Программа дисциплины "Дополнительные главы математического анализа"
 Скачать 1.29 Mb.
|
|
Программа дисциплины "Дополнительные главы математического анализа"; 02.03.02 Фундаментальная информатика и информационные технологии; заведующий кафедрой, к.н. (доцент) Турилова Е.А. Регистрационный номер 918417 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное учреждение высшего профессионального образования "Казанский (Приволжский) федеральный университет" Институт вычислительной математики и информационных технологий подписано электронно-цифровой подписью Программа дисциплины Дополнительные главы математического анализа ФТД.Б.1 Направление подготовки: 02.03.02 - Фундаментальная информатика и информационные технологии Профиль подготовки: Системный анализ и информационные технологии Квалификация выпускника: бакалавр Форма обучения: очное Язык обучения: русский Автор(ы): Турилова Е.А. Рецензент(ы): Халиуллин С.Г. СОГЛАСОВАНО: Заведующий(ая) кафедрой: Турилова Е. А. Протокол заседания кафедры No ___ от "____" ___________ 201__г Учебно-методическая комиссия Института вычислительной математики и информационных технологий: Протокол заседания УМК No ____ от "____" ___________ 201__г Регистрационный No 918417 Казань 2017 Программа дисциплины "Дополнительные главы математического анализа"; 02.03.02 Фундаментальная информатика и информационные технологии; заведующий кафедрой, к.н. (доцент) Турилова Е.А. Регистрационный номер 918417 Страница 2 из 11. Содержание 1. Цели освоения дисциплины 2. Место дисциплины в структуре основной образовательной программы 3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины /модуля 4. Структура и содержание дисциплины/ модуля 5. Образовательные технологии, включая интерактивные формы обучения 6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 7. Литература 8. Интернет-ресурсы 9. Материально-техническое обеспечение дисциплины/модуля согласно утвержденному учебному плану Программа дисциплины "Дополнительные главы математического анализа"; 02.03.02 Фундаментальная информатика и информационные технологии; заведующий кафедрой, к.н. (доцент) Турилова Е.А. Регистрационный номер 918417 Страница 3 из 11. Программу дисциплины разработал(а)(и) заведующий кафедрой, к.н. (доцент) Турилова Е.А. кафедра математической статистики отделение прикладной математики и информатики , Ekaterina.Turilova@kpfu.ru 1. Цели освоения дисциплины Целями освоение дисциплины являются: формирование математической культуры студентов b развитие системного математического мышления. Материал дисциплины является обобщением на бесконечномерный случай идей алгебры, математического анализа и геометрии. Идеи, методы, терминология, обозначения и стиль дисциплины пронизывают почти все области математики, объединяя ее в единое целое. Знания, практические навыки, полученные при освоении дисциплины используются обучаемыми при изучении профессиональных дисциплин, а также при выполнении курсовых и дипломных работ. Задачи, решение которых обеспечивает достижение цели: 1. формирование понимания значимости математической составляющей в естественно-научном образовании бакалавра; 2. ознакомление системы понятий, используемых для описания важнейших математических моделей и математических методов в их взаимосвязи; 3. формирование навыков и умений использования современных математических моделей и методов. 2. Место дисциплины в структуре основной образовательной программы высшего профессионального образования Данная учебная дисциплина включена в раздел " ФТД.Б.1 Факультативные дисциплины" основной образовательной программы 02.03.02 Фундаментальная информатика и информационные технологии и относится к базовой (общепрофессиональной) части. Осваивается на 2 курсе, 4 семестр. Дисциплина "Дополнительные главы математического анализа" входит в число факультативов цикла подготовки бакалавра по направлению "010300.62 Фундаментальная информатика и информационные технологии". Логическая и содержательно - методическая взаимосвязь с другими дисциплинами и частями ООП выражается в следующем. Для освоения дисциплины используются знания, умения и виды деятельности, сформированные в процессе изучения предметов "Математический анализ 1", "Математический анализ 2", "Кратные интегралы и ряды" и "Алгебра и геометрия". Требования к входным знаниям и умениям студента - знание идей и методов математического анализа, геометрии и линейной алгебры. Знания и умения, формируемые в процессе изучения дисциплины "Дополнительные главы математического анализа" будут использоваться в дальнейшем при освоении следующих дисциплин математического и естественно-научного, профессионального циклов: "Теория вероятностей и математическая статистика", "Методы оптимизации и исследование операций", "Вычислительные методы" и др. 3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины /модуля В результате освоения дисциплины формируются следующие компетенции: Программа дисциплины "Дополнительные главы математического анализа"; 02.03.02 Фундаментальная информатика и информационные технологии; заведующий кафедрой, к.