методичка. методичка 9 класс по пар 1 многоугольники длиня окружности. Правильные многоугольники
 Скачать 0.57 Mb.
|
|
МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 79» Методическая разработка раздела программы по геометрии для 9 класса по теме « Правильные многоугольники» Технология обучения на основе самоорганизации. Каракулова Наталья Анатольевна, учитель математики 2015 Аннотация Представлен блок уроков на основе самоорганизации по теме «Правильные многоугольники». Цели и задачи: технология на основе самоорганизации, как средство формирования универсальных учебных действий. Программа по математике для общеобразовательной школы. Учебник «Геометрия», 7-9 класс. ЛС. Атанасян, 2008г., учебник «Геометрия», 7-9 класс. 2008г., АВ Погорелов. Глава 12 «Длина окружности и площадь круга», пункты «Правильный многоугольник», «Окружность, описанная около правильного многоугольника », «Окружность, вписанная в правильный многоугольник», «Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности », «Построение правильных многоугольников». 4часа, 4модуля: «Правильный многоугольник», «Окружность, описанная около правильного многоугольника, окружность, вписанная в правильный многоугольник, формулы для вычисления стороны и радиуса вписанной окружности», «Формулы для вычисления площади правильного многоугольника», «Построение правильных многоугольников». Форма 1 позволяет учащимся самостоятельно определить для себя учебную цель на изучаемую тему и построить собственную образовательную траекторию ее достижения. Данная форма и проверочные работы, которые выполняются учащимися после каждого модуля; вопросы для самоконтроля, на которые отвечают во время диктанта, формируют у учащегося адекватную самооценку. Образовательное поле темы «Маршрутный лист» (форма 2) состоит из четырех модулей: «Правильный многоугольник», «Окружность, описанная около правильного многоугольника; окружность, вписанная в правильный многоугольник; формулы для вычисления стороны и радиуса вписанной окружности», «Формулы для вычисления площади правильного многоугольника», «Построение правильных многоугольников. Решение задач». Учащиеся вправе выбирать траекторию движения по модулю, уровень изучения модуля (базовый, повышенный), количество выполняемых заданий и их объем. Форма 1 9 класс Тема «Правильные многоугольники» Ученик Класс Мои цели и результаты № Что надо знать Я знаю № Что надо уметь Я умею 1 Какая фигура называется многоугольником? Его элементы: вершины, стороны, диагонали, углы, периметр. 1 Находить сумму углов выпуклого многоугольника по формуле. 2 Какой многоугольник называется выпуклым? 2 Находить сумму углов правильного n- угольника. 3 Формула для вычисления суммы углов выпуклого n- угольника 3 Находить углы правильного n- угольника. 4 Какой многоугольник называется правильным? Примеры правильных многоугольников 4 Находить количество сторон правильного n- угольника. 5 Формула для вычисления угла правильного n- угольника 5 Выражать сторону правильного n- угольника через радиус R описанной окружности 6 Какая окружность называется описанной около правильного n- угольника? 6 Выражать радиус R окружности, описанной около правильного n- угольника через сторону 7 Теорема об окружности, описанной около правильного n- угольника? 7 Выражать радиус r окружности, вписанной в правильный n- угольник через радиус R описанной окружности. 8 Какая окружность называется вписанной в правильный n- угольник? 8 Выражать сторону правильного n- угольника через радиус r окружности, вписанной в правильного n- угольника 9 Теорема об окружности, вписанной в правильный n- угольник? 9 Выражать площадь правильного многоугольника через периметр Р и радиус r 10 Следствие 1 10 Строить правильный шестиугольник 11 Следствие 2 Повышенный уровень 12 Формула для вычисления площади правильного многоугольника 1 Доказать теорему о сумме внешних углов правильного многоугольника 13 Формула для вычисления стороны правильного n- угольника через радиус описанной окружности 2 Строить правильный треугольник (квадрат, восьмиугольник), вписанный в окружность. 14 Формула для вычисления радиуса окружности, вписанной в правильный n- угольник через радиус описанной окружности 3 Выражать радиус R, описанной окружности через радиус r вписанной . 15 Алгоритм построения правильного шестиугольника 4 Решать задачи практического содержания Повышенный уровень 1 Сумма внешних углов правильного n- угольника 2 Алгоритм построения правильного 2 n- угольника 3 Изучить данную тему ты сможешь, пройдя через четыре модуля: «Правильный многоугольник», «Окружность, описанная около правильного многоугольника; окружность, вписанная в правильный многоугольник; формулы для вычисления стороны и радиуса вписанной окружности», «Формула для вычисления площади правильного многоугольника. Решение задач», «Построение правильных многоугольников». На всю тему отводится 4 урока. Контроль: зачет по теории (ответы на вопросы из блока «Что надо знать») и по практике (решение задач из блока «Что надо уметь»). Моя цель на данную тему: Я знаю эту тему на оценку Оценка учителя по данной теме Форма 2 Маршрутный лист Модуль1 «Правильный многоугольник» Обязательный уровень Прочитайте материал из учебника геометрии (автор-ЛС Атанасяна), стр.98-100 1.Вставьте пропущенные слова Многоугольник называется выпуклым, если он лежит проходящей через две его соседние вершины. 2. Многоугольник с n вершинами называется Он имеет n 3.Сумма углов выпуклого n- угольника равна 4. Выполните упражнение № 364 Прочитайте материал из учебника, стр.275. Вставьте пропущенные слова 5.Правильным многоугольником называется Примеры правильных многоугольников: 6. Выполните упражнение № 1078; 1079. №7. Запишите формулу для вычисления суммы углов правильного n- угольника Применяя формулу, найдите сумму углов правильного треугольника, семиугольника. №8. Найдите сумму углов правильного n- угольника, если известен его угол: правильного пятиугольника, если каждый угол равен 108 º ; n=5; 5∙…. =… правильного девятиугольника, если каждый угол равен 140 º ; n = …; . … =… правильного семиугольника, если каждый угол равен 128 7 4 ; n = …; . …… = … № 9. Найдите углы правильного n- угольника, используя алгоритм: Вычислите сумму углов Поделите сумму углов на их количество Найдите углы правильного четырехугольника; восьмиугольника. 1).n = 4, сумма углов равна градусная мера угла равна 2) n = , сумма углов равна градусная мера угла равна 10. Выпишите формулу для вычисления угла n n = Выполните упражнение № 1081 11. Найдите количество сторон правильного n- угольника, используя алгоритм: Выразите сумму углов правильного n- угольника по формуле. Выразите сумму углов правильного n- угольника через известный угол (п.8). Составьте уравнение и решите его. Например: найдите, сколько сторон имеет правильный n- угольник, если каждый угол его равен 60 º Решение. 1) по формуле, сумма углов: (n – 2)∙180 º 2) с другой стороны сумма углов: 60 º ∙ n 3) составим уравнение: (n – 2)∙180 º = 60 º ∙n 180 º n – 360 º = 60 º n 180 º n - 60 º n =360 º 120 º ∙ n = 360 º , n = 3 Ответ: n = 3 Выполните упражнение № 1083 Повышенный уровень Прочитайте материал из учебника геометрии (автор - АВ Погорелов), стр.203 Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол Решите задачу №1082(учебник ЛС Атанасяна), стр.281 или № 9 (учебник АВ Погорелова), стр. 203. Решите задачу № 1129 (учебник ЛС Атанасяна), стр. 290 Модуль 2 «Окружность, описанная около правильного многоугольника, окружность, вписанная в правильный многоугольник, формулы для вычисления стороны правильного многоугольника, радиуса вписанной окружности » Обязательный уровень №1. Прочитайте материал из учебника геометрии (автор - ЛС Атанасян), стр.275-278 Вставьте пропущенные слова а) Окружность называется описанной около многоугольника, если б) Около любого правильного многоугольника можно в) Окружность называется вписанной в многоугольник, если этой окружности. г) В любой правильный многоугольник можно д) Окружность, вписанная в правильный многоугольник, е) Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, , вписанной в тот же многоугольник. ж) Центром правильного многоугольника называется №2. Выпишите формулу для вычисления стороны правильного