задания по математике. Программа кр Производная

• Название: Программа кр Производная
• Анкор: задания по математике
• Дата: 18.04.2021
• Размер: 0.71 Mb.
• Имя файла: Trenirovochnye_varianty_kontrolnykh_rabot (1).doc
• Тип: Программа; #196028

Программа КР «Производная»

Теория

Механический смысл производной.

Касательная и нормаль к кривой. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции.

Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций. Частные случаи: производные функций ( – функция,  – постоянная). Правило дифференцирования сложной функции.

Производные основных элементарных функций (таблица производных).

Производная параметрически заданной функции.

Дополнительные вопросы (на уровни B, C):

1) второй замечательный предел;

2) дифференцирование с применением предварительного логарифмирования;

3) дифференцирование неявных функций.
Тренировочные варианты на уровень А

Вариант 1

1. 
   Найти угловой коэффициент нормали к графику функции в точке . (Ответ: )
   
2. 
   (Ответ: – )
   
3. 
   (Ответ: )
   
4. 
   (Ответ: )
   
5. 
   (Ответ: )
   
6. 
   (Ответ: )
   
7. 
   Составить уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой . (Ответ: )
   

Вариант 2

1. 
   (Ответ: )
   
2. 
   (Ответ: )
   
3. 
   (Ответ: )
   
4. 
   (Ответ: )
   
5. 
   (Ответ: )
   
6. 
   (Ответ: )
   
7. 
   Составить уравнение нормали к кривой в точке ее пересечения с осью .
   

(Ответ: )

Вариант 3

1. 
   (Ответ: )
   
2. 
   (Ответ: 3)
   
3. 
   (Ответ: )
   
4. 
   (Ответ: )
   
5. 
   (Ответ: )
   
6. 
   (Ответ: )
   
7. 
   Составить уравнение касательной к кривой в точке ее пересечения с осью .
   

(Ответ: ) 

Тренировочные варианты на уровни В,С
Вариант 1

1. 
   (Ответ: )
   
2. 
   Функция задана уравнением . Доказать, что .
   
3. 
   Найти точку кривой , в которой касательная параллельна прямой .
   

(Ответ: ) 

Вариант 2

1. 
   (Ответ: )
   
2. 
   Найти угол между кривыми и в точке их пересечения.
   

(Ответ: )

3. 
   Найти точку параболы , в которой касательная перпендикулярна прямой . (Ответ: )
   

Вариант 3

1. 
   (Ответ: )
   
2. 
   . (Ответ: )
   
3. 
   Найти точку кривой , в которой касательная параллельна прямой .
   

(Ответ: )

Программа КР “Интегралы”

Теория

Первообразная. Теорема об общем виде первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов. Теорема о замене переменной. Интегрирование подведением под знак дифференциала. Интегрирование по частям.

Рациональная дробь. (Не)правильная рациональная дробь. Простейшие дроби. Разложение неправильной дроби на многочлен и правильную дробь и правильной дроби на простейшие. Правило интегрирования рациональных дробей.

Определенный интеграл: теорема о формуле Ньютона-Лейбница, замена переменной, интегрирование по частям.

Тренировочные варианты на уровень А

Вариант 1

1. 
   Является ли функция первообразной для функции на интервале ? (Ответ: да)
   
2. 
   Найти одну из первообразных функции . (Ответ: )
   

3. 
   (Ответ:
   
4. 
   (Ответ: )
   
5. 
   (Ответ: )
   
6. 
   (Ответ: )
   
7. 
   (Ответ: )
   

Вариант 2

1. 
   Найти интеграл , сделав замену переменной . (Ответ: )
   
2. 
   Найти одну из первообразных функции . (Ответ: )
   

3. 
   (Ответ: )
   
4. 
   (Ответ: )
   
5. 
   (Ответ: )
   
6. 
   (Ответ: )
   
7. 
   (Ответ: )
   

Вариант 3

1. 
   Написать разложение дроби на простейшие (коэффициенты не находить).
   

(Ответ: )

2. 
   Найти одну из первообразных функции . (Ответ: )
   

3. 
   (Ответ: )
   
4. 
   (Ответ: )
   
5. 
   (Ответ: )
   
6. 
   (Ответ: )
   
7. 
   (Ответ: )
   

Тренировочные варианты на уровни В, С

Вариант 1

1. 
   (Ответ: 6)
   
2. 
   (Ответ: )
   
3. 
   (Ответ: )
   

Вариант 2

1. 
   (Ответ: 2)
   
2. 
   (Ответ: )
   
3. 
   (Ответ: )
   

Вариант 3

1. 
   (Ответ: )
   
2. 
   (Ответ: )
   
3. 
   (Ответ: )
   

Программа КР “Функции нескольких переменных”

Теория

Функция двух переменных: область определения и ее геометрическое изображение, множество значений, график, приращение в точке, формула для вычисления дифференциала, приближенное вычисление приращения с помощью дифференциала.

Градиент функции трех переменных, его направление и модуль.

Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности .

Исследование функции двух переменных на экстремум: точка минимума (максимума, экстремума), минимум (максимум, экстремум), необходимые условия экстремума, достаточные условия экстремума.
Тренировочные варианты на уровень A
Вариант 1

1. 
   Найти значение функции в точке . (Ответ: )
   
2. 
   Найти и построить на плоскости область определения функции .
   

(Ответ: )

3. 
   . ? (Ответ: )
   
4. 
   . (Ответ: )
   
5. 
   Найти модуль градиента функции в точке . (Ответ: )
   
6. 
   Составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке .
   

