КРФНП ПРОГРАММА (1). Программа кр "Функции нескольких переменных"

• Название: Программа кр "Функции нескольких переменных"
• Дата: 21.03.2019
• Размер: 100.06 Kb.
• Имя файла: КРФНП ПРОГРАММА (1).pdf
• Тип: Программа; #71149

Программа КР “Функции нескольких переменных”
Теория
Функция двух переменных: область определения и ее геометрическое изображение, множество значений, график, приращение в точке, формула для вычисления дифференциала, приближенное вычисление приращения с помощью дифференциала.
Градиент функции трех переменных, его направление и модуль.
Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности ( , , )
0
F x y z = .
Исследование функции двух переменных на экстремум: точка минимума (максимума, экстремума), минимум (максимум, экстремум), необходимые условия экстремума, достаточные условия экстремума.
Тренировочные варианты на уровень A
Вариант 1
1. Найти значение функции
x
y
z =
в точке
(
)
1 2
9 3
, −
(Ответ: 1 2
−
)
2. Найти и построить на плоскости xy область определения функции ln(2 3)
z
x
y
=
+
−
. (Ответ: 2 3
0
x
y
+
− >
)
3.
cos
y
x
z =
z
x
∂
∂
=
?
(Ответ:
2
sin
y
y
x
x
)
4.
(
)
ln
z
x
y
=
−
?
dz =
(Ответ:
2(
)
ydx
xdy
x y y x
−
−
)
5. Найти модуль градиента функции
xy
z
u =
в точке (1, 1, 1)
− −
(Ответ: 3 )
6. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности
2 2
3 0
x
y
z
−
+
=
в точке (3,3,0) .
(Ответ:
2 3 0
x
y
−
+ = )
7. Исследовать на экстремум функцию
2 2
5 3
11 11 1
z
x
y
xy
x
y
=
+
+
+
+
− .
(Ответ: min
( 7,1)
34
z
z
=
−
= −
)
Вариант 2
1. Найти и построить на плоскости xy область определения функции z
x
y
=
+
(Ответ:
0
x
y
+
≥ )
2.
2 1
z
x
y
=
− −
z
y
∂
∂
= ?
(Ответ:
2 1
y
x y
−
− −
)
3.
x y
z
e
−
=
?
dz =
(Ответ:
2
x y
ydx xdy
y
e
−
−
+
)
4. Найти градиент функции
(
)
arctg
x
y
u
z
=
−
(Ответ:
2 2
2
( ,
,
)
(
)
y
x
y
y
x yz
− −
+
−
)
5. Найти приближенно (заменив дифференциалом) приращение функции
2 2
4 2
4
z
x
xy
y
=
−
+
− в точке (1, 1)
−
, если
0, 01
x
∆ =
,
0,02
y
∆ =
(Ответ: 0,18)
6. Составить уравнения нормали к поверхности
2 1
x y
z
e
xy
+
=
−
+ в точке (1, 1,1)
−
(Ответ:
1 1
1 0
3 1
y
x
z
+
−
−
=
=
−
)
7. Исследовать на экстремум функцию
2 2
4 8
8 8
1
z
x
y
xy
x
y
=
+
+
−
−
+ . (Ответ: функция не имеет экстремумов)
Вариант 3
1. Найти вектор, в направлении которого функция u xy yz
=
−
в точке (1, 1,2)
−
возрастает с наибольшей скоростью.
(Ответ: ( 1, 1,1)
− −
)
2. Найти и построить на плоскости xy область определения функции
1
x
z
y
=
−
(Ответ:
1
y < )
3.
arcsin(
)
z
xy
=
z
x
∂
∂
= ?
(Ответ:
2 2 1
y
x y
−
)
4.
2
sin (
)
z
x
y
=
−
?
dz =
(Ответ: (
)sin 2(
)
dx dy
x
y
−
−
)
5. Найти модуль градиента функции
z y
x
u
−
=
в точке (1, 1, 1).
(Ответ: 2 )
6. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности
2 3
0
x
xy
z
+
+
− = в точке (1, 1, –1).
(Ответ: 3 4
8 0
x
y
z
+ −
− = )
7. Исследовать на экстремум функцию
2ln(2 3) 3ln(
2) 4 3
7
z
x
y
x
y
=
−
+
+
−
−
+ .
(Ответ: max
(2, 1)
2
z
z
=
−
= )

Тренировочные варианты на уровни B, C
Вариант 1
1. Найти и построить на плоскости xy область определения функции
2 2
1 (
)
z
x
y
=
−
+
. (Ответ:
2 1
1
x
y
− ≤
+
≤ )
2. Верно ли, что функция
(cos(
))
z
y
x
y
=
⋅ ϕ
−
удовлетворяет уравнению
z
z
z
x
y
y
∂
∂
∂
∂
+
=
?
(Ответ: да)
3. Исследовать на экстремум функцию
3 2
2 2
4 6
3 12 2
z
y
xy
x
y
=
+
−
−
+ .
(Ответ: max
(0,0)
2
z
z
=
= )
Вариант 2
1. Найти и построить на плоскости xy область определения функции
2 2
2 2
2
x
y
x
x x
y
z
+
−
−
−
=
. (Ответ:
2 2
2
x
x
y
x
≤
+
<
)
2.
0
y
x
xe
ye
−
=
. Доказать, что
(
1)
(
1)
dy
x
y
dx
x y
−
=
−
3. Найти производную функции u
xy
yz
zx
=
+
+
в точке
(2,1,3)
M
в направлении вектора
MN , где
(5,5,15)
N
(Ответ: 68 13 )
Вариант 3
1. Найти и построить на плоскости xy область определения функции arccos
x
x y
z
+
=
(Ответ: (2
) 0, ( , )
(0,0)
y
x
y
x y
+
≥
≠
)
2. Для поверхности
2 4
z
x xy y
=
−
+
найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости
4 2
9 0
x
y
z
+
+
+ =
(Ответ: 4 2
78 0
x
y
z
+ +
−
= )
3. Исследовать на экстремум функцию
2 6
10
z
x
x y
x
y
=
+
+
+ +
(Ответ: min
( 4,4)
2
z
z
=
−
= − )