Программа курса Математика
 Скачать 131.23 Kb.
|
|
1 Инженерный институт Программа курса «Математика» I семестр, 2017-2018 учебный год Линейная алгебра. 1. Основные сведения о матрицах. Типы матриц: квадратная, диагональная, треугольная, нулевая матрицы. Единичная матрица. Размерность матрицы. Порядок матрицы. Матрица-строка. Матрица-столбец. Равные матрицы. Транспонированная матрица. Свойства транспонированных матриц. 2. Линейные операции над матрицами: сумма (разность) матриц и свойства операции сложения, умножение матрицы на число и свойства операции умножения на число (с доказательством). Линейная комбинация матриц. 3. Произведение матриц и его свойства. Коммутирующие (перестановочные) матрицы. Возведение в степень. Матричный многочлен. 4. Крайний элемент. Элементарные преобразования матриц. Ступенчатая матрица. Приведение матрицы к ступенчатому виду путем элементарных преобразований. Эквивалентная матрица. 5. Определители. Свойства определителей. Вырожденная матрица. Невырожденная матрица. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Правило «треугольников». Определитель треугольной (диагональной) матрицы. 6. Минор ij M к элементу ij a , алгебраическое дополнение ij A к элементу ij a квадратной матрицы. Теорема Лапласа. Вычисление определителей n -го порядка методом разложения по элементам i -ой строки или j -го столбца. 7. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. Присоединенная матрица A . Вычисление обратной матрицы методом присоединённой матрицы. Матричные уравнения. 8. Минор k - го порядка для произвольной матрицы. Базисный минор. Ранг матрицы. Свойства ранга матрицы. Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы. 9. Системы линейных уравнений. Совместная, несовместная система. Определенная, неопределенная система. Равносильные системы. Матричная запись системы линейных уравнений. Матричный метод (метод обратной матрицы) решения систем линейных уравнений. 10. Системы линейных уравнений с двумя, тремя неизвестными. Главный определитель системы. Формулы Крамера. Вывод формул Крамера для системы линейных уравнений с двумя неизвестными. Вывод формул Крамера для системы n линейных уравнений с n неизвестными. (стр.41-42, Крамер). 11. Теорема Кронекера-Капелли. Главная матрица системы. Расширенная матрица системы. Исследование систем линейных уравнений методом Гаусса. Векторная алгебра. 1. Векторы на плоскости и в пространстве. Понятие вектора. Нулевой вектор. Единичный вектор. Орт вектора. Противоположные векторы. Коллинеарные векторы. Компланарные векторы. Равные векторы. 2. Линейные операции над векторами. Сумма векторов. Правило треугольников. Правило параллелограмма. Правило многоугольника. Разность векторов. Произведение вектора на число и его свойства. Линейная комбинация векторов. Признак коллинеарности векторов. Признак компланарности векторов. Проекция вектора на ось. Основные свойства проекции. теоремы о проекциях. Проекции вектора на оси координат. Координаты вектора. Длина (модуль) вектора. Базисные векторы (орты) декартовой системы координат. Разложение вектора по базису. Направляющие косинусы. Радиус-вектор. 3. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Скалярный квадрат. Скалярное произведение в координатной форме (вывод). Косинус угла между векторами. Условие перпендикулярности и параллельности векторов. 2 4. Упорядоченная тройка векторов. Правая (левая) тройка векторов. Векторное произведение. Свойства векторного произведения. Векторное произведение в координатной форме (вывод). Геометрический смысл векторного произведения. Вычисление площади параллелограмма и треугольника, построенных на векторах a и b 5. Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения. Правая (левая) тройка векторов. Смешанное произведение в координатной форме (вывод). Геометрический смысл смешанного произведения. Вычисление объемов параллелепипеда и пирамиды, построенных на векторах a , b и c Условие компланарности трех векторов. 6. Понятие векторного пространства. Векторы в n − мерном пространстве. Линейная зависимость векторов. Линейно-независимые векторы. Базис в n − мерном векторном пространстве. Базисные векторы и их свойства. Ортогональный и ортонормированный базис. Аналитическая геометрия на плоскости. 1. Метод координат на плоскости. Прямоугольная (декартова) система координат. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении. Координаты центра тяжести (центра масс) треугольной пластины (вывод). Площадь треугольника с заданными вершинами. Площадь многоугольника. Необходимое и достаточное условие того, что три точки лежат на одной прямой. Полярная система координат. Полярная ось, полярный радиус, полярный угол. Связь декартовой системой координат с полярной. Перевод декартовых координат в полярные. Расстояние между точками и площадь треугольника в полярной системе координат (вывод). ( Задача 4.1.50,стр. 125) Уравнение окружности в полярной системе координат (вывод). 2. Линии первого порядка на плоскости. Неявное задание линии. Пересечение двух линий. Параметрическое задание линии. Направляющий вектор. 3. Прямая линия на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой и его частные случаи. Нормальный вектор прямой. Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой проходящей через две данные точки (вывод). Угловой коэффициент прямой, проходящий через две данные точки. Нормальное уравнение прямой (вывод). 4. Угол между двумя прямыми (вывод). Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых (рассмотреть случаи для уравнения с угловым коэффициентом и уравнения, записанного в общем виде). Пресечение прямых. Условия взаимного расположения прямых. Расстояние от данной точки до прямой (вывод). 5. Смешанные задачи на прямую. Длины и уравнения сторон треугольника. Нахождение площади треугольника по заданным уравнениям сторон. Длина и уравнение медианы, биссектрисы и высоты. 6. Кривые второго порядка и их свойства. Классификация кривых второго порядка. Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. 7. Окружность и ее свойства. Уравнение окружности, полученной параллельным переносом начала координат в точку 0 0 ( , ) O x y ′ 8. Эллипс и его свойства. Каноническое уравнение эллипса. Фокусы и их координаты. Вершины эллипса. Фокальные радиусы. Эксцентриситет. Директрисы эллипса. Уравнение и расположение эллипса, заданного каноническим уравнением, в декартовой системе координат, симметричного относительно осей Ox , Oy Уравнение эллипса, полученного параллельным переносом начала координат в точку 0 0 ( , ) O x y ′ 9. Гипербола и ее свойства. Каноническое уравнение гиперболы. Фокусы и их координаты. Вершины гиперболы. Фокальные радиусы. Эксцентриситет. Асимптоты гиперболы. Директрисы гиперболы. Равнобочная гипербола. Уравнение и расположение гиперболы, заданной каноническим уравнением, в декартовой системе координат, симметричной относительно осей Ox , Oy . Гипербола сопряженная данной. Уравнение гиперболы полученного параллельным переносом начала координат в точку 0 0 ( , ) O x y ′ 3 10. Парабола и ее свойства. Каноническое уравнение параболы. Параметр параболы. Фокус и координаты фокуса. Вершина параболы. Фокальный радиус. Ось симметрии. Уравнение директрисы параболы. Уравнение и расположение параболы, заданной каноническим уравнением, в декартовой системе координат, симметричной относительно осей Ox , Oy и различным направлением ветвей. Уравнение и расположение парабол, полученных параллельным переносом начала координат в точку 0 0 ( , ) O x y ′ с учетом различного направления ветвей. 11. Аналитическая геометрия в пространстве. Поверхности в пространстве их с Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. 1. Понятие множества. Равенство множеств. Способы записи и задания множеств. Конечные и бесконечные множества. Числовые множества: , , , N Z Q R Промежутки. Интервалы. Подмножества. Диаграммы Эйлера-Венна. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность и их свойства. Дополнение к множеству. 2. Множество комплексных чисел. Запись комплексного числа. Действия над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение, деление). Сопряженное комплексное число. Тригонометрическая запись комплексного числа. 3. Абсолютная величина действительного числа. Расстояние между точками. Окрестность точки, ε – окрестность точки. 4. Определение функции. Область определения. Область значения функции. Способы задания функции: аналитический, табличный, графический, описательный. График функции. Основные свойства функции: четность, нечетность, монотонность, ограниченность, периодичность. Наименьший период функции. Обратная функция и ее свойства. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Явная, неявная функция. Сложная функция. Преобразование графиков функций. Функция, содержащая модуль, ее свойства и принципы построения графиков. 5. Числовая последовательность (определение). Постоянные последовательности. Монотонные последовательности. Ограниченные последовательности. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Основные формулы и свойства. Арифметические действия над последовательностями. Предел числовой последовательности и его геометрический смысл. Раскрытие неопределенностей. 6. Предел функции и его геометрический смысл. Бесконечно малые, бесконечно большие величины и их свойства. Основные теоремы о пределах. Теоремы о существовании предела. Односторонние пределы. Первый замечательный предел (вывод). Второй замечательный предел. Число e . Раскрытие неопределенностей. 7. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва первого и второго рода. Точки устранимого разрыва. Скачок функции. Свойства функций непрерывных в точке. Непрерывность элементарных функций. 8. Задачи, приводящие к понятию производной. Задача о касательной. Задача о скорости движения. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной, уравнение нормали к плоской кривой (вывод). Определение производной функции. Физический смысл производной. Зависимость между непрерывностью функции и дифференцируемостью. Схема вычисления производной по определению. Основные правила дифференцирования (вывод формулы производной произведения). Производная сложной функции. Производная обратной функции. Логарифмическая производная. Производные основных элементарных функций (вывод формул по определению). Применение логарифмической производной к вычислению производных основных алгебраических функций. Таблица производных. Показательно- степенная функция и ее производная. Производные высших порядков. Производная неявной функции. Производная функций, заданных параметрически. 9. Понятие дифференциала функции и его свойства. Приращение функции и дифференциал. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Понятие о дифференциалах высших порядков. 4 10. Основные теоремы дифференциального исчисления: Теорема Ферма и ее геометрический смысл. Теорема Ролля и ее геометрический смысл. Теорема Лагранжа и ее геометрический смысл. 11. Приложения производных. Правило Лопиталя ( доказательство). Раскрытие неопределённостей вида 0 , , , 0 , 1 0 ∞ ∞ ∞ − ∞ ⋅∞ ∞ с использованием правила Лопиталя. 12. Возрастание убывание функции. Достаточное условие возрастания и убывания функции. Экстремум функции (локальный): максимум, минимум функции (определение). Необходимое условие экстремума. Первое и второе достаточные условия экстремума. Схема исследования функции на экстремум. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке (глобальный экстремум). 13. Необходимое условие выпуклости кривой. Геометрический смысл. Достаточное условие выпуклости вверх (вниз). Точки перегиба (определение). Необходимое условие перегиба. Достаточное условие перегиба. Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба. 14. Асимптоты графика функции (вертикальная, горизонтальная, наклонная) и условия их нахождения (теоремы 1,2,3). Общая схема исследования функций и построение их графиков. |