статика. конспект_сентябрь_статика. Правило моментов
 Скачать 1.01 Mb.
|
Равновесие Состояние твердого тела, в котором все его точки остаются сколь угодно долго неподвижными относительно выбранной инерциальной системы отсчета, называется равновесием Правило моментов. Твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю. Условие равновесие твердого тела. Равновесие тела достигается при одновременном выполнении двух условий: 1) Векторная сумма всех сил, приложенных к телу, равна нулю. 2) Алгебраическая сумма моментов всех сил, приложенных к телу относительно любой оси, равна нулю. СТАТИКА СТАТИКА | КОНСПЕКТ 01 Статика - раздел механики, изучающий равновесие твёрдых тел. Твердое тело – тело, расстояние между любыми двумя точками которого сохраняется с течением времени. Плечом силы относительно некоторой оси вращения называется расстояние от оси вращения до линии действия силы. Момент силы относительно оси определяется следующим образом: 1) Модуль момента силы равен произведению величины проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси вращения, на плечо этой силы 2) Для определения знака момента силы выбирается положительное направление вращения относительно оси (по часовой стрелке). Знак момента силы положителен, если сила стремится вызвать поворот тела по часовой стрелке, и отрицателен в обратном случае. РАВНОВЕСИЕ ВИДЫ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ Положение равновесия системы называется устойчивым, если при отклонении любого тела системы от этого положения возникают силы, направленные к этому положению. Положение равновесия называется неустойчивым, если при отклонении любого тела системы от этого положения возникают силы, удаляющие тела системы от равновесия. Равновесие системы называется безразличным, если существует область отклонений от положения равновесия., в которой смещение любого тела системы не вызывает сил, изменяющих состояние системы. Сила ⃗ 𝐹 – это количественная мера взаимодействия тел. Сила является причиной изменения скорости тела. В механике Ньютона силы могут иметь различную физическую природу: сила трения, сила тяжести, упругая сила и др. Сила является векторной величиной. В СИ измеряется в Ньютонах: 𝐹 = Н, причем 1 Н = 1 кг∗м с ! СТАТИКА | КОНСПЕКТ 02 Сила определяется: •своей величиной (модулем); •направлением в пространстве; •точкой приложения. При изображении силы на рисунке во избежание путаницы следует указывать точку приложения силы. Вектор силы изображается от того тела, к которому сила приложена (на которое действует). Векторная сумма всех сил, действующих на тело, называется равнодействующей силой 𝑅 : Если на тело действуют несколько сил, то часто удобно для упрощения заменять их одной эквивалентной (равнодействующей), которая оказывает на тело такое же влияние, как и множество отдельных сил. Рассмотрим силу F, приложенную к некоторой точке A. Определение Моментом 𝑀 силы ⃗ 𝐹 относительно точки 𝑂 называется произведение модуля силы ⃗ 𝐹 на ее плечо 𝑑, где плечо 𝑑 — расстояние от точки 𝑂 до линии 𝐴𝐵 действия силы ⃗ 𝐹: Отметим, что если точка 𝑂 лежит на линии действия силы, то момент этой силы относительно точки 𝑂 равен нулю. Точку 𝑂 обычно называют полюсом. Отметим, что если точка 𝑂 лежит на линии действия силы, то момент этой силы относительно точки 𝑂 равен нулю. Точку 𝑂 обычно называют полюсом. ПРАВИЛО МОМЕНТОВ Рассмотрим правило моментов на примере рычага. Пусть на рычаг действует три силы 𝐹 & , 𝐹 ' , 𝐹 ( так, как показано на рисунке. Из-за действия этих трех сил возникнет еще одна в точке опоры. Это сила 𝐹 ) Определение Рычаг – это твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной опоры. Определение Центр масс точка, через которую должна проходить линия действия силы, чтобы под действием этой силы тело двигалось поступательно (не вращалось). Такое название не случайно. Центр масс является точкой, характеризующей распределение масс в данном теле (или в механической системе). Положение центра масс зависит от того, как распределяется по объему тела его масса. Центр масс не обязательно должен находиться в самом