н. (доцент) Турилова Е.А. Регистрационный номер 918417 Страница 4 из 11. Шифр компетенции Расшифровка приобретаемой компетенции ОПК-1 (профессиональные компетенции) способностью использовать базовые знания естественных наук, математики и информатики, основные факты, концепции, принципы теорий, связанных с фундаментальной информатикой и информационными технологиями ПК-1 (профессиональные компетенции) способностью собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований, необходимые для формирования выводов по соответствующим научным исследованиям ПК-11 (профессиональные компетенции) способностью составлять и контролировать план выполняемой работы, планировать необходимые для выполнения работы ресурсы, оценивать результаты собственной работы ПК-2 (профессиональные компетенции) способностью понимать, совершенствовать и применять современный математический аппарат, фундаментальные концепции и системные методологии, международные и профессиональные стандарты в области информационных технологий ПК-4 (профессиональные компетенции) способностью решать задачи профессиональной деятельности в составе научно-исследовательского и производственного коллектива В результате освоения дисциплины студент: 1. должен знать: основные идеи и методы построения общей конструкции алгебр множеств, интеграла Лебега и теории унитарных пространств 2. должен уметь: исследовать последовательности измеримых функций на сходимость, вычислять интеграл Лебега, получать ряд Фурье в общем случае 3. должен владеть: основными приемами вычисления интеграла Лебега, методами определения исследования операторов в унитарных пространствах 4. должен демонстрировать способность и готовность: применять полученные знания в своей профессиональной деятельности 4. Структура и содержание дисциплины/ модуля Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетных(ые) единиц(ы) 72 часа(ов). Форма промежуточного контроля дисциплины зачет в 4 семестре. Суммарно по дисциплине можно получить 100 баллов, из них текущая работа оценивается в 50 баллов, итоговая форма контроля - в 50 баллов. Минимальное количество для допуска к зачету 28 баллов. 86 баллов и более - "отлично" (отл.); 71-85 баллов - "хорошо" (хор.); 55-70 баллов - "удовлетворительно" (удов.); 54 балла и менее - "неудовлетворительно" (неуд.). Программа дисциплины "Дополнительные главы математического анализа"; 02.03.02 Фундаментальная информатика и информационные технологии; заведующий кафедрой, к.н. (доцент) Турилова Е.А. Регистрационный номер 918417 Страница 5 из 11. 4.1 Структура и содержание аудиторной работы по дисциплине/ модулю Тематический план дисциплины/модуля N Раздел Дисциплины/ Модуля Семестр Неделя семестра Виды и часы аудиторной работы, их трудоемкость (в часах) Текущие формы контроля ЛекцииПрактические занятия Лабораторные работы 1. Тема 1. Системы множеств 4 1-2 2 0 2 Письменное домашнее задание 2. Тема 2. Меры на системах множеств 4 3-6 4 0 4 Письменное домашнее задание 3. Тема 3. Измеримые функции 4 7-10 4 0 4 Письменное домашнее задание 4. Тема 4. Интеграл Лебега 4 11-14 4 0 4 Письменное домашнее задание 5. Тема 5. Унитарное пространство. Ограниченные линейные операторы в унитарном пространстве 4 15-18 4 0 4 Контрольная работа Письменное домашнее задание . Тема . Итоговая форма контроля 4 0 0 0 Зачет Итого 18 0 18 4.2 Содержание дисциплины Тема 1. Системы множеств лекционное занятие (2 часа(ов)): Кольца и алгебры. Операции в кольце множеств. Полукольца и полуалгебры. Свойства полуколец. лабораторная работа (2 часа(ов)): Построение колец и алгебр, порожденных конкретным множеством. Борелевская сигма-алгебра Тема 2. Меры на системах множеств лекционное занятие (4 часа(ов)): Определение конечно аддитивной и счетно-аддитивной меры. Продолжение меры с полукольца на минимальное кольцо. Внешняя мера. Сигма-алгебра измеримых множеств. лабораторная работа (4 часа(ов)): Измеримые множества. Алгебра измеримых множеств. Счетная аддитивность меры Лебега. Тема 3. Измеримые функции лекционное занятие (4 часа(ов)): Определения и базовые свойства измеримых функций. Простые функции и критерий измеримости. Программа дисциплины "Дополнительные главы математического анализа"; 02.03.02 Фундаментальная информатика и информационные технологии; заведующий кафедрой, к.н. (доцент) Турилова Е.А. Регистрационный номер 918417 Страница 6 из 11. лабораторная работа (4 часа(ов)): Исследование функций на измеримость, типы сходимости, теорема Егорова Тема 4. Интеграл Лебега лекционное занятие (4 часа(ов)): Общее определение интеграла и его корректность. Счетная аддитивность интеграла Лебега. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Теоремы Лебега, Б. Леви и Фату о предельном переходе под знаком интеграла. лабораторная работа (4 часа(ов)): Интеграл от простой функции. Вычисление интеграла Лебега. Связь между интегралом Римана и интегралом Лебега Тема 5. Унитарное пространство. Ограниченные линейные операторы в унитарном пространстве лекционное занятие (4 часа(ов)): Понятие нормированного и унитарного пространства. Ряд Фурье. Типы линейных ограниченных операторов лабораторная работа (4 часа(ов)): Скалярное произведение, ортонормированный базис, представление элемента рядом Фурье, исследование оператора на линейность и ограниченность 4.3 Структура и содержание самостоятельной работы дисциплины (модуля) N Раздел Дисциплины Семестр Неделя семестра Виды самостоятельной работы студентов Трудоемкость (в часах) Формы контроля самостоятельной работы 1. Тема 1. Системы множеств 4 1-2 подготовка домашнего задания 4 домашнее задание 2. Тема 2. Меры на системах множеств 4 3-6 подготовка домашнего задания 8 домашнее задание 3. Тема 3. Измеримые функции 4 7-10 подготовка домашнего задания 8 домашнее задание 4. Тема 4. Интеграл Лебега 4 11-14 подготовка домашнего задания 8 домашнее задание 5. Тема 5. Унитарное пространство. Ограниченные линейные операторы в унитарном пространстве 4 15-18 подготовка домашнего задания 6 домашнее задание подготовка к контрольной работе 2 контрольная работа Итого 36 5. Образовательные технологии, включая интерактивные формы обучения Обучение происходит в форме лекционных и лабораторных занятий, а также самостоятельной работы студентов. Программа дисциплины "Дополнительные главы математического анализа"; 02.03.02 Фундаментальная информатика и информационные технологии; заведующий кафедрой, к.н. (доцент) Турилова Е.А. Регистрационный номер 918417 Страница 7 из 11. Теоретический материал излагается на лекциях. Причем конспект лекций, который остается у студента в результате прослушивания лекции не может заменить учебник. Его цель - формулировка основных утверждений и определений. Прослушав лекцию, полезно ознакомиться с более подробным изложением материала в учебнике. Список литературы разделен на две категории: необходимый для зачета минимум и дополнительная литература. Изучение курса подразумевает не только овладение теоретическим материалом, но и получение практических навыков для более глубокого понимания разделов дисциплины "Дополнительные главы математического анализа" на основе решения задач и упражнений, иллюстрирующих доказываемые теоретические положения, а также развитие абстрактного мышления и способности самостоятельно доказывать частные утверждения. Самостоятельная работа предполагает выполнение домашних работ. Практические задания, выполненные в аудитории, предназначены для указания общих методов решения задач определенного типа. Закрепить навыки можно лишь в результате самостоятельной работы. Кроме того, самостоятельная работа включает подготовку к зачету и контрольной работе. При подготовке к сдаче зачета весь объем работы рекомендуется распределять равномерно по дням, отведенным для подготовки к зачету, контролировать каждый день выполнения работы. Лучше, если можно перевыполнить план. Тогда всегда будет резерв времени. 6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов Тема 1. Системы множеств домашнее задание , примерные вопросы: Решение теоретических задач вида: 1. Опишите полукольца, которые можно построить из элементов множества всех подмножеств трехэлементного множества 2. Докажите, что полный прообраз сигма-алгебры также сигма-алгебра Тема 2. Меры на системах множеств домашнее задание , примерные вопросы: Решение теоретических задач вида: 1. Докажите, что множество элементов, на которых мера принимает конечные значения, образуют кольцо 2. Докажите, что все ограниченные борелевские множества на прямой измеримы Тема 3. Измеримые функции домашнее задание , примерные вопросы: Решение теоретических задач вида: 1. Если сама функция измерима, то