площадь фигуры, ограниченной параболой и осью ОХ, равна … Решение: Обращаем внимание, что площадь данной плоской фигуры вычисляется по формуле В данной задаче сначала необходимо найти пределы интегрирования (точки пересечения параболы с осью ОХ): Тогда Площадь фигуры равна (кв. ед.). ЗАДАНИЕ N 25 Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность" Решение: Так как и то имеет место неопределенность вида Для ее раскрытия нужно разделить каждое слагаемое числителя и знаменателя на . Тогда, зная, что получим: ЗАДАНИЕ N 26 Тема: Второй замечательный предел Решение: Функцию нужно преобразовать так, чтобы использовать второй замечательный предел, то есть формулу Для этого числитель и знаменатель дроби необходимо разделить на число , получим: Выполним замену переменной, полагая, что Если , то и , и, следовательно, ЗАДАНИЕ N 27 Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль" ЗАДАНИЕ N 28 Тема: Способы задания числовых последовательностей Дана числовая последовательность Установите соответствие между номером и соответствующим членом данной последовательности.
Решение: Для того чтобы найти определенный член последовательности, нужно вместо в данное равенство подставить его номер. ЗАДАНИЕ N 29 Тема: Предел функции в точке … ЗАДАНИЕ N 30 Тема: Первый замечательный предел Решение: Воспользуемся первым замечательным пределом и соотношением Выполним замену переменной откуда Учитывая, что при , получим: ЗАДАНИЕ N 31 Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль" равен … Решение: Обращаем внимание, что предел данной функции нельзя вычислить непосредственной подстановкой предельного значения аргумента в выражение, так как при этом получается неопределенность вида . Поэтому нужно преобразовать функцию, используя формулу разности квадратов . Имеем Сократив полученную дробь на критический множитель , и подставив предельное значение аргумента в оставшееся выражение, получим ЗАДАНИЕ N 32 Тема: Второй замечательный предел ЗАДАНИЕ N 33 Тема: Первый замечательный предел Решение: Воспользуемся первым замечательным пределом и соотношением Выполним замену переменной откуда Учитывая, что при , получим: ЗАДАНИЕ N 34 Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность" равен … ЗАДАНИЕ N 35 Тема: Предел функции в точке … ЗАДАНИЕ N 36 Тема: Способы задания числовых последовательностей Дана числовая последовательность Установите соответствие между номером и соответствующим членом данной последовательности.
Решение: Для того чтобы найти определенный член последовательности, нужно вместо в данное равенство подставить его номер. ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Основные понятия теории множеств Даны множества − нечетно и Тогда верными будут утверждения …
Решение: Имеем множества, заданные с помощью характеристического свойства. Зададим их перечислением элементов. Получим и . Тогда очевидно, что утверждения и «множество A бесконечно» являются верными, а утверждения и будут ложными. ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Действия над конечными множествами Даны множества и . Тогда равно … ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Действия над множествами Пусть на рисунке изображены множества и Тогда заштрихованная область соответствует множеству …
ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Прямое произведение двух множеств Пусть , . Тогда прямое произведение равно … ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Способы задания множеств, конечные и бесконечные множества Даны множества и Тогда верными будут утверждения …
Решение: Обращаем внимание, что множества заданы с помощью характеристического свойства. Зададим эти же множества перечислением элементов. Получим и . Очевидно, что утверждение истинное, а ложное. Для множеств A и B элементы 3 и 4 являются общими. Значит, утверждение истинное. По этой же причине утверждение ложное. ЗАДАНИЕ N 12 Тема: Числовые множества Числовые множества – это множества, элементами которых являются числа. Примеры таких множеств: R – множество действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых чисел, N – множество натуральных чисел. Пусть дано множество , тогда верными будут утверждения …
