РГР2 НСАР. Исследование устойчивости методом функций ляпунова цель расчетнографической работы
 Скачать 346.58 Kb.
|
|
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА Цель расчетно-графической работы: Исследование устойчивости нелинейных систем на основе использования теорем Ляпунова об устойчивости. Метод функций Ляпунова Метод функций Ляпунова состоит в непосредственном исследовании устойчивости положения равновесия системы при помощи подходящим образом подобранной функции — функции Ляпунова, причем делается это без предварительного нахождения решений системы. Ограничимся рассмотрением автономных систем (1) для которых , есть точка покоя. Функция , определенная в некоторой окрестности начала координат, называется знакоопределенной (определенно-положительной или определенно-отрицательной), если она в области (2) где — достаточно малое положительное число, может принимать значения только одного определенного знака и обращается в ноль лишь при . Так, в случае функции и будут определенно-положительными, причем здесь величина может быть взята сколько угодно большой. Функция называется знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она в области (2) может принимать значения только одного определенного знака, но может обращаться в ноль и при . Например, функция будет знакопостоянной (положительной). В самом деле, функцию можно записать так: откуда видно, что она обращается в ноль и при , а именно при и любых и таких, что Пусть есть дифференцируемая функция своих аргументов и пусть являются некоторыми функциями времени, удовлетворяющими системе дифференциальных уравнений (1). Тогда для полной производной функции по времени будем иметь: (3) Величина , определяемая формулой (3), называется полной производной функции по времени, составленной в силу системы уравнений (1). Теорема (1) Ляпунова об устойчивости. Если для системы дифференциальных уравнений (1) существует знакоопределенная функция (функция Ляпунова), полная производная которой по времени, составленная в силу системы (1), есть функция знакопостоянная, знака, противоположного с , или тождественно равная нулю, то точка покоя , системы (1) устойчива. Теорема (2) Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для системы дифференциальных уравнений (I) существует знакоопределенная функция , полная производная которой по времени, составленная в силу системы (1), есть также функция знакоопределенная, знака противоположного с , то точка покоя системы (1) асимптотически устойчива. Пример 1. Исследовать на устойчивость точку покоя системы (1) Решение. Выберем в качестве функции функцию . Эта функция определенно-положительная. Производная функции в силу системы (1) равна Из теоремы 1 следует, что точка покоя системы (1) устойчива. Однако асимптотической устойчивости нет: траектории системы (1) — окружности и они не стремятся к точке при Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя системы (2) Решение. Выберем в качестве функции Ляпунова функцию вида , далее найдем Таким образом, есть определенно-отрицательная функция. В силу теоремы 2 точка покоя системы (2) устойчива асимптотически. Общего метода построения функции Ляпунова нет. В простейших случаях функцию Ляпунова можно искать в виде и т.д. Пример 3. С помощью функции Ляпунова исследовать на устойчивость тривиальное решение системы Решение. Будем искать функцию Ляпунова в виде , где — произвольные параметры. Имеем Полагая , получим, что Таким образом, при всяком и функция будет определенно-положительной, а ее производная , составленная в силу данной системы, является определенно-отрицательной. Из теоремы 2 Ляпунова следует, что тривиальное решение данной системы устойчиво асимптотически. Если бы в указанной выше форме функцию не удалось найти, то ее следовало бы поискать в форме или и т.д. Теорема (3) Ляпунова о неустойчивости. Пусть для системы дифференциальных уравнений (1) существует дифференцируемая в окрестности начала координат функция такая, что . Если ее полная производная , составленная в силу системы (1), есть определенно- положительная функция и сколь угодно близко от начала координат имеются точки, в которых функция принимает положи тельные значения, то точка покоя , неустойчива. Рисунок 1 Теорема (4) Четаева о не устойчивости. Пусть для системы дифференциальных уравнений (1) существует непрерывно дифференцируемая в некоторой окрестности точки покоя , функция , удовлетворяющая в некоторой замкнутой окрестности точки покоя условиям: 1) в сколь угодно малой окрестности точки покоя существует область , в которой , причем в тех граничных точках , которые являются внутренними для (рис. 1); 2) точка покоя является граничной точкой области ; 3) в области производная , составленная в силу системы (1), определенно-положительная. Тогда точка покоя , системы (1) неустойчива. Пример 4. Исследовать на устойчивость точку покоя системы Решение. Возьмем функцию . Тогда есть функция определенно-положительная. Так как сколь угодно близко к началу координат найдутся точки, в которых (например, вдоль прямой ), то выполнены все условия теоремы 3 и точка покоя неустойчива (седло). Пример 5. Исследовать на устойчивость точку покоя системы Решение. Функция удовлетворяет условиям теоремы Четаева: 1) при ; 2) — определенно-положительная в области Следовательно, точка покоя неустойчива. Пример 6. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы Порядок выполнения работы: На основе приведенных в теоретической части теорем Ляпунова и примеров решения, выполнить следующие задания. Задание 1. С помощью функций Ляпунова исследовать устойчивость тривиального решения системы. Задание 2. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы (0, 0) для следующих систем: Отчет должен содержать 1. Титульный лист. 2. Выполненные задания согласно своего варианта (ваш порядковый номер в списке своей группы). Контрольные вопросы 1 Теорема (1) Ляпунова об устойчивости. 2 Теорема (2) Ляпунова об асимптотической устойчивости 3 Теорема (3) Ляпунова о неустойчивости. 4 Какие функции называются: знакоопределенными; знакопостоянными и знакопеременными? |