(Ответ: )

7. 
   Исследовать на экстремум функцию . (Ответ: )
   

Вариант 2

1. 
   Найти и построить на плоскости область определения функции . (Ответ: )
   
2. 
   . ? (Ответ: )
   
3. 
   . (Ответ: )
   
4. 
   Найти градиент функции . (Ответ: )
   
5. 
   Найти приближенно (заменив дифференциалом) приращение функции в точке , если , . (Ответ: 0,18)
   
6. 
   Составить уравнения нормали к поверхности в точке .
   

(Ответ: )

7. 
   Исследовать на экстремум функцию .
   

(Ответ: функция не имеет экстремумов)
Вариант 3

1. 
   Найти вектор, в направлении которого функция в точке возрастает с наибольшей скоростью. (Ответ: )
   
2. 
   Найти и построить на плоскости область определения функции . (Ответ: )
   
3. 
   . ? (Ответ: )
   
4. 
   . (Ответ: )
   
5. 
   Найти модуль градиента функции в точке (1, 1, 1). (Ответ: )
   
6. 
   Составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке (1, 1, –1).
   

(Ответ: )

7. 
   Исследовать на экстремум функцию .
   

(Ответ: )

Тренировочные варианты на уровни B, C
Вариант 1

1. 
   Найти и построить на плоскости область определения функции .
   

(Ответ: )

2. 
   Верно ли, что функция удовлетворяет уравнению ? (Ответ: да)
   
3. 
   Исследовать на экстремум функцию . (Ответ: )
   

Вариант 2

1. 
   Найти и построить на плоскости область определения функции .
   

(Ответ: )

2. 
   Найти наименьшее значение функции на прямой . (Ответ: 29)
   
3. 
   Найти производную функции в точке в направлении вектора , где . (Ответ: )
   

Вариант 3

1. 
   Найти и построить на плоскости область определения функции .
   

(Ответ: )

2. 
   Для поверхности найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости . (Ответ: )
   
3. 
   Исследовать на экстремум функцию . (Ответ: )
   

Программа КР «Дифференциальные уравнения»
Теория

(Обыкновенное) дифференциальное уравнение (д.у.): определение, порядок, решение (частное решение), интегральная кривая.

Д.у. 1-го порядка, разрешенное относительно производной: общий вид, начальное условие и его геометрический смысл, задача Коши и ее геометрическая формулировка, общее решение, поле направлений.

Уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные: общий вид и методы интегрирования.

Д.у. 2-го порядка, разрешенное относительно второй производной: общий вид, начальные условия и их геометрический смысл, задача Коши и ее геометрическая формулировка, общее решение.

Однородное линейное д.у. (о.л.д.у.) 2-го порядка: общий вид. О.л.д.у. 2-го порядка с постоянными коэффициентами: общий вид, характеристическое уравнение (х.у.), теорема о х.у., общее решение (в зависимости от вида корней х.у.).

Неоднородное линейное д.у. (н.л.д.у.) 2-го порядка: общий вид, соответствующее о.л.д.у., свойства решений, теорема о структуре общего решения. Н.л.д.у. 2-го порядка с постоянными коэффициентами: общий вид, нахождение частного решения методом неопределенных коэффициентов для правой части вида и , где – многочлен, M и N – постоянные.

Дополнительные теоретические вопросы, знание которых необходимо для решения задач на уровни B, C: теорема существования и единственности и ее геометрическая формулировка, изоклины; линейно (не)зависимая система функций, определитель Вроньского; о.л.д.у. n-го порядка: общий вид, свойства решений, линейное пространство решений, фундаментальная система решений, теорема о структуре общего решения; н.л.д.у. n-го порядка: принцип суперпозиции решений.
Тренировочные варианты на уровень A
Вариант 1

1. 
   Что такое общее решение дифференциального уравнения ?
   
2. 
   Найти угол, который образует с осью x касательная к интегральной кривой дифференциального уравнения в точке . (Ответ: )
   
3. 
   Найти кривую семейства , проходящую через точку (–2, 1). (Ответ: )
   
4. 
   ; . (Ответ: )
   
5. 
   . (Ответ: , где )
   
6. 
   . (Ответ: , где )
   
7. 
   . (Ответ: )
   

Вариант 2

1. 
   Общее решение о.л.д.у. 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения.
   
2. 
   Является ли парабола интегральной кривой д. у. ? Ответ обосновать.
   

(Ответ: нет)

3. 
   Определить тип д. у. . (Ответ: однородное)
   
4. 
   . (Ответ: , где )
   
5. 
   . (Ответ: )
   
6. 
   ; . (Ответ: )
   
7. 
   . (Ответ: , где )
   

Вариант 3

1. 
   Что такое интегральная кривая дифференциального уравнения?
   
2. 
   Является ли функция решением уравнения ? Ответ обосновать. (Ответ: да)
   
3. 
   В каком виде следует искать частное решение д.у. методом неопределенных коэффициентов? (Ответ: )
   
4. 
   . (Ответ: , где ; )
   
5. 
   . (Ответ: )
   
6. 
   . (Ответ: , где )
   
7. 
   Найти какое-нибудь частное решение д.у. . (Ответ: )
   

Тренировочные варианты на уровни B, C
Вариант 1

1. 
   Изобразить на плоскости xy область(и), через каждую точку которой(ых) проходит единственная интегральная кривая уравнения . (Ответ: области задаются условием )
   
2. 
   . (Ответ: , где )
   
3. 
   . (Ответ: , где )
   

Вариант 2

1. 
   Доказать, что функция является, а функция не является общим решением д.у. .
   
2. 
   . (Ответ: , , ; )
   
3. 
   ; , . (Ответ: )
   

Вариант 3

1. 
   Найти линейное дифференциальное уравнение, общее решение которого имеет вид . (Ответ: )
   
2. 
   . (Ответ: , где )
   
3. 
   ; , . (Ответ: )