Решение: Элементами множества A являются целые числа. Значит, справедливы утверждения, что и . Так как отрицательные числа не являются натуральными, то утверждение ложное. Неверным будет и утверждение , так как множество A содержит в себе всего три целых числа. ЗАДАНИЕ N 43 Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции Функция имеет на отрезке наибольшее значение, равное … Решение: Заметим, что функция непрерывна на отрезке . Найдем производную В данном задании критическими являются точки, в которых производная равна нулю. То есть . Корнями полученного уравнения являются и Обращаем внимание на то, что точка не принадлежит отрезку . Вычислим значения функции в точке и на концах данного отрезка. Наибольшее значение функции на указанном промежутке равно 5. ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Дифференциал функции Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке можно использовать формулу где приращение функции в точке Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения и выбираются так, чтобы можно было вычислить и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда приближенное значение выражения равно … Решение: . Так как , то можно рассмотреть функцию Пусть тогда Имеем: По формуле получим: ЗАДАНИЕ N45 Тема: Экстремум функции Для функции точка минимума равна … Решение: Заметим, что . Для отыскания точек экстремума нужно найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. Из полученного уравнения имеем Отметим эти точки на числовой прямой. Напоминаем, что в точке функция не существует. Найдем знак производной на каждом из получившихся промежутков. Точки и являются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак. – точка минимума, так как производная меняет знак с «-» на «+». ЗАДАНИЕ N 16 Тема: Производная функции в точке Если , то принимает значение, равное … Решение: Напоминаем, что производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. Тогда имеем Пусть . Получим ЗАДАНИЕ N 17 Тема: Производная сложной функции Производная функции равна … ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Правила дифференцирования Производная функции равна … Решение: Для нахождения производной необходимо воспользоваться правилами , , , где c – постоянная величина, а U и V – некоторые функции, зависящие от x, и формулами Тогда получим ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей Имеются две коробки с лампочками. Вероятность вынуть бракованную лампочку из первой коробки равна . Вероятность вынуть бракованную лампочку из второй коробки равна . Наугад вынимают по одной лампочке из каждой коробки. Вероятность того, что обе лампочки окажутся качественными, равна … Решение: Пусть событие А означает, что из первой коробки вынимают одну качественную лампочку, тогда Событие В означает, что из второй коробки вынимают одну качественную лампочку, тогда . События А и В являются независимыми. Тогда вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Элементы комбинаторики Код замка состоит из 5 цифр: 4, 5, 6, 7, 8. Каждая цифра встречается ровно один раз. Тогда максимальное количество замков с такими кодами равно … Решение: Число различных кодов, состоящих из 5 цифр: 4, 5, 6, 7, 8, в которых каждая цифра встречается ровно один раз, равно числу перестановок из пяти элементов: ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Классическое определение вероятности Среди 10 изделий встречается 2 нестандартных. Наугад взятое изделие окажется стандартным с вероятностью, равной … Решение: Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа благоприятных для А исходов к числу всех равновозможных исходов. По условию задачи число благоприятных исходов, то есть число стандартных изделий, равно . Число всех равновозможных исходов равно 10, тогда ЗАДАНИЕ N 22 Тема: Объем выборки Объем выборки, заданной статистическим распределением , равен … Решение: Случайная величина Х принимает некоторое значение 120 раз, второе значение − 180 раз, третье значение − 205 раз и четвертое значение 95 раз. Тогда 120 + 180 + + 205 + 95 = 600 – объем выборки. ЗАДАНИЕ N 23 Тема: Математическое ожидание дискретной случайной величины Математическое ожидание М(Х) случайной величины, имеющей закон распределения вероятностей , равно … Решение: Обращаем внимание, что по определению Здесь – значение дискретной случайной величины; а – вероятность, с которой дискретная случайная величина принимает значение . Тогда ЗАДАНИЕ N 24 Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее Выборочное среднее для вариационного ряда равно … Решение: Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки: Обращаем