многоугольника n а = 1) Выразите сторону правильного: а) треугольника, б) четырехугольника, в) шестиугольника. а) n = 3, 3 а = 3 180 sin 2 R = 2Rsin60 º = 2∙R∙ 2 3 = R∙ 3 = 3 R б) n = , 4 а = в) n = , а = 2) Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность, радиус которой равен: а) 5см; Решение. n = 4 , R = 5 , а 4 = 4 180 sin 2 R = 2∙5∙sin45 º = 10 ∙ 2 2 = 5 2 б) 3 2 Решение. n = , R = , а 4 = в) 8 Решение. n = , R = , а 4 = 3) Ваня Смекалкин вычислял сторону правильного треугольника, вписанного в окружность, радиус которой 5 3 см и получил, что а = 5 6 . Верно ли Ваня вычислил сторону? Решение. а) n = , R = , а 3 = Ответ: 4) Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 21см. Найдите сторону правильного шестиугольника, вписанного в ту же окружность. Решение. 1) Запишем формулу для стороны правильного шестиугольника 6 180 sin 2 6 R а . Найдем радиус R 2) Р=21см, то а 3 =21: 3 =7см, подставим значение стороны в формулу: а 3 = 3 180 sin 2 R 7 = 2∙R∙sin60 º 7 = 2∙R∙ 2 3 7 = R∙ 3 R = 3 3 7 3 3 3 7 3 7 6 180 sin 2 6 R а = 2∙ 3 3 7 ∙sin30 º = 2∙ 3 3 7 ∙ 2 1 = 3 3 7 . Ответ: а 6 = 3 3 7 Решите задачу № 1089 Из формулы n а = n R 180 sin 2 выразите радиус R. R= 5) Найдите радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника сторона, которого: а) 6 см.; б) 15 см; в) 6 Решение. а) Дан равносторонний треугольник, значит n=3 и а 3 = 6 см . R n = n а n 180 sin 2 ; R 3 = 3 180 sin 2 3 а = 60 sin 2 6 = 2 3 2 6 = 3 6 = 3 3 3 6 = 3 3 6 =2 3 б) в) 6) Найдите радиус окружности, описанной около квадрата сторона, которого равна: а) 5см; б) 8 №3.Выпишите формулу для вычисления радиуса r окружности, вписанной в правильный многоугольник через радиус R: r = 1) Выразите радиус r окружности, вписанной в правильный треугольник через R окружности, описаннойоколо этоготреугольника Решение. По условию, треугольник правильный, значит n =3, r 3 = R cos 3 180 = = 2) Выразите радиус r окружности, вписанной в правильный четырехугольник через R окружности, описаннойоколо этогочетырехугольника 3) Выразите радиус r окружности, вписанной в правильный шестиугольник через R окружности, описаннойоколо этогошестиугольника Повышенный уровень Решите задачи № 1090, № 1091, № 1092, № 1093 Рисунок к задаче № 1090 Рисунок к задаче №1091 сечение вентиля сечение бруска стержень круглый стержень Модуль3. «Формула для вычисления площади правильного многоугольника» Обязательный уровень №1. Прочитайте материал из учебника геометрии (ЛС Атанасян), стр. 278. Докажите, чтоS = 2 1 Pr Дано: АА 1 А 2 …А n – правильный многоугольник r - радиус вписанной окружности, АА 1 = n а - сторона правильного n-угольника, О – центр окружности Доказать: S = 2 1 Pr r r r А 2 А 1 А О А n В Доказательство. 1. Разобьем правильный n-угольник на 2. Площадь треугольника А 1 ОА равна: ОА A S 1 = Площадь n-угольника равна сумме S = n ∙ ОА A S 1 = №2. Вычислите площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна: а) 2; б) 4 3 а) Решение. По условию, треугольник равносторонний, значит n = 3 и S 3 = 2 1 P 3 r 3 Вычислим P 3 = 3 3 а =3 ∙ 2 = 6 Вычислим радиус r 3 , r 3 = R cos n 180 = R cos 60 = 3 2 ∙ 2 1 = 3 3 3 3 3 1 3 1 Для чего вычислим R 3 по формуле: R n = n а n 180 sin 2 ; R 3 = 3 180 sin 2 3 а = 3 2 2 3 2 2 Вычислим площадь: S 3 = 2 1 P 3 r 3 = 2 1 ∙ 6 ∙ 3 3 = 3 №3 Вычислите площадь равностороннего треугольника, если его периметр равен: а) 6см, б) 12 см. а) Решение. Запишем формулу площади для равностороннего треугольника: S 3 = 2 1 P 3 r 3 Вычисли r 3 по формуле: r 3 = R cos 3 180 = Для чего вычислим радиус R по формуле: R n = n а n 180 sin 2 = 3 180 sin 2 3 а = Для чего вычислим 3 а = Р:3=6:3=2. Вычислим площадь: S 3 = 2 1 P 3 r 3 = Ответ: №4 Вычислите площадь равностороннего треугольника, если а) r = 6см, б) r = 12 см №5. Выпишите формулу площади и вычислите площадь равностороннего треугольника, если а) R = 6см, б) R = 12 см. Решение. а) по условию, треугольник равносторонний, значит n = 3 и S 3 = 2 1 P 3 r 3 Вычислим сторону по формуле 3 а = 3 180 sin 2 R =2∙6∙sin60 º =12∙ 2 3 = 6 3 Вычислим периметр Р 3 = 3 ∙ 3 а = 3∙6 3 = 18 3 Вычислим r 3 по