Лекция №5. Применение булевых функций к релейноконтактным схемам

• Название: Применение булевых функций к релейноконтактным схемам
• Дата: 16.06.2021
• Размер: 0.51 Mb.
• Имя файла: Лекция №5.pdf
• Тип: Лекция; #217963

1
Лекция №5 по математической логике и теории алгоритмов
Тема: Применение булевых функций к релейно-контактным схемам.
Среди технических средств автоматизации значительное место занимают устройства релейно-контактного действия. Они широко используются в технике автоматического управления, в электронно- вычислительной технике и т.д. Эти устройства (их в общем случае называют переключательными схемами) содержат сотни реле, электронных ламп, полупроводников и электромагнитных элементов.
Ещё в 1910 году физик П.С. Эренфест указал на возможность применения аппарата алгебры логики при исследовании релейно- контактных схем (РКС). Однако его идеи стали реализовываться значительно позже, когда создание общей теории конструирования
РКС стало остро необходимым.
Использование булевых функций в конструировании РКС оказалось возможным в связи с тем, что каждой схеме можно поставить в соответствие некоторую булеву функцию, и каждая булева функция реализуется с помощью некоторой схемы.
Это обстоятельство позволяет выявить возможности заданной схемы, изучая соответствующую формулу, а упрощение схемы свести к упрощению формулы.
С другой стороны, до построения схемы можно заранее описать с помощью формулы те функции, которые схема должна выполнять.
Рассмотрим, как устанавливается связь между булевыми функциями и переключательными схемами.
Определение. Под релейно-контактной схемой понимается устройство из проводников и двухпозиционных контактов.
Контакты могут быть двух видов: замыкающие и размыкающие.
Каждый контакт подключен к некоторому реле
(переключателю).
К каждому реле может быть подключено несколько контактов – как замыкающих, так и размыкающих.

2
Когда через реле проходит электрический ток, то все подключенные к нему замыкающие контакты замыкаются, а размыкающие – размыкаются.
При отсутствии тока в реле все подключенные к нему замыкающие контакты разомкнуты, а размыкающие – замкнуты.
Каждому реле ставится в соответствие своя булева переменная
f
, зависящая от
n
x
x
,
,
1

, которая принимает значение 1, если через реле проходит электрический ток, и значение 0 – если реле отключено.
На схеме все замыкающие контакты, подключенные к реле x обозначаются тем же символом x , размыкающие контакты, подключенные к этому реле обозначаются отрицанием x .
Таким образом, если через реле
j
x
проходит ток, то всем его замыкающим контактам
j
x
соответствует значение 1, а размыкающим контактам
j
x
соответствует 0. При отключенном реле
j
x
замыкающим контактам
j
x
ставится в соответствие значение 0, а размыкающим – 1.
Всей релейно-контактной схеме ставится в соответствие булева функция f, зависящая от переменных
n
x
x
,
,
1

. Если при данном наборе состояний реле
n
x
x
,
,
1

(через некоторые из них проходит ток, а некоторые отключены) схема проводит ток, то функция f принимает значение 1. В противном случае функция f принимает значение 0.
Таким образом, релейно-контактная схема с n независимыми реле
n
x
x
,
,
1

определяет булеву функцию
)
,
,
(
1
n
x
x
f

, которая называется функцией проводимости данной схемы.
1. Последовательное соединение контактов:
Функция проводимости:
y
x
y
x
f


)
,
(
– конъюнкция.

3 2. Параллельное соединение контактов:
Функция проводимости:
y
x
y
x
f


)
,
(
– дизъюнкция.
Теорема. Всякая булева функция может быть реализована с помощью релейно-контактной схемы, т.е. может быть построена такая схема, для которой данная булева функция будет функцией проводимости.
Пример. Построить релейно-контактную схему с данной функцией проводимости:

  

 

z
y
x
t
z
y
x
t
z
y
x
f







)
,
,
,
(
Решение.
Две основные задачи теории релейно-контактных схем:
1. Задача синтеза: по данной булевой функции построить соответствующую ей РКС.
2. Задача анализа: по данной РКС установить соответствующую булеву функцию – функцию проводимости.
Приведем пример построения РКС по заданным условиям с оценкой числа контактов.
Пример. Построить контактную схему для оценки результатов некоторого спортивного соревнования тремя судьями при следующих условиях: судья, засчитывающий результат, нажимает имеющуюся в его распоряжении кнопку, а судья, не засчитывающий результат, кнопки не нажимает. В случае, если кнопки нажали не менее двух судей, должна загореться лампочка (положительное решение судей принято простым большинством голосов).
Решение. Работа нужной РКС описывается булевой функцией трех переменных
)
,
,
(
z
y
x
f
, где переменные
z
y
x
,
,
означают:

4
x – судья x голосует «за»;
y – судья y голосует «за»;
z
– судья
z
голосует «за».
Таблица истинности функции
)
,
,
(
z
y
x
f
имеет вид:
x
y
z
)
,
,
(
z
y
x
f
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0
1 0
1 1
1 1
0 1
1 1
1 1
Функции
)
,
,
(
z
y
x
f
соответствует формула:
yz
x
z
y
x
z
xy
xyz
z
y
x
f




)
,
,
(
Данной функции соответствует схема:
Упростим схему, минимизировав булеву функцию
xyz
z
xy
z
y
x
yz
x
z
y
x
f




)
,
,
(
:











z
z
xy
z
y
x
yz
x
xyz
z
xy
z
y
x
yz
x
z
y
x
f
)
,
,
(

















xy
xz
yz
x
y
z
x
yz
x
y
z
y
x
yz
x
xy
z
y
x
yz
x






xy
y
x
z
xy
xz
yz
xy
z
x
y
xy
z
x
y
x












Полученной функции проводимости соответствует схема: