Главная страница
Навигация по странице:

  • «МОСКОВСКИЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

  • ВЫПОЛНЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Моделирование экономических процессов

  • ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

    		•

    Моделирование экономических процессов. Прибыль от реализации единицы продукции, руб


    Скачать 26.56 Kb.
    НазваниеПрибыль от реализации единицы продукции, руб
    Дата10.12.2022
    Размер26.56 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаМоделирование экономических процессов.docx
    ТипДокументы
    #838086







    Автономная некоммерческая организация высшего образования

    «МОСКОВСКИЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

    Кафедра экономики и управления
    Форма обучения: заочная






    ВЫПОЛНЕНИЕ

    ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ

    ПО ДИСЦИПЛИНЕ

    Моделирование экономических процессов














    МОСКВА 2022

    ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
    № 1. Составить план производства продукции, обеспечив максимум прибыли, учитывая ограничения, заданные в таблице 1.

    Таблица 1. Линейная оптимизация
    Расход сырья (доли)
    Прибыль от реализации единицы продукции, руб.

    Сырье 1
    Сырье 2
    Сырье 3
    Сырье 4

    Продукт 1
    0,2
    0,3
    0,1
    0,4
    120

    Продукт 2
    0,4
    0,1
    0,3
    0,2
    150

    Продукт 3
    0,6
    0,1
    0,1
    0,2
    110

    Наличие сырья на складе, кг
    850
    640
    730
    1000




    составим уравнения:

    0,2х1+0,3х2+0,1х3+0,4х4=120

    0,4х1+0,1х2+0,3х3+0,2х4=150

    0,6х1+0,1х2+0,1х3+0,2х4=110

    далее:

    0,2х1+0,3х2+0,1х3+0,4х4=120

    1х1+0,2х2+0,4х3+0,4х4=260

    Вычитаем из второго первое:

    0,8х1-0,1х2+0,3х3=140

    F(X) = 4/5x1-1/10x2+3/10x3+140 → max при ограничениях:
    1/5x1+2/5x2+3/5x3≤850
    3/10x1+1/10x2+1/10x3≤640
    1/10x1+3/10x2+1/10x3≤730
    2/5x1+1/5x2+1/5x3≤1000
    x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
    F(X) = 4/5x1-1/10x2+3/10x3+140
    В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6. В 4-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x7.
    1/5x1+2/5x2+3/5x3+x4 = 850
    3/10x1+1/10x2+1/10x3+x5 = 640
    1/10x1+3/10x2+1/10x3+x6 = 730
    2/5x1+1/5x2+1/5x3+x7 = 1000
    Переход к СЗЛП.
    Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:

    1/5
    2/5
    3/5
    1
    0
    0
    0
    850

    3/10
    1/10
    1/10
    0
    1
    0
    0
    640

    1/10
    3/10
    1/10
    0
    0
    1
    0
    730

    2/5
    1/5
    1/5
    0
    0
    0
    1
    1000


    1. В качестве базовой переменной можно выбрать x4.
    2. В качестве базовой переменной можно выбрать x5.
    3. В качестве базовой переменной можно выбрать x6.
    4. В качестве базовой переменной можно выбрать x7.
    Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (4,5,6,7).
    Соответствующие уравнения имеют вид:
    1/5x1+2/5x2+3/5x3+x4 = 850
    3/10x1+1/10x2+1/10x3+x5 = 640
    1/10x1+3/10x2+1/10x3+x6 = 730
    2/5x1+1/5x2+1/5x3+x7 = 1000
    Выразим базисные переменные через остальные:
    x4 = -1/5x1-2/5x2-3/5x3+850
    x5 = -3/10x1-1/10x2-1/10x3+640
    x6 = -1/10x1-3/10x2-1/10x3+730
    x7 = -2/5x1-1/5x2-1/5x3+1000
    Подставим их в целевую функцию:
    F(X) = 4/5x1-1/10x2+3/10x3+140(-1/5x1-2/5x2-3/5x3+850)+140(-3/10x1-1/10x2-1/10x3+640)+140(-1/10x1-3/10x2-1/10x3+730)+140(-2/5x1-1/5x2-1/5x3+1000)+140
    или
    F(X) = -696/5x1-1401/10x2-1397/10x3+450940 → max
    Система неравенств:
    -1/5x1-2/5x2-3/5x3+850 ≥ 0
    -3/10x1-1/10x2-1/10x3+640 ≥ 0
    -1/10x1-3/10x2-1/10x3+730 ≥ 0
    -2/5x1-1/5x2-1/5x3+1000 ≥ 0
    Приводим систему неравенств к следующему виду:
    1/5x1+2/5x2+3/5x3 ≤ 850
    3/10x1+1/10x2+1/10x3 ≤ 640
    1/10x1+3/10x2+1/10x3 ≤ 730
    2/5x1+1/5x2+1/5x3 ≤ 1000
    F(X) = -696/5x1-1401/10x2-1397/10x3+450940 → max
    Упростим систему.
    x1+2x2+3x3 ≤ 4250
    3x1+x2+x3 ≤ 6400
    x1+3x2+x3 ≤ 7300
    2x1+x2+x3 ≤ 5000
    F(X) = -696/5x1-1401/10x2-1397/10x3+450940 → max
    Если задача ЛП решается на поиск min-го значения, то стандартная форма будет иметь следующий вид:
    -x1-2x2-3x3 ≤ -4250
    -3x1-x2-x3 ≤ -6400
    -x1-3x2-x3 ≤ -7300
    -2x1-x2-x3 ≤ -5000
    F(X) = 696/5x1+1401/10x2+1397/10x3-450940 → min
    Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
    Определим максимальное значение целевой функции F(X) = -696/5x1-1401/10x2-1397/10x3+450940 при следующих условиях-ограничений.
    При вычислениях значение Fc = 450940 временно не учитываем.
    1/5x1+2/5x2+3/5x3+x4+850=850
    3/10x1+1/10x2+1/10x3+x5+640=640
    1/10x1+3/10x2+1/10x3+x6+730=730
    2/5x1+1/5x2+1/5x3+x7+1000=1000

    Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:

    1/5
    2/5
    3/5
    1
    0
    0
    0
    850

    3/10
    1/10
    1/10
    0
    1
    0
    0
    640

    1/10
    3/10
    1/10
    0
    0
    1
    0
    730

    2/5
    1/5
    1/5
    0
    0
    0
    1
    1000


    1. В качестве базовой переменной можно выбрать x4.
    2. В качестве базовой переменной можно выбрать x5.
    3. В качестве базовой переменной можно выбрать x6.
    4. В качестве базовой переменной можно выбрать x7.
    Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (4,5,6,7).
    Выразим базисные переменные через остальные:
    x4 = -1/5x1-2/5x2-3/5x3+850
    x5 = -3/10x1-1/10x2-1/10x3+640
    x6 = -1/10x1-3/10x2-1/10x3+730
    x7 = -2/5x1-1/5x2-1/5x3+1000
    Подставим их в целевую функцию:
    F(X) = -696/5x1-1401/10x2-1397/10x3+450940
    1/5x1+2/5x2+3/5x3+x4=850
    3/10x1+1/10x2+1/10x3+x5=640
    1/10x1+3/10x2+1/10x3+x6=730
    2/5x1+1/5x2+1/5x3+x7=1000
    При вычислениях значение Fc = 450940 временно не учитываем.
    Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x4, x5, x6, x7
    Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
    X0 = (0,0,0,850,640,730,1000)

    Базис
    B
    x1
    x2
    x3
    x4
    x5
    x6
    x7

    x4
    850
    1/5
    2/5
    3/5
    1
    0
    0
    0

    x5
    640
    3/10
    1/10
    1/10
    0
    1
    0
    0

    x6
    730
    1/10
    3/10
    1/10
    0
    0
    1
    0

    x7
    1000
    2/5
    1/5
    1/5
    0
    0
    0
    1

    F(X0)
    0
    696/5
    1401/10
    1397/10
    0
    0
    0
    0


    Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
    Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план
    Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
    Окончательный вариант симплекс-таблицы:

    Базис
    B
    x1
    x2
    x3
    x4
    x5
    x6
    x7

    x4
    850
    1/5
    2/5
    3/5
    1
    0
    0
    0

    x5
    640
    3/10
    1/10
    1/10
    0
    1
    0
    0

    x6
    730
    1/10
    3/10
    1/10
    0
    0
    1
    0

    x7
    1000
    2/5
    1/5
    1/5
    0
    0
    0
    1

    F(X1)
    0
    696/5
    1401/10
    1397/10
    0
    0
    0
    0


    Оптимальный план можно записать так:
    x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 850, x5 = 640, x6 = 730, x7 = 1000
    F(X) = -1391/5*0 -1401/10*0 -1397/10*0 + 450940 = 450940

    № 2. Распределить план перевозок однотипного груза от трёх поставщиков к четырём потребителям, обеспечив минимальные затраты на перевозку.

    Исходные данные представлены в таблице 2.

    Таблица 2. Транспортная задача.
    Тарифы по перемещению единицы груза, тыс. руб.