формуле, r 3 = R cos n 180 = R cos 60 = 6∙0,5= 3 Вычислим площадь: S 3 = 2 1 P 3 r 3 = 2 1 ∙18 3 ∙ 3 = 27 3 Ответ: Решите задачи № 1094. Повышенный уровень Решите задачи № 1096, 1097, 1098, 1135 Модуль 4 «Построение правильных многоугольников». Обязательный уровень №1. Прочитайте материал из учебника геометрии (автор - ЛС Атанасян), стр.279 -280 1)Выразите сторону правильного шестиугольника через радиус описанной окружности. Сделайте вывод: сторона правильного шестиугольника равна а 6 = Задача 1. Построить с помощью циркуля и линейки правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку PQ Построение. Выпишите значение стороны а 6 = = Выполните построение по алгоритму указанному в задаче 1(учебникстр.279) Постройте с помощью циркуля и линейки правильный шестиугольник, если: а) его сторона 2см; б) радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника равен 1,5см. Задача 2. Построить с помощью циркуля и линейки правильный восьмиугольник, 16-ти угольник по алгоритму указанному в задаче 2. Повышенный уровень Решите задачи № 1100, 1099 P Q Лист самоконтроля Модуль 1 «Правильный многоугольник» №364 а) 540 º , б) 720 º , в) 1440 º ; №1078 а) да, б) нет; №1079 а) нет, б) нет; в) да; г) нет; №7 180 º ; 900 º ; №8 540 º , 1260 º , 900 º ; № 1081 а) 60 º , б) 108 º , в) 120 º , г) 144 º , д) 160 º ; № 1083 а)3, б)4, в) 8, г) 12; № 1129 а)20, б) 9, в)5, г)6; Модуль 2 «Окружность, описанная около правильного многоугольника, окружность, вписанная в правильный многоугольник, формулы для вычисления стороны правильного многоугольника, радиуса вписанной окружности » №2 1) б) R 2 ; в) R; 2) б) 6; в) 4; 3) 15, нет; 5) б) 5 3 ; в) 2 ; 6) а) 2,5 2 ; б) 2 № 1089 2 6 см; № 3 1) 0,5 R; 2 ) 2 2 R ; 3) 2 3 R; № 1090 2 3 см; № 1091 6см; № 1092 32 3 см; № 1093 2 Модуль3. «Формула для вычисления площади правильного многоугольника» №2 б) 12 3 ; №3 б) 3 3 ; №4 а) 108 3 ; б) 36 3 ; № 5 б) 9 3 ; № 1094 а)36см 2 , б) 16 3 см 2 , в) 162 3 см 2 , г) 248,52 см 2 Форма 4 Вопросы к зачету по теме «Правильные многоугольники» Обязательный уровень 1. Какой многоугольник называется выпуклым? 2. Формула для вычисления суммы углов выпуклого n- угольника 3. Какой многоугольник называется правильным? Примеры правильных многоугольников 4. Формула для вычисления угла правильного n- угольника 5. Какая окружность называется описанной около правильного n- угольника? 6. Какая окружность называется вписанной в правильный n- угольник? 7. Теорема об окружности, описанной около правильного n- угольника? 8. Теорема об окружности, вписанной в правильный n- угольник? 9. Следствие 1. Следствие 2 10. Формула для вычисления стороны правильного n- угольника через радиус описанной окружности 11. Формула для вычисления радиуса окружности, вписанной в правильный n- угольник через радиус описанной окружности 12. Формула для вычисления площади правильного многоугольника 13. Алгоритм построения правильного шестиугольника Повышенный уровень 14. Чему равна с умма внешних углов правильного n- угольника, любого выпуклого многоугольника? 15. Алгоритм построения правильного 2 n- угольника Тест к зачету по теме «Правильные многоугольники» Какие из следующих утверждений верны? 1. Многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны. 2.Любой правильный многоугольник является выпуклым. 3. Любой четырехугольник с равными сторонами является правильным. 4. Сумма углов правильного n- угольник равна (n -2 ) 5. Треугольник является правильным, если все его углы равны 6. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну. 7. Сумма углов пятиугольника равна 540 º 8. Каждая сторона правильного многоугольника, описанного около окружности, делится точкой касания пополам 9.Любой треугольник является правильным, если все его стороны равны между собой. 10. Сторона правильного четырехугольника, вписанного в окружность, выражается по формуле: а = R 2 11.Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, выражается через радиус этой окружности по формуле: а = R 3 Форма 5 Проверочная работа для самоконтроля Модуль 1. «Правильный многоугольник» Вариант 1 Обязательный уровень 1. Найдите сумму углов правильного шестиугольника. 