внимание, что значение «3» некоторая случайная величина принимает 5 раз, значение «5» – 1 раз, значение «7» – 3 раза и значение «9» – 1 раз. Тогда среднее арифметическое всех значений выборки равно ЗАДАНИЕ N 25 Тема: Неопределенный интеграл Неопределенный интеграл равен … ЗАДАНИЕ N 26 Тема: Физические приложения определенного интеграла Скорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за 10 с от начала движения, равен … Решение: Напоминаем, что путь , пройденный за отрезок времени от до телом, движущимся прямолинейно со скоростью , вычисляется по формуле . Тогда, используя условие, имеем ЗАДАНИЕ N 27 Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов Неопределенный интеграл равен … Решение: Обращаем внимание, что подстановка приводит рассматриваемый интеграл к табличному: Для этого нужно найти дифференциал от обеих частей подстановки: , из которой выражается : . Подставляя получившиеся выражения в исходный интеграл, получаем Заменив его выражением из подстановки, имеем ЗАДАНИЕ N 28 Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница Определенный интеграл равен … ЗАДАНИЕ N 29 Тема: Геометрические приложения определенного интеграла Площадь фигуры, изображенной на заданном рисунке, равна … Решение: Обращаем внимание, что площадь данной плоской фигуры вычисляется по формуле Тогда Получаем, что площадь фигуры равна (кв. ед.). ЗАДАНИЕ N 30 Тема: Свойства определенного интеграла Определенный интеграл равен … Решение: Обращаем внимание, что используя свойства интеграла и , исходный интеграл можно представить в виде разности двух выражений и, применяя формулу Ньютона – Лейбница , получим: ЗАДАНИЕ N 71 Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции Наименьшее значение функции на отрезке равно … Решение: Заметим, что функция непрерывна на отрезке . Найдем значения функции на концах отрезка: Найдем производную данной функции. Тогда Так как то нужно найти только Сравнивая значения и , определим, что наименьшее значение функции равно 2. ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Производная функции в точке Если то принимает значение, равное … Решение: Напоминаем, что производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. Тогда имеем Пусть . Получим ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Экстремум функции Для функции точка максимума равна … Решение: Заметим, что . Для отыскания точек экстремума нужно найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. Из полученного уравнения имеем Отметим эти точки на числовой прямой. Напоминаем, что в точке функция не существует. Найдем знак производной на каждом из получившихся промежутков. Точки и являются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак. – точка максимума, так как производная меняет знак с «+» на «-». ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Производная сложной функции Производная функции равна … ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Правила дифференцирования Производная функции равна … ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Свойства определенного интеграла Определенный интеграл равен … Решение: Обращаем внимание, что, используя свойства интеграла и , исходный интеграл можно представить в виде суммы трех слагаемых; применяя формулу Ньютона – Лейбница , получим ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница Определенный интеграл равен … Решение: Напоминаем, что формула Ньютона – Лейбница имеет вид: Тогда, используя формулу , имеем: ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов Неопределенный интеграл равен … Решение: Обращаем внимание, что подстановка приводит рассматриваемый интеграл к табличному: Для этого нужно найти дифференциал от обеих частей подстановки: , из которой выражается : . Подставляя получившиеся выражения в исходный интеграл, получаем Заменив его выражением из подстановки, имеем ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Физические приложения определенного интеграла Скорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за 5 с от начала движения, равен … Решение: Напоминаем, что путь , пройденный за отрезок времени от до телом, движущимся прямолинейно со скоростью , вычисляется по формуле . Тогда, используя условие, имеем ЗАДАНИЕ N 12 Тема: Неопределенный интеграл Неопределенный интеграл равен … ЗАДАНИЕ N 13 Тема: Действия над множествами Пусть на рисунке изображены множества и Тогда заштрихованная область соответствует множеству …
ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Действия над конечными множествами Даны множества и . Тогда равно … ЗАДАНИЕ N 15 Тема: Способы задания множеств, конечные и бесконечные множества Даны множества и Тогда верными будут утверждения …
Решение: Обращаем внимание, что множества заданы с помощью характеристического свойства. Зададим эти же множества перечислением элементов. Получим и . Очевидно, что утверждение истинное, а ложное. Для множеств A и B элементы 3 и 4 являются общими. Значит, утверждение истинное. По этой же причине утверждение ложное. ЗАДАНИЕ N 16 Тема: Числовые множества Числовые множества – это множества, элементами которых являются числа. Примеры таких множеств: R – множество действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых чисел, N – множество натуральных чисел. Пусть дано множество , тогда верными будут утверждения …
Решение: Элементами множества A являются действительные числа, поэтому справедливо утверждение: но тогда справедливо и утверждение, что Так как не является целым и тем более натуральным числом, то два оставшихся утверждения ложные. ЗАДАНИЕ N 17 Тема: Прямое произведение двух множеств Пусть , . Тогда прямое произведение равно … ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Основные понятия теории множеств Даны множества кратно 3 и Тогда верными будут утверждения …
Решение: Имеем множества, заданные с помощью характеристического свойства. Зададим их перечислением элементов. Получим и . Здесь элементы множества B являются корнями квадратного уравнения . Тогда очевидно, что утверждения и «множество A бесконечно» являются верными, а утверждения и будут ложными. ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее Выборочное среднее для вариационного ряда равно … Решение: Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки: Обращаем внимание, что значение «1» некоторая случайная величина принимает 2 раза, значение «2» – 1 раз, значение «4» – 3 раза и значение «6» − 4 раза. Тогда среднее арифметическое всех значений выборки равно ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей Имеются две коробки с лампочками. Вероятность вынуть бракованную лампочку из первой коробки равна . Вероятность вынуть бракованную лампочку из второй коробки равна . Наугад вынимают по одной лампочке из каждой коробки. Вероятность того, что обе лампочки окажутся качественными, равна … Решение: Пусть событие А означает, что из первой коробки вынимают одну качественную лампочку, тогда Событие В означает, что из второй коробки вынимают одну качественную лампочку, тогда . События А и В являются независимыми. Тогда вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Классическое определение вероятности В урне 35 белых и 55 черных шаров. Наугад вынутый шар окажется белым с вероятностью, равной … Решение: Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа m элементарных событий (исходов), благоприятствующих событию А, к общему числу n равновозможных элементарных событий (исходов). В нашем случае число благоприятствующих событий равно 35 (количество белых шаров). Общее число событий . Тогда ЗАДАНИЕ N 22 Тема: Элементы комбинаторики Пароль состоит из 5 букв: a, b, c, d, e. Каждая буква встречается ровно один раз. Тогда максимальное количество возможных паролей равно … Решение: Число различных паролей, состоящих из 5 букв: a, b, c, d, e, в которых каждая буква встречается ровно один раз, равно числу перестановок из пяти элементов: ЗАДАНИЕ N 23 Тема: Объем выборки Объем выборки, заданной статистическим распределением , равен … Решение: Случайная величина Х принимает значение «1» − 25 раз, значение «2» − 22 раза, значение «3» − 18 раз и значение «4» − 15 раз. Тогда объем выборки. ЗАДАНИЕ N 24 Тема: Математическое ожидание дискретной случайной величины Математическое ожидание М(Х) случайной величины, имеющей закон распределения вероятностей , равно … Решение: Воспользуемся формулой где – значение дискретной случайной величины; а – вероятность, с которой дискретная случайная величина принимает значение . Тогда ЗАДАНИЕ N 25 Тема: Предел функции в точке Предел функции равен … ЗАДАНИЕ N 26 Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность" равен … ЗАДАНИЕ N 27 Тема: Способы задания числовых последовательностей Дана числовая последовательность Установите соответствие между номером и соответствующим членом данной последовательности.