    Потребитель1
    Потребитель2
    Потребитель2
    Потребитель4
    Возможности поставщика

    Поставщик1
    7
    4
    9
    3
    400

    Поставщик2
    2
    11
    8
    4
    550

    Поставщик 3
    3
    8
    6
    5
    300

    Потребности потребителя
    450
    250
    200
    350




    Значение целевой функции равно:

    F(x) = 4*50 + 3*350 + 2*450 + 11*100 + 8*100 + 6*200 = 5250

    Этап II. Улучшение опорного плана.

    Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.

    u1 + v2 = 4; 0 + v2 = 4; v2 = 4

    u2 + v2 = 11; 4 + u2 = 11; u2 = 7

    u2 + v1 = 2; 7 + v1 = 2; v1 = -5

    u3 + v2 = 8; 4 + u3 = 8; u3 = 4

    u3 + v3 = 6; 4 + v3 = 6; v3 = 2

    u1 + v4 = 3; 0 + v4 = 3; v4 = 3

    v1=-5 v2=4 v3=2 v4=3

    u1=0 7 4[50] 9 3[350]

    u2=7 2[450] 11[100] 8 4

    u3=4 3 8[100] 6[200] 5
    Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij

    (2;3): 7 + 2 > 8; ∆23 = 7 + 2 - 8 = 1 > 0

    (2;4): 7 + 3 > 4; ∆24 = 7 + 3 - 4 = 6 > 0

    (3;4): 4 + 3 > 5; ∆34 = 4 + 3 - 5 = 2 > 0

    max(1,6,2) = 6

    Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;4): 4

    Для этого в перспективную клетку (2;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

    1 2 3 4 Запасы

    1 7 4[50][+] 9 3[350][-] 400

    2 2[450] 11[100][-] 8 4[+] 550

    3 3 8[100] 6[200] 5 300

    Потребности 450 250 200 350
    Цикл приведен в таблице (2,4 → 2,2 → 1,2 → 1,4).

    Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 2) = 100. Прибавляем 100 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 100 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

    B1 B2 B3 B4 Запасы

    A1 7 4[150] 9 3[250] 400

    A2 2[450] 11 8 4[100] 550

    A3 3 8[100] 6[200] 5 300

    Потребности 450 250 200 350
    Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.

    u1 + v2 = 4; 0 + v2 = 4; v2 = 4

    u3 + v2 = 8; 4 + u3 = 8; u3 = 4

    u3 + v3 = 6; 4 + v3 = 6; v3 = 2

    u1 + v4 = 3; 0 + v4 = 3; v4 = 3

    u2 + v4 = 4; 3 + u2 = 4; u2 = 1

    u2 + v1 = 2; 1 + v1 = 2; v1 = 1

    v1=1 v2=4 v3=2 v4=3

    u1=0 7 4[150] 9 3[250]

    u2=1 2[450] 11 8 4[100]

    u3=4 3 8[100] 6[200] 5
    Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij

    (3;1): 4 + 1 > 3; ∆31 = 4 + 1 - 3 = 2 > 0

    (3;4): 4 + 3 > 5; ∆34 = 4 + 3 - 5 = 2 > 0

    max(2,2) = 2

    Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;1): 3

    Для этого в перспективную клетку (3;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

    1 2 3 4 Запасы

    1 7 4[150][+] 9 3[250][-] 400

    2 2[450][-] 11 8 4[100][+] 550

    3 3[+] 8[100][-] 6[200] 5 300

    Потребности 450 250 200 350
    Цикл приведен в таблице (3,1 → 3,2 → 1,2 → 1,4 → 2,4 → 2,1).

    Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 2) = 100. Прибавляем 100 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 100 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

    B1 B2 B3 B4 Запасы

    A1 7 4[250] 9 3[150] 400

    A2 2[350] 11 8 4[200] 550

    A3 3[100] 8 6[200] 5 300

    Потребности 450 250 200 350
    Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.

    u1 + v2 = 4; 0 + v2 = 4; v2 = 4

    u1 + v4 = 3; 0 + v4 = 3; v4 = 3

    u2 + v4 = 4; 3 + u2 = 4; u2 = 1

    u2 + v1 = 2; 1 + v1 = 2; v1 = 1

    u3 + v1 = 3; 1 + u3 = 3; u3 = 2

    u3 + v3 = 6; 2 + v3 = 6; v3 = 4

    v1=1 v2=4 v3=4 v4=3

    u1=0 7 4[250] 9 3[150]

    u2=1 2[350] 11 8 4[200]

    u3=2 3[100] 8 6[200] 5
    Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vj ≤ cij.

    Минимальные затраты составят: F(x) = 4*250 + 3*150 + 2*350 + 4*200 + 3*100 + 6*200 = 4450

    написать администратору сайта