теле. СТАТИКА | КОНСПЕКТ 03 Сформулируем условия равновесия тела. Если тело находится в равновесии, то одновременно выполняются два условия. Первое условие равновесия тела заключается в том, что векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулевому вектору: Второе условие равновесия тела заключается в том, что алгебраическая сумма всех моментов сил, действующих на тело, равна нулю: где момент силы пишется со знаком «+», если сила стремится повернуть тело по часовой стрелке, и со знаком «-», если сила стремится повернуть тело против часовой стрелки. Обратим внимание на то, что во втором условии равновесия ничего не сказано про полюс. Дело в том, что если векторная сумма всех сил равна нулевому вектору, то алгебраическая сумма всех моментов сил, действующих на тело, не зависит от выбора полюса, поэтому во втором условии равновесия полюс можно брать в любой точке. Два условия равновесия являются необходимыми, но не являются достаточными. Приведем пример. Рассмотрим равномерно катящееся без проскальзывания колесо по горизонтальной поверхности. Оба условия равновесия выполняются, однако тело движется. Большинство задач по статике сводятся к записи двух условий равновесия. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ТЕЛЯ Пусть на рычаг действует три силы 𝐹 & , 𝐹 ' , 𝐹 ( так, как показано на рисунке. Из-за действия этих трех сил возникнет еще одна в точке опоры. Это сила 𝐹 ) Правило моментов утверждает, что если рычаг находится в равновесии (не вращается), то сумма моментов сил, поворачивающих рычаг против часовой стрелки, равна сумме моментов сил, поворачивающих рычаг по часовой стрелке. Причем это условие выполняется относительно любой точки (полюса). Запишем правило моментов относительно точки опоры: где момент 𝑀 ! = 0, так как 𝑑 ! = 0. Помимо этого, важно отметить, что в равновесии силы, действующие на рычаг, должны компенсировать друг друга, то есть ЦЕНТР МАСС СТАТИКА | КОНСПЕКТ 04 Если направление прямой, вдоль которой действует сила, не проходит через центр масс тела, эта сила вызывает поворот тела. Если тело движется поступательно под действием нескольких сил, значит, точка приложения равнодействующей этих сил находится в центре масс этого тела. При поступательном движении тела все его точки движутся с таким же ускорением, которое получает центр масс этого тела под действием равнодействующей внешних сил. Следовательно, для того чтобы описать поступательное движение тела, необходимо описать движение центра масс этого тела под действием равнодействующей внешних сил. При движении тела (механической системы) его центр масс движется так же, как двигалась бы под действием равнодействующей внешних сил материальная точка, имеющая массу, равную массе тела (системы). Поэтому когда мы считаем тело материальной точкой, то имеем в виду центр масс данного тела. Абсолютно твёрдое тело (АТТ) — тело, для которого расстояние между любыми точками можно считать неизменным. Произвольное движение абсолютно твёрдого тела можно представить как результат сложения двух движений — поступательного и вращательного. Статика 73 СТАТИКА Статика — раздел механики, изучающий равно- весие тел — твёрдых, жидких или газообразных, находящихся в состоянии покоя под воздействи- ем внешних сил. Слово «статика» происходит от греч. statike — равновесие. В статике форму- лируются условия отсутствия движения даже в том случае, когда на тело действуют силы. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Абсолютно твёрдое тело (АТТ) — тело, для которого расстояние меж- ду любыми точками можно считать неизменным. Произвольное движение абсолютно твёрдого тела можно представить как результат сложения двух дви- жений — поступательного и враща- тельного. Поступательное движение — это движение тела, при котором все его точки перемеща- ются одинаково Вращательное движение — это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения Пример поступательного движения: A 1 — B 1 , A 2 — B 2 , A 3 — B 3 , A 4 — B 4 , A 5 — B 5 — пара точек одного и того же тела в положениях 1 — 2 — 3 — 4 — 5; тёмная линия — траектория