Лаба. Простейшие движения твердого тела
![]()
|
ЛЕКЦИЯ 2 ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Поступательное движение Поступательным называется такое движение твёрдого тела, при котором любая прямая, проведённая в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линями. Теорема. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для нахождения скоростей точек А и В продифференцируем обе части равенства по t ![]() но ![]() ![]() ![]() ![]() отсюда ![]() т.е. скорости точек А и В тела любой момент времени одинаковы по величине и направлению. Беря от обеих частей полученного равенства производные по времени, найдём ![]() ![]() следственно, ускорение точек А и В тела в любой момент времени тоже одинаковы по модулю и направлению. Так как точки А и В были выбраны произвольно, то из полученных результатов следует, что у всех точек тела их траектории, а так же скорости и ускорения в любой момент времени будут одинаковы. Из теоремы следует, что поступательное движение твёрдого тела вполне определяется движением какой-нибудь одной его точки (как правило, за такую точку принимают центр тяжести тела). Следственно, изучение поступательного движения тела сводится к задаче «кинематики точки», уже изученной. При поступательном движении общую для всех точек тела скорость ![]() ![]() ![]() ![]() Понятие о скорости и ускорении тела имеют смысл только при поступательном движении. Вращательное движение твёрдого телаВращательным называется такое движение твёрдого тела, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во всё время движения неподвижными. ![]() Для определения положения тела проведём через ось вращения АВ две полуплоскости: I — неподвижную, II — вращающуюся вместе с телом. Тогда положение тела в любой момент времени будет однозначно определяться углом ![]() Считаем ![]() ![]() Что бы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость ![]() ![]() закон вращательного движения твёрдого тела. Основными кинематическими характеристиками вращательного движения является его угловая скорость ![]() ![]() Если за промежуток времени ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() угловая скорость в данный момент времени численно равна первой производной от угла поворота по времени. Угловую скорость можно выразить в виде вектора ![]() Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости тела с течением времени. Если за промежуток времени ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() угловое ускорение тела в данный момент времени численно равна первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота по времени. Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение называется ускоренным, а если убывает — замедленным. Угловое ускорение тела так же можно выразить в виде вектора ![]() Когда тело вращается ускоренно, векторы ![]() ![]() ![]() ![]() Равномерное и равнопеременное вращение твёрдого тела1. Если угловая скорость тела остаётся во всё время движения постоянной ( ![]() Так как ![]() ![]() но – const, и полагая, что при ![]() ![]() ![]() ![]() В технике скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину n об/мин. При одном обороте тело поворачивается на угол ![]() ![]() ![]() 2. Если угловое ускорение тела во всё время движения остаётся постоянным ( ![]() Считая, что в начальный момент при ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() далее ![]() ![]() проинтегрировав, найдём закон равнопеременного вращения ![]() Если ![]() ![]() Скорости и ускорения точек вращающегося телаРассмотрим какую-нибудь точку М твёрдого тела, находящегося на расстоянии h от оси вращения АВ. При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время dtпроисходит элементарный поворот тела на угол ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() скорость ![]() Линейная скорость точки вращающегося твёрдого тела численно равна произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения. Направлена линейная скорость по касательной к описываемой точкой М окружности. Так как для всех точек тела ![]() Ускорение точек вращающегося телаТак как все точки, принадлежащие вращающемуся телу, описывают окружности т.е. имеют криволинейную траекторию, то их ускорения складываются из нормального (центростремительного) и тангенциального (вращательного). Выразим их значения через угловые параметры тела ![]() ![]() ![]() ![]() Вращательное ускорение а направленно по касательной (в сторону движения, если тело вращается ускоренно, или в обратную сторону, если тело вращается замедленно); центростремительное ускорение ац всегда направленно по радиусу h к оси вращения. Полное ускорение точки М равно ![]() ![]() Отклонение вектора полного ускорения от радиуса окружности определяется углом ![]() ![]() Преобразование простейших движенийПод преобразованием простейших движений следует понимать: 1. Преобразование вращательного движения в поступательное (и наоборот); 2. Преобразование вращения вокруг одной неподвижной оси во вращение вокруг другой неподвижной оси; 3.Преобразование одного поступательного движения в другое поступательное движение. При решении задач о движении механизмов, преобразующих простейшие движения, следует пользоваться совместно формулами кинематики точки и кинематики твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. ![]() ![]() Преобразования вращения одного твёрдого тела вокруг неподвижной оси во вращение второго твёрдого тела вокруг другой неподвижной оси осуществляется посредством зубчатого или фрикционного зацепления двух колёс или при помощи ременной передачи. ![]() ![]() При внутреннем зацеплении и простой ременной передаче направления вращения обоих колёс совпадают. При внешнем зацеплении и скрещивающейся ременной передаче направление вращения колёс противоположны. Передача движения происходит за счёт равенства линейных скоростей в точке контакта (или на ободе шкивов ременной передачи). Основной кинематической характеристикой передачи движения является передаточное отношение u, которое прямо пропорционально отношению угловых скоростей колёс или обратно пропорционально числам зубьев (радиусам) колёс u = ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() Если на одном валу неподвижно закреплено несколько колёс, то их угловые скорости равны. Вопросы для самоконтроля Какое движение твердого тела называется поступательным? Основная теорема поступательного движения твердого тела. Какое движение твердого тела называется вращательным? По каким траекториям двигаются точки твердого тела при вращательном движении? Как определить угловые скорость и ускорение твердого тела? Как определить линейную скорость точки твердого тела при его вращательном движении и как она направлена? Как определить ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси? Как направлены и чему равны его составляющие? Какие виды передачи движения существуют? Что является характеристикой передачи движения? |