ее модель также измерим. Обратное неверно 2. Докажите, что любая непрерывная на числовой прямой функция измерима по Борелю Тема 4. Интеграл Лебега домашнее задание , примерные вопросы: Решение теоретических задач вида: 1. Докажите, что если интеграла Лебега от модуля функции равен нулю, то сама функция равна нулю почти всюду 2. Вычислить интеграл Лебега от заданной функции Тема 5. Унитарное пространство. Ограниченные линейные операторы в унитарном пространстве домашнее задание , примерные вопросы: Решение теоретических задач вида: 1. Доказать одно из свойств скалярного произведения 2. Исследовать оператор на ограниченность и найти его норму контрольная работа , примерные вопросы: 1. Описать алгебру, порожденную заданным семейством множеств 2. Найти меру Лебега заданного множества 3. Доказать свойство одного из видов сходимости измеримых функций 4. Вычислить интеграл Лебега 5. Исследовать оператор на ограниченность и найти его норму Программа дисциплины "Дополнительные главы математического анализа"; 02.03.02 Фундаментальная информатика и информационные технологии; заведующий кафедрой, к.н. (доцент) Турилова Е.А. Регистрационный номер 918417 Страница 8 из 11. Тема . Итоговая форма контроля Примерные вопросы к зачету: 1. Определение кольца и полукольца множеств, перечисление их свойств. 2. Минимальное кольцо, содержащее полукольцо. 3. Определение конечно аддитивной и счетно-аддитивной меры. 4. Продолжение меры с полукольца на минимальное кольцо. 5. Перечисление основных свойств меры: счетная монотонность, полуаддитивность, непрерывность. 6. Определение внешней меры и измеримого множества. 7. Алгебра измеримых множеств. 8. Определения и базовые свойства измеримых функций. 9. Критерий измеримости функции через предел простых функций. 10. Эквивалентные функции, измеримость. 11. Сходимость почти всюду, измеримость предела. 12. Сходимость почти всюду, "почти равномерная" (по Егорову) и по мере. Связь между ними. 13. Определение интеграла Лебега от простой функции. 14. Общее определение интеграла Лебега и его корректность. 15. Перечисление основных свойств интеграла: линейность, интегрирование неравенств, интегрируемость ограниченной и мажорируемой функции. 16. 1-ая теорема о счетной аддитивности интеграла Лебега (прямое утверждение). 17. Формулировка 2-ой теоремы о счетной аддитивности интеграла Лебега (обратное утверждение). 18. Формулировка результата об абсолютной непрерывности интеграла Лебега. 19. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. 20. Формулировка теорем Б. Леви и Фату. 21. Определения и примеры нормированных пространств. 22. Последовательности в нормированном пространстве, открытые и за мкнутые множества. Сепарабельные и полные пространства (пространства Банаха). 23. Скалярное произведение. Примеры унитарных пространств. Сходимость, ограниченность. Гильбертовы пространства. 24. Ортогональное разложение гильбертова пространства. 25. Ортогональные системы и ряды Фурье. 26. Линейные операторы в нормированных пространствах; непрерывность и ограниченность 7.1. Основная литература: 1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Физматлит, 2009. - 572с. ЭБС "Лань": http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=2206 2.Шерстнев, Анатолий Николаевич (д-р физ.-мат. наук ; 1938 -) . Конспект лекций по математическому анализу [Текст: электронный ресурс] / А. Н. Шерстнев .? Изд. 5-е .? Электронные данные (1 файл: 2,66 Мб) .? (Казань : Казанский государственный университет, 2009) .? Загл. с экрана .? Режим доступа: открытый .? http://libweb.ksu.ru/ebooks/05-IMM/05_33_2009_000165.pdf 3. Дубровин В.Т. Лекции по математическому анализу. Часть 3. - Казань: Казан. ун-т, 2014. - 166 с. http://libweb.kpfu.ru/ebooks/publicat/0-805700.pdf Программа дисциплины "Дополнительные главы математического анализа"; 02.03.02 Фундаментальная информатика и информационные технологии; заведующий кафедрой, к.н. (доцент) Турилова Е.А. Регистрационный номер 918417 Страница 9 из 11. 4. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Том1. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. - М.: Физматлит, 2010. - 496 с. ЭБС "Лань": http://e.lanbook.com/view/book/2226/ 5. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Том 2.Интегралы. Ряды. - М.: Физматлит, 2009. - 504 с. ЭБС "Лань": http://e.lanbook.com/view/book/2227/ 6. Натансон И.П. Теория функций вещественного переменного. - СПб.: Лань, 2008. - 560с ЭБС "Лань": http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=284 7.2. Дополнительная литература: 1. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа. В 2-х тт. Том 1. [Электронный ресурс] - Электрон. дан. - СПб. : Лань, 2015. - 448 с. - Режим доступа: http://e.lanbook.com/book/65055 - Загл. с экрана. 2.Фигтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Часть 2. - СПб.: Лань, 2008. - 464 с. ЭБС 'Лань': http://e.lanbook.com/view/book/411/ 3.Злобина С.В., Посицельская Л.Н. Математический анализ в задачах и упражнениях. - М.: Физматлит, 2009. - 360 с. ЭБС 'Лань': http://e.lanbook.com/view/book/2377/ 4. Зорич В.А. Математический анализ задач естествознания. - М.: МЦНМО, 2008. - 136 с. ЭБС 'Лань': http://e.lanbook.com/view/book/9343/ 5. Спивак М. Математический анализ на многообразиях. - Сб.: Лань, 2005. - 160с ЭБС 'Лань': http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=377 6. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. - М.: Физматлит, 2005. - 240 с. ЭБС 'Лань': http://e.lanbook.com/view/book/2342/ 7.3. Интернет-ресурсы: Естественно-научный портал - http://en.edu.ru/ Математический портал - http://www.allmath.com/ Образовательный математический сайт - http://www.exponenta.ru/ Портал математических интернет-ресурсов - http://www.math.ru/ Справочник по математике - http://matembook.chat.ru/ 8. Материально-техническое обеспечение дисциплины(модуля) Освоение дисциплины "Дополнительные главы математического анализа" предполагает использование следующего материально-технического обеспечения: Учебно-методическая литература для данной дисциплины имеется в наличии в электронно-библиотечной системе " БиблиоРоссика", доступ к которой предоставлен студентам. В ЭБС " БиблиоРоссика " представлены коллекции актуальной научной и учебной литературы по гуманитарным наукам, включающие в себя публикации ведущих российских издательств гуманитарной литературы, издания на английском языке ведущих американских и европейских издательств, а также редкие и малотиражные издания российских региональных вузов. ЭБС "БиблиоРоссика" обеспечивает широкий законный доступ к необходимым для образовательного процесса изданиям с использованием инновационных технологий и соответствует всем требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) нового поколения. Программа дисциплины "Дополнительные главы математического анализа"; 02.03.02 Фундаментальная информатика и информационные технологии; заведующий кафедрой, к.н. (доцент) Турилова Е.А. Регистрационный номер 918417 Страница 10 из 11. Учебно-методическая литература для данной дисциплины имеется в наличии в электронно-библиотечной системе "ZNANIUM.COM", доступ к которой предоставлен студентам. ЭБС "ZNANIUM.COM" содержит произведения крупнейших российских учёных, руководителей государственных органов, преподавателей ведущих вузов страны, высококвалифицированных специалистов в различных сферах бизнеса. Фонд библиотеки сформирован с учетом всех изменений образовательных стандартов и включает учебники, учебные пособия, УМК, монографии, авторефераты, диссертации, энциклопедии, словари и справочники, законодательно-нормативные документы, специальные периодические издания и издания, выпускаемые издательствами вузов. В настоящее время ЭБС ZNANIUM.COM соответствует всем требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) нового поколения. Учебно-методическая литература для данной дисциплины имеется в наличии в электронно-библиотечной системе Издательства "Лань" , доступ к которой предоставлен студентам. ЭБС Издательства "Лань" включает в себя электронные версии книг издательства "Лань" и других ведущих издательств учебной литературы, а также электронные версии периодических изданий по естественным, техническим и гуманитарным наукам. ЭБС Издательства "Лань" обеспечивает доступ к научной, учебной литературе и научным периодическим изданиям по максимальному количеству профильных направлений с соблюдением всех авторских и смежных прав. Лекции и лабораторные занятия по дисциплине проводятся в аудитории, оснащенной доской и мелом(маркером). Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО и учебным планом по направлению 02.03.02 "Фундаментальная информатика и информационные технологии" и профилю подготовки Системный анализ и информационные технологии . Программа дисциплины "Дополнительные главы математического анализа"; 02.03.02 Фундаментальная информатика и информационные технологии; заведующий кафедрой, к.н. (доцент) Турилова Е.А. Регистрационный номер 918417 Страница 11 из 11. Автор(ы): Турилова Е.А. ____________________ "__" _________ 201 __ г. Рецензент(ы): Халиуллин С.Г. ____________________ "__" _________ 201 __ г. |