Лекции_2_05,06 Прямой метод Ляпунова. (1). Прямой метод Ляпунова
 Скачать 1.01 Mb.
|
|
Прямой метод Ляпунова. Так как устойчивость движения по Ляпунову эквивалентна устойчивости нулевого состояния равновесия системы в отклонениях, то ограничиваются, как правило, исследованием системы в отклонениях. Одним из сильнейших методов исследования устойчивости нулевого состояния равновесия является при этом прямой метод Ляпунова. Существо метод состоит в том, что знакоопределенные вещественные функции используются как мера отклонения состояния системы от точки покоя. Пусть   :E - непрерывно дифференцируемое в окрестности S начала координат отображение E в  (точнее,  - дифференцируемый по Фреше функционал, заданный в окрестности начала координат пространства состояний). Если  , то обозначим через  градиент в точке  (производную Фреше функционала в точке ). Функционал , равный нулю в начале координат, назовем знакопостоянным положительным в окрестности  , если  . Знакоположительный функционал :E назовем положительно определенным, если для всех нулевых  его значение строго положительно.Аналогично вводится понятие отрицательно определенных в функционалов. В том случае, если рассматривается дифференцируемое отображение  , т.е. если рассматриваются функции , значения которых  определяются как вектором состояний , так и моментом времени  , то функции называются знакопостоянными (знакоопределенными) положительными в окрестности  траектории невозмущенного движения системы в отклонениях, если  для всех  и если найдется такой знакопостоянный (знакоопределенный) положительный функционал, не зависящий от времени , что при любых из  следует, что  . Аналогично вводится понятие знакопостоянных (знакоопределенных) отрицательных функций.Изменение значений функций в процессе движения системы может быть определено, если задать начальные условия  . При этом, подставив вместо состояния его выражение через начальные условия и время, получим сложную функцию времени, значение которой определяется в виде композиции  , т.е. в виде  . Убывание (или возрастание) функции в процессе движения системы определяется знаком ее полной производной по времени  Значения этой производной можно записать в виде , (1)где второе слагаемое представляет собой скалярное произведение градиента функции на вектор фазовой скорости, определяемый как правая часть дифференциальных уравнений движения системы в отклонениях. Функцию  называют обычно полной производной по времени функции , взятой вдоль вектора фазовой скорости (вдоль траектории движения, в силу уравнений движения). Для доказательства теорем Ляпунова нам потребуется следующая теорема из математического анализа. На замкнутом ограниченном подмножестве n-мерного эвклидова пространства (на компакте) непрерывная вещественная функция принимает своё минимальное и максимальное значения. Теорема об устойчивости. Теорема 1 (Теорема Ляпунова об устойчивости). Для устойчивости по Ляпунову нулевого состояния равновесия системы в отклонениях достаточно, чтобы существовала такая положительно определенная в окрестности этого состояния равновесия функция , полная производная которой, взятая в силу уравнений движения, является отрицательно знакопостоянной в окрестности функцией.Если эта производная является знакоопределенной в функцией, то нулевое состояние равновесия асимптотически устойчиво по Ляпунову.Если, кроме того, функция равномерно непрерывна по , то устойчивость нулевого состояния равновесия равномерна.Если - окрестность, в которой функция положительно определена, то обозначим через  знакоопределенную положительную функцию, мажорируемую функцией , так что  для всех и . Граница  окрестности  является замкнутым ограниченным множеством (компактом), на котором функция  принимает свое минимальное значение  .Так как непрерывна и равна нулю в точке 0, то для любого  и любого можно найти такое  , что  . Рассмотрим теперь начинающееся в точке движение и запишем, как будет изменяться значение функции , если ее аргумент менять со временем в соответствии с изменением состояния в процессе движения. Имеем:  , (2)где стоящая под знаком интеграла функция  является полной производной по времени функции , взятой в силу уравнений движения. Так как по условию теоремы функция в окрестности (и, следовательно,  ) неположительна, то для любых  справедливо неравенство  для любых  . Но ввиду того, что на границе  окрестности непрерывная функция  , движение системы ни при каких не может достичь границы  окрестности , и, следовательно, состояние системы не выйдет за пределы этой окрестности при начальных условиях  , что доказывает факт устойчивости по Ляпунову нулевого состояния равновесия.Для доказательства асимптотической устойчивости достаточно показать, что для любого  движение системы, начавшееся в окрестности  за конечное время достигнет окрестности  .Предположим противное. В этом случае найдется такое  , что для всех состояние системы  , движение которой начинается в , при  останется в пределах кольцевого компактного множество  .На компакте  производная функции будет, по условию, знакоопределенной отрицательной функцией, и, следовательно, найдется такая отрицательная знакоопределенная функция  , что  для всех . На компакте функция  будет принимать свое максимальное значение  . При этом из (2) будет следовать на основании теоремы о среднем неравенство:  , которое означает, что при  функция  становится отрицательной в некоторых точках . Полученное противоречие с оговоренной в условии положительной определенностью функции в окрестности  завершает доказательство асимптотической устойчивости движения.Утверждение относительно равномерной устойчивости очевидно, т.к. выполнение условий о равномерной непрерывности по означает, что число  , фигурирующее в доказательстве теоремы, можно выбирать независимо от начала отсчета  . Теорема о неустойчивости Теорема 2 (Теорема Ляпунова о неустойчивости). Для неустойчивости по Ляпунову нулевого состояния равновесия системы в отклонениях достаточно, чтобы существовала такая равномерно непрерывная по  равная нулю в начале координаты непрерывно дифференцируемая функция, принимающая как угодно близко от точки 0 положительные значения, производная которой  является знакоопределенной положительной в окрестности функцией.Обозначим через окрестности нулевого состояния равновесия, целиком лежащую в . Для любого  найдется такая точка , что  . Тогда, в силу равномерной непрерывности функции , найдется такое , что  , а  , с другой стороны, так как производная  функции взятая вдоль траекторий системы, положительно определенная в окрестности функция, то найдется такая знакоопределенная положительная функция  , что , а функция  принимает на компакте  свое минимальное значение  . Но тогда для величины функции будут справедливы соотношения:  , и при достаточно больших получим, что  , что несовместимо с предположением  . При поиске функций Ляпунова могут быть полезны следующие замечания. Для системы первого порядка, уравнение движения которой  , где  - непрерывная функция, такая, что  , всякая знакоопределенная положительная четная функция является функцией Ляпунова, сообщающей достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого состояния равновесия. Если  для всех , то та же самая функция удовлетворяет достаточным условиям неустойчивости. Для системы , где  , а - четная положительно определенная функция, любая нечетная функция  , такая, что  является функцией Ляпунова, удовлетворяющей условиям теоремы о неустойчивости. |