Решение: Для того чтобы найти определенный член последовательности, нужно вместо в данное равенство подставить его номер. ЗАДАНИЕ N 28 Тема: Первый замечательный предел равен … ЗАДАНИЕ N 29 Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль" Решение: Если вместо переменной поставить значение 0, к которому она стремится, то получим неопределенность вида тогда ЗАДАНИЕ N 30 Тема: Второй замечательный предел ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Свойства определенного интеграла Определенный интеграл равен … Решение: Обращаем внимание, что, используя свойства интеграла и , исходный интеграл можно представить в виде разности двух выражений; применяя формулу Ньютона – Лейбница , получим ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов Неопределенный интеграл равен … ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница Определенный интеграл равен … Решение: Напоминаем, что формула Ньютона – Лейбница имеет вид В нашем случае, используя формулу , имеем ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Геометрические приложения определенного интеграла Площадь фигуры, ограниченной параболой и осью ОХ, равна … ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Неопределенный интеграл Неопределенный интеграл равен … Решение: Напоминаем, что постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: Тогда, используя формулу , получим ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Физические приложения определенного интеграла Скорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за 4 с от начала движения, равен … Решение: Напоминаем, что путь , пройденный за отрезок времени от до телом, движущимся прямолинейно со скоростью , вычисляется по формуле . Тогда, используя условие, имеем ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Действия над множествами Пусть на рисунке изображены множества и Тогда заштрихованная область соответствует множеству …
ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Основные понятия теории множеств Даны множества и Тогда верными будут утверждения …
ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Числовые множества Числовые множества – это множества, элементами которых являются числа. Примеры таких множеств: R – множество действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых чисел, N – множество натуральных чисел. Пусть дано множество , тогда верными будут утверждения …
Решение: Элементами множества A являются действительные числа, поэтому справедливо утверждение: но тогда справедливо и утверждение, что Так как не является целым и тем более натуральным числом, то два оставшихся утверждения ложные. ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Прямое произведение двух множеств Пусть , . Тогда прямое произведение равно … Решение: Прямое произведение содержит множество упорядоченных пар вида , в которых x пробегает все значения из множества A, а y – все значения из множества B, тогда ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Способы задания множеств, конечные и бесконечные множества Даны множества и Тогда верными будут утверждения …
Решение: Множества А и В заданы с помощью характеристического свойства. Зададим их перечислением элементов. Элементы множества A являются корнями уравнения , значит, «» – истинное утверждение. Аналогично получим . Для множеств A и B элемент 2 является общим, значит, утверждение «» – истинное. По этой же причине утверждение «» будет ложным. Объединение множеств содержит все элементы, которые содержатся в каждом из них, то есть , поэтому утверждение «» – ложное. ЗАДАНИЕ N 12 Тема: Действия над конечными множествами Даны множества и . Тогда равно … ЗАДАНИЕ N 13 Тема: Предел функции в точке … ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Способы задания числовых последовательностей Дана числовая последовательность Установите соответствие между номером и соответствующим членом данной последовательности.
Решение: Для того чтобы найти определенный член последовательности, нужно вместо в данное равенство подставить его номер. ЗАДАНИЕ N 15 Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность" равен … Решение: Обращаем внимание, что так как и то в данном случае имеет место неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно разделить каждое слагаемое числителя и знаменателя на (наивысшую степень в данной дроби). Тогда, зная, что , получим: ЗАДАНИЕ N 16 Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль" ЗАДАНИЕ N 17 Тема: Первый замечательный предел Решение: Воспользуемся первым замечательным пределом и соотношением Выполним замену переменной откуда Учитывая, что при , получим: ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Второй замечательный предел ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Элементы комбинаторики Автомобилю может быть присвоен номер, состоящий из 5 цифр: 2, 4, 6, 8, 9. Цифры в номере повторяться не могут. Тогда максимальное количество автомобилей, которым могут быть присвоены такие номера, равно … Решение: Число различных номеров из 5 цифр: 2, 4, 6, 8, 9 , в которых каждая цифра встречается ровно один раз, равно числу перестановок из пяти элементов: ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Объем выборки Объем выборки, заданной статистическим распределением , равен … Решение: Случайная величина Х принимает некоторое значение 325 раз, второе значение − 475 раз, третье значение − 220 раз и четвертое значение 180 раз. Тогда 325 + 475 + + 220 + 180 = 1200 – объем выборки. ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее Выборочное среднее для вариационного ряда равно … Решение: Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки: Обращаем внимание, что значение «1» некоторая случайная величина принимает 2 раза, значение «2» – 1 раз, значение «4» – 3 раза и значение «6» − 4 раза. Тогда среднее арифметическое всех значений выборки равно ЗАДАНИЕ N 22 Тема: Классическое определение вероятности Среди 200 изделий встречается 15 нестандартных. Наугад взятое изделие окажется нестандартным с вероятностью, равной … ЗАДАНИЕ N 23 Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей В первой шкатулке находится 10 монет одинакового достоинства. Известно, что одна из них является фальшивой. Во второй шкатулке 5 монет, из которых 2 монеты фальшивые. Из каждой шкатулки наугад берут по одной монете. Вероятность того, что обе монеты окажутся фальшивыми, равна … Решение: Пусть событие А означает, что из первой шкатулки взяли фальшивую монету, тогда Событие В означает, что из второй шкатулки взяли фальшивую монету, тогда События А и В являются независимыми. Тогда вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: ЗАДАНИЕ N 24 Тема: Математическое ожидание дискретной случайной величины Математическое ожидание М(Х) случайной величины, имеющей закон распределения вероятностей , равно … ЗАДАНИЕ N 25 Тема: Экстремум функции Для функции точка минимума принимает значение, равное … Решение: Для отыскания точек экстремума найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Заметим, что производная существует для любого значения х, приравняем ее к нулю, получим: Последнее уравнение имеет корни: Отметим найденные значения на числовой прямой. Найдем знак производной на каждом из получившихся промежутков. Точки и являются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак. – точка минимума, так как производная меняет знак с «−» на «+». ЗАДАНИЕ N 26 Тема: Производная сложной функции Производная функции равна … Решение: Данная функция является сложной. Пусть тогда . Напоминаем, что производная сложной функции находится по формуле . Тогда получим ЗАДАНИЕ N 28 Тема: Правила дифференцирования Производная функции равна … ЗАДАНИЕ N 30 Тема: Производная функции в точке Если то принимает значение, равное … Решение: Напоминаем, что производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. Тогда имеем Пусть . Получим ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Неопределенный интеграл Неопределенный интеграл равен … ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Геометрические приложения определенного интеграла Площадь фигуры, ограниченной параболой и осью ОХ, равна … ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов Неопределенный интеграл равен … Решение: Обращаем внимание, что подстановка приводит рассматриваемый интеграл к табличному: Найдем дифференциал от обеих частей подстановки: , тогда Подставим получившиеся выражения в исходный интеграл: Заменив его выражением из подстановки, получим: ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница Определенный интеграл равен … Решение: Напоминаем, что формула Ньютона – Лейбница имеет вид В нашем случае, используя формулу , имеем ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Физические приложения определенного интеграла Скорость движения тела задана уравнением . Тогда путь, пройденный телом за 3 с от начала движения, равен … Решение: Напоминаем, что путь , пройденный за отрезок времени от до телом, движущимся прямолинейно со скоростью , вычисляется по формуле . Тогда, используя условие, имеем ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Свойства определенного интеграла Определенный интеграл равен … Решение: Обращаем внимание, что, используя свойства интеграла и , исходный интеграл можно представить в виде разности двух выражений; применяя формулу Ньютона – Лейбница , получим ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность" ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Предел функции в точке … Решение: Напоминаем, что для вычисления предела многочлена при достаточно вместо переменной поставить значение , к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия: ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Способы задания числовых последовательностей Дана числовая последовательность Установите соответствие между номером и соответствующим членом данной последовательности.
