Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет. Способы задания числовой последовательности
 Скачать 429.12 Kb.
|
Понятие предела числовой последовательности. Предел функции в точке и на бесконечности. Теоремы о пределах функции.Определение 1. Функцию вида у= f (х), х ϵ Ν называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают у = f (n) или у1, у2, у3,…, уn,…, или (уn). (аn) – последовательность а1 ; а2 ; а3 ;…. аn - члены последовательности Первый n-ый член послед. член послед. Последовательность
Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет. Способы задания числовой последовательности Пример 1. Последовательность простых чисел: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,… . Пример 2. Произвольный набор чисел: 1,4,12,25,26,33,39,… . Пример 3. Последовательность четных чисел: 2,4,6,8,10,12,14,16,… . 2. Аналитический способ. Любой n-й элемент последовательности можно определить с помощью формулы. Способы задания числовой последовательности Пример 1. Последовательность четных чисел: у = 2n. Пример 2. Последовательность квадратов натуральных чисел: у = n². Пример 3. Стационарная последовательность: у = С С, С, С, С,…,С,… Пример 4. Последовательность у = n² - 3n – 2, -2,0,4,10,… Пример 5. Последовательность у = 2ⁿ 2, 2²,2³,…,2ⁿ,… 3. Рекуррентный способ. Указывается правило, позволяющее вычислить n-й элемент последовательности, если известен ее предыдущий элемент. Способы задания числовой последовательности Пример 1. a1 = 3 an+1 = a1=3 a3 = 92 = 81 a2 = 32 = 9 a4 = 812 = 6561 Продолжите ряд: 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7, 9, 6… Продолжите ряд 77, 49, 36, 18… Ответ: Перемножаются две цифры, входящие в предыдущее число Ответ: Ряд состоит из двух частей: числа на нечетных местах: 1, 3, 5, 7, 9...; числа на четных местах: 10, 9, 8, 7 Примеры последовательностей. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610… Числа Фибоначчи. Элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Леонардо Фибоначчи - итальянский математик. (родился около 1170 — умер после 1228), Определение 2. Последовательность (уn), называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа. Последовательность (уn) ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого n выполняется неравенство уn ≤ М. Число М называют верхней границей последовательности. Например: -1, -4, -9, -16,…, - n² ,… Определение 3. Последовательность (уn), называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа. Последовательность (уn) ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство уn ≥ m. Число m называют верхней границей последовательности. Например: 1, 4, 9, 16,…,n²,… Нижняя граница - 1 Если последовательность ограничена и снизу и сверху, то ее называют ограниченной последовательностью. Ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку.
Члены последовательности (уn) как бы «сгущаются» около точки 0. Говорят последовательность (уn) сходится. У последовательности (уn) такой «точки сгущения» нет. Говорят последовательность (уn) расходится.
Определение 6. Число b называют пределом последовательности (уn), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Читают: предел последовательности (уn) при стремлении n к бесконечности равен b или предел последовательности (уn) равен b.
Еслиlim xn = b, lim yn = c ,топредел суммы равен сумме пределов:lim ( xn + yn ) = b + c ;предел произведения равен произведениюпределов: lim ( xn yn ) = bc ;предел частного равен частному пределов:lim = , c ≠ 0 ;постоянный множитель можно вынестиза знак предела: lim ( kxn ) = kc . |