2. Найдите углы правильного десятиугольника 3. Сколько сторон имеет правильный n- угольник, если каждый угол его равен 160 º Повышенный уровень 4. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна сумме внешних. 5. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если один из его внешних углов равен 45 º Вариант 2 Обязательный уровень 1. Найдите сумму углов правильного двенадцатиугольника. 2. Найдите углы правильного пятиугольника 3. Сколько сторон имеет правильный n- угольник, если каждый угол его равен 140 º Повышенный уровень 4. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если все его внешние углы тупые. 5. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если один из его внешних углов равен 20 º Ответы для самоконтроля Вариант 1 1). 720 º 2). 144 º 3). 18 4). 4 5). 8 Вариант 2 1) 1800 º 2) 108 º 3) 9 4) 3 5) 18 Проверочная работа для самоконтроля Модуль 2. «Окружность, описанная около правильного многоугольника, окружность, вписанная в правильный многоугольник, формулы для вычисления стороны правильного многоугольника, радиуса вписанной окружности » Вариант 1 Обязательный уровень 1. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 5см. 2. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник сторона, которого равна 6см. 3.Правильный треугольник со стороной а = 6 см вписан в окружность. Найдите сторону вписанного в эту же окружность квадрата. Повышенный уровень 4. Правильный треугольник вписан в окружность радиуса R. Выразите через R : а) высоту этого треугольника; б) радиус окружности, вписанной в этот треугольник; в) сторону этого треугольника. Вариант 2 Обязательный уровень 1. В окружность радиуса 12см вписан правильный четырехугольник. Определите его сторону и периметр. 2. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник сторона, которого равна 6см. 3.Правильный четырехугольник со стороной а = 6 см вписан в окружность. Найдите сторону вписанного в эту же окружность треугольника. Повышенный уровень 4. Правильный шестиугольник вписан в окружность радиуса R. Выразите через R : а) сторону этого шестиугольника; б) радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник; в) наибольшую диагональ; г) наименьшую диагональ. Ответы для самоконтроля Вариант 1 1). 5 3 2). 3 3 3).2 4).а) 1,5 R; б) 0,5 r; в) R 3 Вариант 2 1) R 2 ; 4 R 2 2) 3 3)3 4) а) R; б) R 2 3 ; в) 2 R; г) R 3 Форма 6 Контрольная работа Вариант 1. Обязательный уровень 1.Один из внутренних углов правильного n - угольника равен 150 º Найдите число сторон многоугольника. 2. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 36см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник и площадь треугольника. 3. Постройте правильный восьмиугольник, вписанный в данную окружность. Повышенный уровень 4. В окружность вписан квадрат и правильный шестиугольник. Периметр квадрата равен 84 см. Найдите периметр шестиугольника. Вариант 2. Обязательный уровень 1 . Найдите внутренний угол правильного десятиугольника 2. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник 6см. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника. 3. Постройте правильный шестиугольник, вписанный в данную окружность. Повышенный уровень 4. Около окружности радиуса 4 2 см описан равносторонний треугольник. Найдите сторону, периметр и площадь этого треугольник. Заключение Применение технологии обучения на основе самоорганизации позволяет: формировать внутреннюю позицию обучающегося, адекватную мотивацию учебной деятельности; формировать учебные действия, направленные на организацию своей работы на уроке; научить воспринимать и анализировать информацию; организовывать и осуществлять сотрудничество с учителем и сверстниками, адекватно воспринимать и передавать информацию. Данная технология обучения гарантирует каждому ученику освоение стандарта образования и продвижения на более высокий уровень обучения. Литература. 1. Аршинов В.И. Синергетика как феномен постнеклассической науки / В. И. Аршинов. – ИФ РАН, 1999. 2. Кирикович Т.Е. Индивидуальные траектории на уроке / Т. Е. Кирикович. – Пермь, 2010. |