Решение: Для того чтобы найти определенный член последовательности, нужно вместо в данное равенство подставить его номер. ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль" равен … ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Второй замечательный предел ЗАДАНИЕ N 12 Тема: Первый замечательный предел ЗАДАНИЕ N 13 Тема: Производная функции в точке Если , то принимает значение, равное … Решение: Напоминаем, что производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. Тогда имеем Пусть . Получим ЗАДАНИЕ N 14 Тема: Производная сложной функции Производная функции равна … ЗАДАНИЕ N 15 Тема: Экстремум функции Для функции точка максимума принимает значение, равное … Решение: Для отыскания точек экстремума найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Заметим, что производная существует для любого значения х, приравняем ее к нулю, получим: Последнее уравнение имеет корни: Отметим найденные значения на числовой прямой. Найдем знак производной на каждом из получившихся промежутков. Точки и являются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак. – точка максимума, так как производная меняет знак с «+» на «–». ЗАДАНИЕ N 16 Тема: Дифференциал функции Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке можно использовать приближенную формулу где приращение функции в точке Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения и выбираются так, чтобы можно было вычислить и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда приближенное значение выражения равно … Решение: .Так как , то можно рассмотреть функцию Тогда По формуле получим ЗАДАНИЕ N 18 Тема: Правила дифференцирования Производная функции равна … Решение: Для нахождения производной необходимо воспользоваться правилами , , , где c – постоянная величина, а U и V – некоторые функции, зависящие от x, и формулами Тогда получим ЗАДАНИЕ N 19 Тема: Классическое определение вероятности В урне 35 белых и 55 черных шаров. Наугад вынутый шар окажется белым с вероятностью, равной … Решение: Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа m элементарных событий (исходов), благоприятствующих событию А, к общему числу n равновозможных элементарных событий (исходов). В нашем случае число благоприятствующих событий равно 35 (количество белых шаров). Общее число событий . Тогда ЗАДАНИЕ N 20 Тема: Объем выборки Объем выборки, заданной статистическим распределением , равен … Решение: Случайная величина Х принимает значение «1» − 5 раз, значение «2» − 11 раз, значение «3» − 29 раз и значение «4» − 15 раз. Тогда объем выборки. ЗАДАНИЕ N 21 Тема: Элементы комбинаторики Пароль состоит из 6 букв слова «угадай». Каждая буква может встречаться ровно один раз. Тогда максимальное количество возможных паролей равно … Решение: Число различных паролей, состоящих из 6 букв слова «угадай», в которых каждая буква встречается ровно один раз, равно числу перестановок из шести элементов: ЗАДАНИЕ N 22 Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее Выборочное среднее для вариационного ряда равно … Решение: Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки: Обращаем внимание, что значение «2» некоторая случайная величина принимает 5 раз, значение «3» – 1 раз, значение «4» – 3 раза и значение «5» – 1 раз. Тогда среднее арифметическое всех значений выборки равно ЗАДАНИЕ N 23 Тема: Математическое ожидание дискретной случайной величины Математическое ожидание М(Х) случайной величины, имеющей закон распределения вероятностей , равно … ЗАДАНИЕ N 24 Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей Первый спортсмен попадает в мишень с вероятностью , а второй – с вероятностью . Оба спортсмена стреляют одновременно. Вероятность того, что они оба промахнутся, равна … ЗАДАНИЕ N 25 Тема: Действия над конечными множествами Даны множества и . Тогда равно … ЗАДАНИЕ N 26 Тема: Действия над множествами Пусть на рисунке изображены множества и Тогда заштрихованная область соответствует множеству …
ЗАДАНИЕ N 27 Тема: Способы задания множеств, конечные и бесконечные множества Даны множества и Тогда верными будут утверждения …
Решение: Множества А и В заданы с помощью характеристического свойства. Зададим их перечислением элементов. Элементы множества A являются корнями уравнения , значит, «» – истинное утверждение. Аналогично получим . Для множеств A и B элемент 2 является общим, значит, утверждение «» – истинное. По этой же причине утверждение «» будет ложным. Объединение множеств содержит все элементы, которые содержатся в каждом из них, то есть , поэтому утверждение «» – ложное. ЗАДАНИЕ N 28 Тема: Основные понятия теории множеств Даны множества четно и Тогда верными будут утверждения …
Решение: Имеем множества, заданные с помощью характеристического свойства. Зададим их перечислением элементов. Получим: и . Тогда очевидно, что утверждения «множество B конечно» и являются верными, а утверждения и «множество A конечно» будут ложными. ЗАДАНИЕ N 29 Тема: Прямое произведение двух множеств Пусть , . Тогда прямое произведение равно … Решение: Прямое произведение содержит множество упорядоченных пар вида , в которых x пробегает все значения из множества A, а y – все значения из множества B, тогда ЗАДАНИЕ N 30 Тема: Числовые множества Числовые множества – это множества, элементами которых являются числа. Примеры таких множеств: R – множество действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых чисел, N – множество натуральных чисел. Пусть дано множество , тогда верными будут утверждения …
Решение: Элементами множества A являются действительные числа, поэтому справедливо утверждение: но тогда справедливо и утверждение, что Так как не является целым и тем более натуральным числом, то два оставшихся утверждения ложные. |