движения точ - ки А, светлая линия — траектория движе- ния точки В Пример вращательного движения: A 1 — B 1 , A 2 — B 2 , A 3 — B 3 , A 4 — B 4 , A 5 — B 5 — пара точек одного и того же тела в положениях 1 — 2 — 3 — 4 — 5; тёмная линия — траектория движения точ- ки А (окружность радиусом r), светлая ли- ния — траектория движения точки В (окруж- ность радиусом R) 1 2 3 4 5 B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 r R A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 1 2 3 4 5 B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 Центр тяжести тела — точка приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на частицы тела при любом его положении в пространстве. Плечо силы Момент силы Плечо силы — длина перпендикуляра, опущенного от оси вращения на линию действия силы. Момент силы М — физическая величина, равная произведению моду- ля силы на ее ̈ плечо: Момент силы — величина скалярная. Единица измерения — ньютон-метр (Н · м). Момент считают положительным, если сила вращает тело относительно выбранной оси против часовой стрелки, отрицательным — если по часовой стрелке. СТАТИКА | КОНСПЕКТ 05 При выполнении лабораторной работы ученик установил наклонную плоскость под углом 60° к поверхности стола. Длина плоскости равна 0,6 м. Каков момент силы тяжести бруска массой 0,1 кг относительно точки О при прохождении им середины наклонной плоскости? ПРИМЕР Дано: Решение: Сделаем рисунок с обозначением силы тяжести и ее ̈ плеча. В прямоугольном треугольнике ОАВ по условию гипотенуза Плечо силы OА является катетом, лежащим против угла 30 °, а значит, равным половине гипотенузы: Сила тяжести бруска: Тогда момент силы равен: Статика 75 Практические задания 56 При выполнении лабораторной работы ученик установил наклонную плоскость под углом 60° к поверхности стола. Длина плоскости равна 0,6 м. Каков момент силы тяжести бруска массой 0,1 кг относительно точки О при прохождении им середины наклонной плос кости? 57 На рисунке схематически изображена лестни- ца АС, прислонённая к стене. Каков момент силы тяжести F ! , действующей на лестницу, относитель- но точки С? 1) F · OC 2) F · OD 3) F · AC 4) F · DC Решение: Дано: Сделаем рисунок с обозначением силы тя- жести и её плеча. В прямоугольном треугольнике ОАВ по условию гипотенуза 1 0,3 м. 2 OB L ! ! Плечо силы OА является катетом, лежа- щим против угла 30 "#, а значит, равным половине гипотенузы: 1 1 0,3 м 0,15 м. 2 2 l OA OB ! ! ! $ ! Сила тяжести бруска: 2 0,1кг 10 м/с 1 Н. F m g ! $ ! $ ! Тогда момент силы равен: 1 Н 0,15 м 0,15 Н м. M F l ! $ ! $ ! $ Ответ: 0,15 Н м. M ! $ 60 % ! " 0,6 м L ! 0,1 кг m ! g 10 м/с 2 — ? M Решение: Плечо силы F ! — длина перпендикуляра, опущенного от оси враще- ния (точка C ) на линию действия силы (прямая OD ), есть длина от- резка CD Тогда момент силы F : · M F DC ! Ответ: 4. B A O 60° l mg! A O D C F ! L УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Условие отсутствия поступательного движения (первый закон Ньютона) Поступательное движение тела в инерциальной системе отсчёта отсутствует, если векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю: где - равнодействующая сил действующих на тело. Условие отсутствия вращательного движения Вращательное движение твёрдого тела в инерциальной системе от- счета не возникает, если алгебраическая сумма моментов (относительно произвольной оси О) всех сил, действующих на тело, равна нулю: Произвольное движение твёрдого тела является результатом сложения его поступательного вращательного движения. ПРИМЕР Плакат массой 8 кг закреплён на опорах с помощью четырёх тросов, составляющих угол 60° с опорой. Найдите силы натяжения тросов. Дано: Сделаем рисунок с обозначением всех сил, действующих на плакат. Запишем условие статического равновесия в векторной форме: Поскольку нагрузка распределяется равномерно, модули всех сил натяжения равны: Найдём проекции всех сил на оси координат (см. рисунок). Запишем условие статического равновесия в скалярной форме: Поскольку первое уравнение является тождеством, решаем отдельно только второе уравнение: Ответ: Т = 40 Н |